专题06 平面向量（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

串讲06 平面向量（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.向量的概念 考点2.向量的基底 考点3.向量的线性运算 考点4.向量共线问题 考点5.向量的内积 考点6.向量的模 考点7.向量的夹角 考点8.向量垂直 考点9.内积的范围问题 03过关测试 1． 向量的概念 1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量． 2.表示： ①有向线段：具有方向的线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． ②向量的表示： 3.向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b 【微点拨】(1)零向量的长度为0，方向不确定． (2)单位向量只规定了向量的大小(长度为1)，并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆． 二．向量的加法 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a． 2．向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 【微点拨】（1）向量加法的三角形法则要“首尾相接”． （2）应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”． 三．向量的减法 定义 求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 【微点拨】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． 四．向量的数乘运算 文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 规定 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0时，λa＝0 【微点拨】λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． 五．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【微点拨】(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任意向量的表示是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 六．平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 七．平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 八．向量的内积 1.两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2.向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积，记作， 即 规定：． (2)性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos θ. ②a⊥b⇔a·b＝0． ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a||b|. ⑤cos θ＝. 九．向量内积的坐标表示 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 文字叙述 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和 十．向量内积的坐标表示的结论 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝ 表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝ 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝＝ 考点1.向量的概念 【例1】下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据共线向量，相反向量的定义即可求解. 【详解】，方向相反，但模不一定相等，与不一定是相反向量，故A错误； 相反向量的模相等，且为平行向量，但不是相等向量，故B错误； 由有向线段和向量的定义知，C正确； 共线的两个非零向量也可能不在同一条直线上，故D错误． 故选：C 【对点演练】下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 考点2.向量的基底 【例2】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 【对点演练】若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基，D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 考点3.向量的线性运算 【例3】如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 【对点演练】在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 考点4.向量共线问题 【例4】若，，，三点共线，则实数的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】B 【分析】由点取向量，根据向量共线定理，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 可得，解得. 故选：B. 【对点演练】已知，，则“”是“和方向相同”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据平面向量同向的坐标表示，结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】当时，，则和方向相同，满足充分性； 而若和方向相同，则有正数，满足， 即，解之得或（舍去），即，满足必要性. 故选：C 考点5.向量的内积 【例5】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】由已知得，则，代入数值计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 【对点演练】已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 考点6.向量的模 【例6】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论. 【详解】. 故选：C. 【对点演练】已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 所以，即. 故选：C. 考点7.向量的夹角 【例7】向量，，若与夹角为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角余弦公式结合向量的坐标运算公式求参. 【详解】因为， 所以,化简得. 故选：D. 【对点演练】已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出数量积，再利用夹角公式求出夹角. 【详解】因为，所以 所以. 因为，所以，则. 故选：C. 考点8.向量垂直 【例8】已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先进行向量的线性坐标运算，再利用向量垂直的数量积坐标表示求解可得. 【详解】，. 因为，所以， 则，解得. 故选：D. 【对点演练】已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算可得，再根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积为，得到关于的式子，求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：. 考点9.内积的范围问题 【例9】已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（   ） A． B．-8 C． D．-4 【答案】B 【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 因为为MN的中点，，设向量与的夹角为，，又， 的最小值为， 故选：B. 【对点演练】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A 1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 2．已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 【答案】D 【分析】根据向量共线和四点共面的条件进行判断即可． 【详解】，，不共线，故A错误； ，则，即与不共线，故B错误； 若，则， 则，得，即， 则，，，四点共面，故C错误；D正确； 故选：D． 3．如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 4．若向量，，且，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得∥，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】解：由，，三点共线， 得∥， 得，解得. 故选：B. 5．已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，， 故， 所以， 故选：D 6．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取“=”号， 故选：B 7．已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直，则数量积为0得到，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，， ，，， ， ，. 故答案为：. 8．已知向量满足与的夹角为，则 . 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， ， ， 故答案为： 9．已知向量，，，则 ． 【答案】6 【分析】根据向量的模求出，再有数量积坐标运算得解. 【详解】由，可知，解得， 所以， 故答案为：6 10．已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【分析】利用向量数量积的几何意义，等于动向量在方向上的投影长度与的模之积，这里的投影长度是有正负的，规定投影长度与方向相同的为正数，与方向相反的为负数，然后找到端点位置去计算取值范围. 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 11．已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 12．已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲06 平面向量（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.向量的概念 考点2.向量的基底 考点3.向量的线性运算 考点4.向量共线问题 考点5.向量的内积 考点6.向量的模 考点7.向量的夹角 考点8.向量垂直 考点9.内积的范围问题 03过关测试 1． 向量的概念 1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量． 2.表示： ①有向线段：具有方向的线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． ②向量的表示： 3.向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度相等且方向相同的向量．向量a与b相等，记作a＝b 【微点拨】(1)零向量的长度为0，方向不确定． (2)单位向量只规定了向量的大小(长度为1)，并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆． 二．向量的加法 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a． 2．向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 【微点拨】（1）向量加法的三角形法则要“首尾相接”． （2）应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”． 三．向量的减法 定义 求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 【微点拨】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． 四．向量的数乘运算 文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 规定 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0时，λa＝0 【微点拨】λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． 五．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【微点拨】(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任意向量的表示是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 六．平面向量的坐标运算 （1）向量加减：若，则； （2）数乘向量：若，则； （3）任一向量：设，则. 七．平面向量共线的坐标表示 若，则的充要条件为 八．向量的内积 1.两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2.向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积，记作， 即 规定：． (2)性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos θ. ②a⊥b⇔a·b＝0． ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a||b|. ⑤cos θ＝. 九．向量内积的坐标表示 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 文字叙述 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和 十．向量内积的坐标表示的结论 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝ 表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝ 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝＝ 考点1.向量的概念 【例1】下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【对点演练】下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 考点2.向量的基底 【例2】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【对点演练】若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点3.向量的线性运算 【例3】如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练】在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 考点4.向量共线问题 【例4】若，，，三点共线，则实数的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【对点演练】已知，，则“”是“和方向相同”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点5.向量的内积 【例5】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【对点演练】已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点6.向量的模 【例6】已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．2 B． C． D．5 【对点演练】已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．2 考点7.向量的夹角 【例7】向量，，若与夹角为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【对点演练】已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 考点8.向量垂直 【例8】已知向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【对点演练】已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 考点9.内积的范围问题 【例9】已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（   ） A． B．-8 C． D．-4 【对点演练】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 3．如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 4．若向量，，且，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知向量，满足，，，则 . 8．已知向量满足与的夹角为，则 . 9．已知向量，，，则 ． 10．已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 11．已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 12．已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$