第11讲 5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第11讲 5.6.2 函数的图象 课程标准 学习目标 ①掌握图象的变换规律，解决三角函数的变换问题。 ②灵活掌握平移、伸缩变换规律，掌握与函数中变换量之间的关系.。 ③会利用图象的特点求函数的解析式。 ④会求图象变换前后函数的解析式。 ⑤会解决与三角函数有关的综合问题。 会画函数的图象，会结合图象解决与函数有关的性质问题，会求函数的解析式，掌握函数图象的变换规律. 知识点一：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点二：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点三：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 题型01利用“五点法”作函数的图象 【典例1】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到. (1)说明图象经过怎样的变换得到函数的图象； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 【典例2】（23-24高一下·江苏常州·开学考试）已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，且函数在区间上只有一个零点． (1)求的解析式； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图像； (3)当时，求的最值． 【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）用“五点法”作出函数的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间. 【变式2】（2024·辽宁丹东）已知函数，． (1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图； (2)若在上单调递减，求． 题型02三角函数的图象变换 【典例1】（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【典例2】（23-24高一下·上海普陀）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【典例3】（2024·江西）若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2】（2024·山西吕梁）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式3】（2024·天津）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（    ） A． B． C．0 D． 题型03 由的图象确定其解析式(或参数值) 【典例1】（23-24高一下·北京东城·期中）已知函数，且此函数的图象如图所示，则的值分别是（    ） A．2， B．2， C．4， D．4， 【典例2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数的解析式可以为 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 【典例3】（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【典例4】（多选）（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（    ） A．可能为 B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C．的解析式可能为 D．在上的值域为 【变式1】（2024·云南·模拟预测）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山东青岛·期末）函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式3】（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（    ） A．的解析式为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上是减函数 D．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象 【变式4】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则 .    题型04函数的图象与性质的综合应用 【典例1】（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，. (1)求函数的对称中心与对称轴； (2)当时，求函数的最值； (3)当时，求函数的单调递增区间. 【典例2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)求最小正周期； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心； (3)若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【典例3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)先把函数的图象向左平移个单位长度．再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围． 【变式1】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间： (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【变式2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（）. (1)当时，求的最大值以及取得最大值的x的集合； (2)若在上恰有两个零点，且在上单调递増，求的取值范围. 【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 题型05 函数的图象与三角恒等变换 【典例1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数在区间上的最大值为6， (1)求常数的值； (2)求的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合． 【典例2】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)设，若为偶函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一下·四川内江·期中）已知函数（）的最小正周期为， (1)求和的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【变式2】（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，求实数a取值范围． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三上·广西·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（北京市延庆区2023-2024学年高一下学期中数学试题）若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·贵州毕节·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为，与轴的一个交点的坐标为．设M，N为直线与的图象的两个相邻交点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）函数（其中，）的部分图象如图所示．若将函数图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（   ） A．是奇函数 B．的周期为π C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（23-24高一下·辽宁·期末）函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 三、填空题 11．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）函数的图象的对称中心坐标是 ． 12．（23-24高一下·北京·期中）已知函数的部分图象如图所示. ①函数的最小正周期为 ； ②将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的最小值是 . 四、解答题 13．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)求函数的单调区间． B能力提升 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数． (1)若，的最小值为，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 4．（23-24高一下·四川南充·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． C综合素养 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 5.6.2 函数的图象 课程标准 学习目标 ①掌握图象的变换规律，解决三角函数的变换问题。 ②灵活掌握平移、伸缩变换规律，掌握与函数中变换量之间的关系.。 ③会利用图象的特点求函数的解析式。 ④会求图象变换前后函数的解析式。 ⑤会解决与三角函数有关的综合问题。 会画函数的图象，会结合图象解决与函数有关的性质问题，会求函数的解析式，掌握函数图象的变换规律. 知识点一：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点二：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点三：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 题型01利用“五点法”作函数的图象 【典例1】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到. (1)说明图象经过怎样的变换得到函数的图象； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出结论； （2）由可计算出的取值范围，列表、描点、连线可作出函数在上的图象. 【详解】（1）解：因为 ， 所以，要得到函数的图象，可先将函数的图象向右平移个单位长度， 将所得函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的， 再将所得函数图象上每点的纵坐标缩短为原来的，可得到函数的图象. （2）解：当时，，列表如下： 作出函数在上的图象如下图所示： 【典例2】（23-24高一下·江苏常州·开学考试）已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，且函数在区间上只有一个零点． (1)求的解析式； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图像； (3)当时，求的最值． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)最小值为，最大值为2 【分析】（1）由已知得出和，由得出，再根据在时取得最大值及，即可求得的值； （2）令，直接根据五点法列表作图即可； （3）当时，，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）因为在时取得最大值，在时取得最小值，且函数在区间上只有一个零点， 所以，，则， 所以， 故， 又在时取得最大值， 所以，， 又，故，则． （2）令，则，列表如下： 图像如下：    （3）当时，， 则 所以，当，即时，， 当，即时，． 【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）用“五点法”作出函数的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间. 【答案】图象见解析，最小正周期为，最大值为5，最小值为1，减区间为，，增区间为， 【分析】根据五点法的法则和画函数图象的步骤，结合正弦型函数的周期、单调性进行求解即可. 【详解】①列表如下： 0 3 5 3 1 3 ②描点. ③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得的图象.如图所示.      函数的最小正周期，最大值为5，最小值为1， 函数的减区间为，，增区间为，. 【变式2】（2024·辽宁丹东）已知函数，． (1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图； (2)若在上单调递减，求． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法作图，列出表格，描点连线即可； （2）解法1：根据单调性知，解出的范围，根据范围有，再根据的范围得，最终确定的值； 解法2：根据和范围得，从而有，列出不等式组，用表示出的范围，最后求出值即可得到值. 【详解】（1），由，得． 列表如下： 0 2 0 0 描点连线，得f（x）在[0，π）内的图象简图： （2）解法1： 由f（x）在上是减函数知，因为，所以代入解得． 因为，，所以． 由得，， 由题意只能，从而． 解法2：因为，，所以． 由题设知，， 从而 解得． 因为，所以 故，因为，所以，于是． 题型02三角函数的图象变换 【典例1】（23-24高一下·山东济宁·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 【典例2】（23-24高一下·上海普陀）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】 将函数向左平移个单位得： 故选：B 【典例3】（2024·江西）若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得的表达式，比较可得． 【详解】函数的图象向右平移个单位后得图象的解析式为，它与相同， 则，，只有C满足． 故选：C． 【变式1】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解. 【详解】由于函数， 故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象. 故选：D． 【变式2】（2024·山西吕梁）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】直接利用相位变换即可求得. 【详解】因为， 所以只需将函数的图象向右平移个单位长度即可得到函数的图象. 故选:C． 【变式3】（2024·天津）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值. 【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数， 所以当时，，解得：， 当时，. 故选：A 题型03 由的图象确定其解析式(或参数值) 【典例1】（23-24高一下·北京东城·期中）已知函数，且此函数的图象如图所示，则的值分别是（    ） A．2， B．2， C．4， D．4， 【答案】B 【分析】根据函数的图象，可知函数的周期及过点，即可求出结果. 【详解】由函数的图象可得，函数的周期， 则，所以， 函数图象过点，则， 所以，即，又， 所以. 故选：B. 【典例2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数的解析式可以为 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 【答案】C 【分析】由已知结合最值求A，结合周期求出，由特殊点求，进而可求，然后结合正弦函数的对称性及单调性即可判断． 【详解】由题意得，，，所以，故， 因为，， 因为，所以，，A正确； 因为，此时取得最小值，B正确； 当时，，此时不单调，C错误； 因为，D正确． 故选：C． 【典例3】（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】ACD 【分析】由图象求出得解析式，然后利用正弦型函数的相关性质逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，，所以， 所以，所以， 又，因为，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； 令，解得， 所以在单调递减，而，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，故D正确. 故选：ACD 【典例4】（多选）（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（    ） A．可能为 B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C．的解析式可能为 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，再逐项分析判断即得. 【详解】观察图象得，，由，得，而，解得或， 函数的最小正周期，而且，于是且，解得， 又，且是函数递减区间上的零点，则， 当时，，则；当时，，无解， 因此，，，A错误； 对于B，，，为偶函数，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当时，，，，D错误. 故选：BC 【变式1】（2024·云南·模拟预测）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象最大值得到，由向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得过，结合图象过得到，故，，从而，由得到的值. 【详解】由图象得，从而， 的图象上的所有点向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以结合图象知，所以，故， 又，则，结合，得， 所以，， 故选：A． 【变式2】（23-24高一下·山东青岛·期末）函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得，结合周期可得，再根据时取得最值，可求得，代入，即可求得. 【详解】根据图象可得，， 所以，可求得，， 解之可得 ，又因，所以， 则，所以. 故选：A 【变式3】（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（    ） A．的解析式为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上是减函数 D．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象 【答案】AC 【分析】根据函数的部分图象，求出，得值，写出函数的解析式，由正弦函数的性质逐一分析即可. 【详解】根据函数的部分图象知， ，且，所以； 又， ，解得， ，故正确； 时，，不是最值，故错误； 时， ，单调递减，故正确； 将的图象向左平移个单位长度， 得得图象，故错误； 故选：. 【变式4】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则 .    【答案】 【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由图象可知，即， 又，所以， 则， 因为，即符合题意， 综上. 故答案为：. 题型04函数的图象与性质的综合应用 【典例1】（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，. (1)求函数的对称中心与对称轴； (2)当时，求函数的最值； (3)当时，求函数的单调递增区间. 【答案】(1)对称轴为，，对称中心为， (2)最大值为1，最小值为 (3)和 【分析】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴; （2）先求的范围，再结合正弦函数的图象求函数的最值； （3）先求再的上的单调递区间，再取与区间上的交集部分即可. 【详解】（1）∵ ， 令，解得， 所以对称轴为； 令，解得， 所以对称中心为. （2）∵， ∴， ∴， 所以的最大值1，最小值. （3）由（1）得， 令， 得， 又因为，所以的单调递增区间为和. 【典例2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)求最小正周期； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心； (3)若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再结合正弦型函数周期公式求最小正周期； （2）根据函数图象变换法则求函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心； （3）由已知可得在上恒成立，再结合正弦函数性质求的值域，结合恒成立性质可得结论. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的最小正周期为． （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的， 可得到函数的图象， 再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 令=，得， 所以对称中心为，. （3）当时，， 则， 所以， 所以在区间上的值域为． 由，得， 由在上恒成立， 得，解得， ∴实数的取值范围为． 【典例3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)先把函数的图象向左平移个单位长度．再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若当时，关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象可得可求出，求出周期，从而可求出，再将代入函数中可求出的值，从而可求出的解析式； （2）根据三角函数图象变换规律求出，利用正弦函数的性质求出在上的值域，由方程有实数根，转化为与的图象有交点，从而可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）由图象可得，，解得， 所以，得， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以， 所以 因为，所以， 所以； （2）先把函数的图象向左平移个单位长度，得， 再向上平移1个单位长度，得，所以， 由，得，则， 所以，所以，即， 由，得， 因为关于x的方程有实数根， 所以与的图象有交点， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 【变式1】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间： (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数的解析式，接着依据题意求出，进而求出函数，再令，接着求解不等式即可得解. （2）先由三角变换规则结合（1）得，接着由得，再由正弦函数图像性质即可求出函数在区间上的值域. 【详解】（1）因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）， 故由题意可得， 当，， 故由正弦函数图像性质可得， 所以即， 所以函数在区间上的值域为. 【变式2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数（）. (1)当时，求的最大值以及取得最大值的x的集合； (2)若在上恰有两个零点，且在上单调递増，求的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简求解即可； （2）结合正弦函数的零点和单调性求解即可. 【详解】（1）， 当时，，故的最大值为2， 此时，即， 故最大值的x的集合为：. （2）若，则， 在上恰有两个零点，故， 解得， 若，则， 在上单调递増， 故， 解得，且 故当时，， 所以的取值范围是 【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调增区间； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，进一步由整体代入法即可求解单调区间； （2）依次得的表达式，由换元法、参变分离即可求解. 【详解】（1）由题意， 由解得， 故函数的单调增区间； （2）由题意得，故， 令， 因为，所以，故. 故函数转化为，令得， 又因为在都为增函数，故在为增函数， 所以与最多只有一个交点. 因为函数有两个不同的零点， 故与有两个不同的交点. 所以. 故， 所以实数的取值范围. 题型05 函数的图象与三角恒等变换 【典例1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数在区间上的最大值为6， (1)求常数的值； (2)求的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性分析求解； （2）由（1）可知：，结合正弦函数的单调性分析求解； （3）分析可得，结合正弦函数性质分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值， 即，解得. （2）由（1）可知：， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （3）由（1）可知：， 令，可得， 则，解得， 所以的解集为. 【典例2】（23-24高一下·湖北·期中）已知函数. (1)设，若为偶函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求得，进一步结合三角恒等变换得，分析可知原不等式等价于且（），故只需求出在给定区间上的最值即可； （2）根据已知求得，原题不等式等价于，（，），其中的最值与有关，由此即可求解的范围. 【详解】（1）因为为偶函数，所以，， ，，所以， 所以 . 又因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以且， 因为，所以，所以， 则， 所以的取值范围为； （2）因为过点，所以，， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为对任意的，，都有成立， 所以，. ， 因为，所以，设， 则令，， 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得，所以； 当时，在上单调递减，， 所以，解得，此时； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，， 所以，解得，此时. 综上所述：. 即实数的取值范围为. 【变式1】（23-24高一下·四川内江·期中）已知函数（）的最小正周期为， (1)求和的值； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再由给定周期求出及函数值. （2）利用正弦函数的性质求出函数的最值，再利用恒成立的不等式求解即得. 【详解】（1）依题意， ， 由函数的最小正周期为，得，因此，， 所以. （2）由，得，则，， 不等式， 由对任意，都有，得， 而，则， 所以实数的取值范围为. 【变式2】（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，求实数a取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期求解， （2）利用换元法，将问题转化为的根的分布，结合分类讨论即可求解. 【详解】（1） 因为的最小正周期为， 所以，即， 所以； （2）①由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 也就是关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在，令 所以,即,解得： 当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是即，解得， 此时可求得另一根，所以符合题意， 当一个根是1，另一个实根在，由得， 此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上a的取值范围是． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可. 【详解】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. 2．（2023高三上·广西·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 3．（北京市延庆区2023-2024学年高一下学期中数学试题）若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将平移变换后的函数图象求出来，再由奇函数列出等式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后得到， 因为平移后的函数是奇函数， 所以， 解得，因为， 所以当时，. 故选：D. 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图像变换规律得到，由正弦函数的对称性可得，从而求得的最小值. 【详解】关于轴对称， 则，又因为，则当时，. 故选：C 5．（23-24高二下·贵州毕节·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得函数最小正周期和对称中心，验证选项即可. 【详解】由图象可知，函数最小正周期， ，图象上函数的一个对称中心为， 所以函数的对称中心为，， 当时，有或， 时，函数的一个对称中心为， 时，函数的一个对称中心为， 只有选项D满足. 故选：D. 6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为，与轴的一个交点的坐标为．设M，N为直线与的图象的两个相邻交点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，，然后根据线段的长度确定它们与中间对称轴之间的距离，再由此推出它们的函数值. 【详解】由图可知，的最小正周期，所以，即. 而是图象的最高点，所以，从而. 由于，故的横坐标一定位于的相邻两个零点之间. 而，故到它们之间的对称轴的距离都是，而对称轴的横坐标一定满足，所以. 故选：A. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，然后求得整体的取值范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，从而得参数范围． 【详解】， 因为，所以， 则，解得. 故选：A. 8．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）函数（其中，）的部分图象如图所示．若将函数图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得到的解析式，从而得到，结合函数的对称性，得到，，对选项一一判断，得到答案. 【详解】设的最小正周期为，则，解得， 因为，所以， 故， 将代入中，得， 故，，解得，， 又，故， 图象上所有点向右平移个单位，得到， 因为关于y轴对称，所以，， 解得，， 当时，，B正确； 其他选项不满题意. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（   ） A．是奇函数 B．的周期为π C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】由平移变换得出解析式，再根据余弦函数的性质判断ABCD. 【详解】由题意可知，，显然函数是偶函数，故A错误； 的周期为，故B错误； 由余弦函数的性质可知，函数的图象关于对称，故C错误； 由余弦函数的性质可知，函数的图象关于点对称，故D正确； 故选：ABC 10．（23-24高一下·辽宁·期末）函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 【答案】AC 【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项. 【详解】由， 由是函数图象的一个对称中心， 即，， 解得，， 又，所以， 所以， 对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确； 对于B选项：令，，解得，， 即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确； 对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 11．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）函数的图象的对称中心坐标是 ． 【答案】 【分析】先用二倍角公式和辅助角公式化简，后计算即可． 【详解】解：， 令，解得，故对称中心， 故答案为： 12．（23-24高一下·北京·期中）已知函数的部分图象如图所示. ①函数的最小正周期为 ； ②将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的最小值是 . 【答案】 ； . 【分析】由函数图象结合五点法，求函数解析式得最小正周期，利用图象平移得函数的解析式，由函数为偶函数，求的最小值. 【详解】①由函数的部分图象可得函数的图象经过点， 故有，结合图象由五点法可得，. 再把点代入，可得，即. 结合图象由五点法可得，∴， 故函数的最小正周期为； ②将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 若函数为偶函数，则，即，. 则正数的最小值是，此时，. 故答案为：；. 四、解答题 13．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式． (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）由图象可得，由周期公式可得，代入点计算可得值，进而可得函数的解析式； （2）根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由图可知，， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以，则， 又，所以， 所以； （2）令，得， 令，得， 所以函数的单调增区间为， 单调减区间为. B能力提升 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据平移得到的表达式，再由，可知在处，一个取最小值，一个取最大值，且相邻，进而可以列出等式，求解即可. 【详解】的图象向左平移个单位后得到， 因为， 所以在处，一个取最小值，一个取最大值， 不妨设，， 则， 因为，则，解得. 故选:. 2．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数． (1)若，的最小值为，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意，利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心； （2）将代入，由向右平移个单位，可得，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果. 【详解】（1）的最小正周期为， 又，的最小值为， 的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由， 的对称中心为； 当时，， 由， 的对称中心为， 综上所述，的对称中心为或． （2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ，最小正周期， 令，则， 即或， 解得或． 若函数在（且）上恰好有12个零点， 则， 要使最小，须，恰好为的零点， 故． 可得的最小值为． 4．（23-24高一下·四川南充·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解； （2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围； （3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 所以的最小正周期. （2）解：当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以，   即实数的取值范围为. （3）解：由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围． C综合素养 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【详解】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$