专题07 动点与动角问题（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2024）

专题07 动点与动角问题 求线段长度 1．（23-24 七年级上·浙江绍兴·期末）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 2．（23-24 七年级上·四川成都·期末）如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则= ． 【答案】或或10 【详解】当点C是线段的“巧点”时，可能有、、 三种情况， ①时，， ②时，， ③时，． 故答案为：，或10． 【点睛】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 4．（23-24 七年级上·山东聊城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 5．（23-24 七年级上·北京海淀·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为________； （2）若线段，则线段OM的长为________； （3）若线段（），求线段BM的长（用含a的式子表示）． 【答案】（1）－1；（2）4或6；（3）或. 【详解】（1）∵AB=1.2OA=6， ∴OB=1， ∵点B在原点的左侧， ∴B表示-1， 故填-1； （2）设M表示的数为x， ∵B表示的数为-1，且BM=5， ∴|x+1|=5, ∴x=4或x=-6, ∴M表示的数为4或-6， ∴MO=4或MO=6， 故填4或6； （3）∵，点A表示的数为5， 当点C在点A右侧，， ∴， ∴； 点C在线段OA上，， ∴， ∴； 答：线段BM的长为：或. 【点睛】本题考查了数轴上点的几何意义，以及线段的和与差的意义，熟练用表示的数与线段的长度表示动点表示的数是解题的关键，灵活运用分类思想是解题的主要方法. 线段之间的数量关系 6．（23-24 七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 7．（23-24 七年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，B，C是直线上的三个定点，AB=3BC，AB-BC=6m，其中m为大于0的常数，若点D是直线上的一动点，M、N分别是AD、CD的中点，则MN与BC的数量关系是(   ) A．MN=2BC B．MN=BC C．MN=3BC D．2MN=3BC 【答案】A 【详解】解：设直线上的点A表示0， ∵AB=3BC，AB-BC=6m ∴3BC-BC=6m，解得：BC=3m，AB=9m ∴点C表示12m，点B表示9m 设点D表示的数为x， ∵M、N分别是AD、CD的中点， ∴M点表示的数为，N点表示的数为 ∴MN= ∴MN=2BC 故选：A 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题关键是注意特殊值法的运用及方程思想的运用． 8．（23-24 七年级上·江苏泰州·期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：设运动秒时， ，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵的长度总为一个固定的值，即与无关， ∴，即， 故答案为：． 9．（23-24·七年级上 福建厦门·期末）在数轴上，点A在点B的左侧，分别表示数a和数b，将点B向左平移4个单位长度得到点C．若C是的中点，则a，b的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵将点B向左平移4个单位长度得到点C． ∴BC=4， ∵C是的中点，点A在点B的左侧， ∴AC=4， ∴AB=8， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，圆管线段的中点的计算，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 动点中的定值问题 10．（23-24 七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3； (2)①3；②； (3)线段的长度是定值， ． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， ． 11．（23-24 七年级上·广东潮州·期末）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 【答案】(1)8 (2)当时，；当时，． (3)是定值，理由见解析 【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6， 所以． （2）解：因为点是的中点， 所以， 则点表示的数是2． 当时， ． 当时， ． （3）解：设运动的时间为， 则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为， 因为的中点为， 所以点所表示的数为． 因为中点为， 所以点所表示的数为， 所以，，， 所以． 12．（23-24 七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 13．（23-24 七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0． 【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0， ∴m－12=0，n－4=0， ∴m=12，n=4； 故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN =AC +CD+BD =AC +CD+BD+CD =(AC +CD+BD)+CD =(AB +CD) =8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题意有： 解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， ∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t； Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时 F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析． 求点的运动时间 14．（23-24 七年级上·云南昆明·期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ） A．秒或秒 B．秒或秒或或秒 C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒 【答案】B 【详解】解：∵数轴上的点和点分别表示0和10 ∴OA=10 ∵是线段的中点， ∴OB=AB= ①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程OP=OB－PB=3 ∴点P运动的时间为3÷2=s； ②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程OP=OB+PB=7 ∴点P运动的时间为7÷2=s； ③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13 ∴点P运动的时间为13÷2=s； ④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17 ∴点P运动的时间为17÷2=s； 综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒 故选B． 【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 15．（23-24 七年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 【答案】6 【详解】解：设运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示， 为中点，为中点， 点表示，点表示， ， ， ， 当时，． 故答案为：． 16．（23-24 七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 【答案】(1) (2)①39；②18秒、36秒和54秒 【详解】（1）解：， 设，则 即 是的中点 （2）①点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，当运动3秒后，点分别运动了个单位长度 三点对应的数分别为，， 当两点同时向左运动3秒后，两点对应的数分别为，点向右运动运动3秒后对应的数为 点M为线段的中点，点N为线段的中点 故M对应的数为，M对应的数为 ． ②由题意可得： 当点移动秒时，此时不动，，满足题意； 点表示的数为，点表示的数为 当点在点左侧时，由题意有 解得 当点在点右侧时，由题意有 解得 综上所述：当时， 故的取值为18秒、36秒和54秒． 17．（23-24 七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为； (3)秒； (4)或或或或． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 动角中的定值问题 18．（23-24 七年级上·河北邢台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，三角形保持不动． (1)若图2中，． ①求的值； ②分别求图1和图2中的度数． (2)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)①的值为30；②图1中：，图2中； (2)的度数在旋转过程中不会变化，恒为，理由见解析． 【详解】（1）解：①在图1中，∵、、三点在同一条直线上， ∴． ∵，． ∴． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30． ②在题图1中．∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． 在题图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴． （2）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 19．（23-24 七年级上·河北石家庄·期末）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】(1)， (2) (3)不变 【详解】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 20．（23-24 七年级上·吉林长春·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)图1中 度． (2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示位置，使一边在内部，且恰好平分，若点D、O、N三点共线，则 度． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 ．（直接写出结果） (4)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 【答案】(1)60 (2)30 (3)10或40 (4)与的差不变，这个差值是 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， 故答案为：60； （2）∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30； （3）∵， ∴． ∴． 即旋转或时直线平分． 由题意得，或240． 解得：或40， 故答案为：10或40； （4）．理由如下： ∵，， ∴、． ∴． ∴与的差不变，这个差值是． 21．（23-24 七年级上·陕西榆林·期末）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3） 【详解】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）的值是定值；理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． ∴的值是定值，定值为； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 角之间的数量关系 22．（23-24 七年级上·安徽宿州·期末）已知为直线上一点，是直角，平分． 　 (1)如图1，若；求的度数； (2)当绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 23．（23-24 七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作： 【详解】解：计算 ∵，平分， ∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ∴． ∴t的值为2.25． 判断 当时，如图1， 据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，如图2， 据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴； 操作 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 24．（23-24 七年级上·湖南娄底·期末）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)和的数量关系是．理由见解析 【详解】（1）解：点在直线上，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ （2）和的数量关系是：．理由如下： ∵点O在直线上，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ 即：． 25．（23-24 七年级上·四川泸州·期末）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数 (2)如图①，猜测与的数量关系 (3)当射线绕点逆时针旋转到如图②的位置时，与的数量关系如何？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ． （2）， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：． （3） 仍然成立，理由： ， ． 平分， ． 26．（23-24 七年级上·河北石家庄·期末）已知直角三角形的直角顶点在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将三角形绕点逆时针旋转，若，求的度数； (3)如图3，将三角形绕点逆时针旋转，试写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【详解】（1）解：，， ∴， 又平分， ， ∴． （2）， ∴， ∵， ∴． （3）．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 1．（23-24 七年级上·陕西咸阳·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 2．（23-24 七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或 【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7， ∴线段AB的长度为：7-（-5）=12； 故答案为：12 （2）根据点，的运动速度知． 因为，所以，即， 所以． （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 因为，所以． 又因为， 所以，所以； 如图，当点在的延长线上时， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．（23-24 七年级上·广东云浮·期末）将一个含角的直角三角板的斜边与重合摆放在一起，过点作射线，使得．如图，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与重合时停止运动． (1)如图1，当运动时间为___________秒时，斜边平分． (2)如图2，当运动时间为多少秒时，斜边平分？并求此时的度数． 【答案】(1) (2)当运动时间为秒时，斜边平分，此时的度数是 【详解】（1）解：∵， ∴当斜边平分时， ∴运动时间为秒， 故答案为：． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，秒． 此时，． 答：当运动时间为35秒时，斜边平分，此时的度数是． 4．（23-24 七年级上·广东清远·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 5．（23-24 七年级上·福建泉州·期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）． （1）当时，①________cm， ②此时线段CD的长度=_______cm； （2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①4；②3；（2），；（3）不变，． 【详解】（1）①当时，（cm）， ②此时，（cm）， ∵C是线段BD的中点， 则； （2）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动， ∴当时，， ∴； ②当时，， ∴； （3）不变； 因为AB的中点为E，C是BD的中点， 所以，， 所以，． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． 6．（23-24 七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 7．（23-24 七年级上·河南商丘·期末）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 8．（23-24 七年级上·山西运城·期末）如图，点、、和线段都在数轴上，点、、、、起始位置所表示的数分别为、0、3、12、18；线段沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度移动，当点与点重合时停止运动，移动时间为秒． (1)当时，的长为______，当时，的长为______． (2)线段在运动过程中，用含有的代数式表示的长为______． (3)当时，的长为______，当时，的长为______． (4)线段在运动过程中，求的长（用含有的代数式表示） 【答案】(1)2，8 (2) (3)5，1 (4) 【详解】（1）解：当时，CD未移动，则， 当时，此时C位置的数为：， 则． （2）解：移动t秒后点C位置的数为：， 由题可知，当D与E重合， CD运动停止， 即 解得， 则AC的长度为：（）． （3）解：当时，D的位置的数为：， 则； 当时，D位置的数为：， 则． （4）解：移动t秒后，D位置的数为：， 由（2）得， CD运动停止， ∴（）． 【点睛】本题考查了数轴上的动点，解题的关键是掌握绝对值和列代数式． 9．（23-24 七年级上·云南楚雄·期末）乐乐对几何中线段的中点与角平分线等兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面的问题吧．如图1，线段，，线段在线段上运动，E、F分别是的中点． (1)若，请求出的长； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请直接写出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，、分别平分和．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，，， ， E、F分别是的中点， ，， ， 即的长为； （2）解：的长度为，理由如下：． ． （3）解：、分别平分和， ，， ， ，， ． 10．（2024七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将一个含角的直角三角板的斜边与重合摆放在一起，过点O作射线，使得．如图，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与重合时停止运动． (1)如图①，当运动时间为 s时，斜边平分； (2)如图②，当运动时间为多少秒时，斜边平分?此时是多少度？ 【答案】(1)5 (2)当运动时间为时，斜边平分，此时是 【详解】解：（1）5 （2）因为， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 此时． 故当运动时间为时，斜边平分，此时是． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 动点与动角问题 求线段长度 1．（23-24 七年级上·浙江绍兴·期末）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 2．（23-24 七年级上·四川成都·期末）如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则= ． 3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 4．（23-24 七年级上·山东聊城·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 5．（23-24 七年级上·北京海淀·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为________； （2）若线段，则线段OM的长为________； （3）若线段（），求线段BM的长（用含a的式子表示）． 线段之间的数量关系 6．（23-24 七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24 七年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，B，C是直线上的三个定点，AB=3BC，AB-BC=6m，其中m为大于0的常数，若点D是直线上的一动点，M、N分别是AD、CD的中点，则MN与BC的数量关系是(   ) A．MN=2BC B．MN=BC C．MN=3BC D．2MN=3BC 8．（23-24 七年级上·江苏泰州·期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ． 9．（23-24·七年级上 福建厦门·期末）在数轴上，点A在点B的左侧，分别表示数a和数b，将点B向左平移4个单位长度得到点C．若C是的中点，则a，b的数量关系是 ． 动点中的定值问题 10．（23-24 七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 11．（23-24 七年级上·广东潮州·期末）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 12．（23-24 七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 13．（23-24 七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 求点的运动时间 14．（23-24 七年级上·云南昆明·期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ） A．秒或秒 B．秒或秒或或秒 C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒 15．（23-24 七年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 16．（23-24 七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 17．（23-24 七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 动角中的定值问题 18．（23-24 七年级上·河北邢台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，三角形保持不动． (1)若图2中，． ①求的值； ②分别求图1和图2中的度数． (2)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 19．（23-24 七年级上·河北石家庄·期末）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 20．（23-24 七年级上·吉林长春·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)图1中 度． (2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示位置，使一边在内部，且恰好平分，若点D、O、N三点共线，则 度． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 ．（直接写出结果） (4)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明． 21．（23-24 七年级上·陕西榆林·期末）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 角之间的数量关系 22．（23-24 七年级上·安徽宿州·期末）已知为直线上一点，是直角，平分． 　 (1)如图1，若；求的度数； (2)当绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与的数量关系是什么？请说明理由． 23．（23-24 七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 24．（23-24 七年级上·湖南娄底·期末）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，试猜想和的数量关系，并说明理由． 25．（23-24 七年级上·四川泸州·期末）已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数 (2)如图①，猜测与的数量关系 (3)当射线绕点逆时针旋转到如图②的位置时，与的数量关系如何？请说明理由． 26．（23-24 七年级上·河北石家庄·期末）已知直角三角形的直角顶点在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将三角形绕点逆时针旋转，若，求的度数； (3)如图3，将三角形绕点逆时针旋转，试写出和之间的数量关系，并说明理由． 1．（23-24 七年级上·陕西咸阳·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 2．（23-24 七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 3．（23-24 七年级上·广东云浮·期末）将一个含角的直角三角板的斜边与重合摆放在一起，过点作射线，使得．如图，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与重合时停止运动． (1)如图1，当运动时间为___________秒时，斜边平分． (2)如图2，当运动时间为多少秒时，斜边平分？并求此时的度数． 4．（23-24 七年级上·广东清远·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 5．（23-24 七年级上·福建泉州·期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）． （1）当时，①________cm， ②此时线段CD的长度=_______cm； （2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由． 6．（23-24 七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 7．（23-24 七年级上·河南商丘·期末）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 8．（23-24 七年级上·山西运城·期末）如图，点、、和线段都在数轴上，点、、、、起始位置所表示的数分别为、0、3、12、18；线段沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度移动，当点与点重合时停止运动，移动时间为秒． (1)当时，的长为______，当时，的长为______． (2)线段在运动过程中，用含有的代数式表示的长为______． (3)当时，的长为______，当时，的长为______． (4)线段在运动过程中，求的长（用含有的代数式表示） 9．（23-24 七年级上·云南楚雄·期末）乐乐对几何中线段的中点与角平分线等兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面的问题吧．如图1，线段，，线段在线段上运动，E、F分别是的中点． (1)若，请求出的长； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请直接写出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，、分别平分和．若，，求的度数． 10．（2024七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将一个含角的直角三角板的斜边与重合摆放在一起，过点O作射线，使得．如图，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与重合时停止运动． (1)如图①，当运动时间为 s时，斜边平分； (2)如图②，当运动时间为多少秒时，斜边平分?此时是多少度？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$