专题13 圆锥曲线-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题13 圆锥曲线 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握椭圆的定义、标准方程 理解和掌握椭圆的图像和性质 理解和掌握双曲线的定义、标准方程 理解和掌握双曲线的图像和性质 理解和掌握抛物线的定义、标准方程 理解和掌握抛物线的图像和性质 考点预测 椭圆的定义、标准方程 椭圆的图像和性质 双曲线的定义、标准方程 双曲线的图像和性质 抛物线的定义、标准方程 抛物线的图像和性质 要点自测 （一）椭圆 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． （2）椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) ，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （二）双曲线 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) （三）抛物线 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹． （2）抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 考点突破 考点1 椭圆的定义及标准方程 【例1】椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点， 故，，椭圆方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，，， 椭圆方程为， 故选：C. 【突破训练】 1、P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【解析】对椭圆方程变形得， 易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得， 又，故， 故选：A. 2、已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为的周长等于10，，所以， 因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上， 因此有， 所以顶点的轨迹方程可以是， 故选：A. 考点2 椭圆的性质 【例1】有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 【答案】A 【解析】椭圆方程化为：，则， 则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是. 即A错误，B,C,D正确， 故选：A. 【突破训练】 1、已知椭圆与，则两个椭圆（       ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】D 【解析】将椭圆方程整理得， 其焦点在轴上，，， 则，所以． 将椭圆方程整理得， 其焦点在轴上，，， 则，所以， 故选：D． 2、椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为的周长为，所以， 所以，椭圆的离心率为， 故选：B. 考点3 双曲线的定义及标准方程 【例1】已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上， 设双曲线方程为，， 故，又，故， 故双曲线的标准方程为：， 故选：C. 【突破训练】 1、若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（     ） A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 【答案】D 【解析】由题设，，可得， 故选：D. 2、双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 【答案】B 【解析】由题知双曲线，所以 ， 记左，右焦点分别为 ，所以根据定义得 ， 因为,所以或， 因为时，，即不满足题意， 所以， 故选B. 考点4 双曲线的性质 【例1】已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为， 得，所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以渐近线方程为，即． 故选：A． 【突破训练】 1、已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上， 故该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 2、双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【答案】D 【解析】对于双曲线可得：焦点在轴上，, 则离心率，渐近线，实轴长，焦点， 对于双曲线可得：焦点在轴上，， 则离心率，渐近线，实轴长，焦点 ∴ABC错误，D正确， 故选：D． 考点5 抛物线的定义及标准方程 【例1】若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离， 则，所以，故抛物线方程为， 故选：B． 【突破训练】 【例1】焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的焦点坐标为，A错误； 对于B，的焦点坐标为，B错误； 对于C，的焦点坐标为，C错误； 对于D，的焦点坐标为，D正确， 故选：D. 【例2】已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）. A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【解析】抛物线开口向左， 依题意，抛物线上的点与点间的距离为3， 所以，抛物线方程为， 令，得，解得， 故选：C. 考点6 抛物线的性质 【例1】对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式， 可得其开口向上，焦点坐标为， 故选：A. 【突破训练】 1、关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】A 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D错误. 故选：A. 2、下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上， 则其满足标准方程 ， 又焦点到准线的距离， 所以该抛物线的标准方程为， 故选：B. 模拟演练 一、选择题 1、椭圆 的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】椭圆， ， ， 故，焦距为， 故选：C. 2、双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（    ） A．22 B．2 C．2或22 D．24 【答案】A 【解析】设的上、下焦点分别为，则． 因为,,所以，， 则，由双曲线的定义可知，， 即，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述：， 故选：A. 3、抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，解得：， 故的准线方程为：， 故选：C. 4、与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆方程为， 双曲线的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：，则， 故椭圆方程为， 故选：C. 5、双曲线：（，）的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线：（，）的右焦点为， 且渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离， 化简得，所以双曲线的离心率． 故选：A． 6、已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知双曲线中，所以， 双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 7、已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为三个数，，成等比数列，所以，则． 当时，曲线方程为，表示椭圆， 则长半轴长为，半焦距为，所以离心率为； 当时，曲线方程为，表示双曲线， 则实半轴长为，半焦距为，所以离心率为， 故选：D. 8、若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知在椭圆中，焦点坐标为， 双曲线中,焦点坐标为,， ，,， 故双曲线的方程为， 故选：A. 9、已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为， 因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合， 所以， 故选：B. 10、已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 【答案】B 【解析】由题得双曲线方程为，所以，所以实轴长为6，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； 双曲线的焦点到一条渐近线即的距离为，由于对称性，双曲线的上下焦点到两条渐近线的距离都相等，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误， 故选：B. 二、填空题 11、求经过两点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】 故答案为： 12、二次函数的图像是顶点在原点，对称轴为y轴，且开口向上的抛物线，其准线方程为 ． 【答案】 【解析】抛物线，即， 所以抛物线的准线方程为， 故答案为：. 13、过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】由双曲线方程知：其左顶点为， 根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2， 所以所求直线为，则， 故答案为：. 14、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为 . 【答案】20 【解析】由，得，由椭圆定义可知，的周长为， 故答案为：20. 15、若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】因为的离心率为， 故，， 故双曲线的渐近线方程为：， 故答案为：. 四、解答题 16、双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. 【答案】 【解析】解：椭圆焦点为，， 根据题意得双曲线的焦点为，， 设双曲线的标准方程为，且有． 又由，得，得， 所求双曲线的方程为． 17、m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆；     （2）椭圆；     （3）双曲线？ 【答案】（1）；（2），，且；（3） 【解析】解：（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆； （2）若方程表示椭圆，则，，且， 所以当，，且时，方程为椭圆； （3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线. 18、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点，求m，b的值． 【答案】 【解析】解：由题意得：，故焦点在x轴上，所以， 把代入椭圆与双曲线中，，解得：， 代入中，解得：， 所以． 19、已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. 【答案】（1），焦点坐标为；（2）8. 【解析】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为. （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为， 设，联立方程组消去可得，则， 所以. 20、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离. 【答案】（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为 【解析】解：（1）在双曲线中，，，则渐近线方程为， ∵双曲线与双曲线有相同的渐近线， ，∴方程可化为， 又双曲线经过点，代入方程， ，解得，， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线中， ，，，∴实轴长，离心率为， 设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， ，即焦点到渐近线的距离为. $$专题13 圆锥曲线 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握椭圆的定义、标准方程 理解和掌握椭圆的图像和性质 理解和掌握双曲线的定义、标准方程 理解和掌握双曲线的图像和性质 理解和掌握抛物线的定义、标准方程 理解和掌握抛物线的图像和性质 考点预测 椭圆的定义、标准方程 椭圆的图像和性质 双曲线的定义、标准方程 双曲线的图像和性质 抛物线的定义、标准方程 抛物线的图像和性质 要点自测 （一）椭圆 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． （2）椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) ，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （二）双曲线 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) （三）抛物线 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹． （2）抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 考点突破 考点1 椭圆的定义及标准方程 【例1】椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【突破训练】 1、P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．9 2、已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 考点2 椭圆的性质 【例1】有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 【突破训练】 1、已知椭圆与，则两个椭圆（       ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 2、椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点3 双曲线的定义及标准方程 【例1】已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（     ） A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 2、双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 考点4 双曲线的性质 【例1】已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 2、双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 考点5 抛物线的定义及标准方程 【例1】若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 【突破训练】 【例1】焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）. A． B． C．或 D．4或 考点6 抛物线的性质 【例1】对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【突破训练】 1、关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 2、下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、椭圆 的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2、双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（    ） A．22 B．2 C．2或22 D．24 3、抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 4、与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5、双曲线：（，）的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 6、已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7、已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 8、若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 9、已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10、已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 二、填空题 11、求经过两点的椭圆的标准方程为 ． 12、二次函数的图像是顶点在原点，对称轴为y轴，且开口向上的抛物线，其准线方程为 ． 13、过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为 . 14、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为 . 15、若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 四、解答题 16、双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. 17、m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆；     （2）椭圆；     （3）双曲线？ 18、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点，求m，b的值． 19、已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. 20、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离. $$