专题12 直线和圆-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题12 直线和圆 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握中点坐标、两点间的距离公式 理解和掌握斜率和倾斜角 掌握直线方程的几种形式 理解和掌握两直线的位置关系 理解和掌握圆的概念和方程 理解和掌握直线与圆的位置关系 理解和掌握圆与圆的位置关系 考点预测 中点坐标、两点间距离公式 倾斜角、斜率 直线方程 两直线的位置关系 圆的方程 直线和圆的位置关系 圆与圆的位置关系 要点自测 （一）平面直角坐标系中的基本公式 （1）数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． （2）两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. （3）线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. （二）直线斜率公式 （1）若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα. （2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. （三）直线方程的主要形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 （四）两条直线的位置关系 （1）两条直线平行： 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. （2）两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. （3）两条直线的交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． （五）几种距离 （1）两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：P1P2＝. （2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. （六）圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ （七）点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： （1）M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； （2）M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； （3）M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． （八）直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r　 两组不同实数解 （九）圆与圆的位置关系 位置关系 图示 (R>r) 公共点个数 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 d>R＋r 无实数解 外切 1 d＝R＋r 两组相同实数解 相交 2 R－r<d<R＋r 两组不同实数解 内切 1 d＝R－r 两组相同实数解 内含 0 d<R－r 无实数解 考点突破 考点1 中点坐标、两点间距离公式 【例1】若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 2、已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 考点2 倾斜角、斜率 【例1】已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 【突破训练】 1、过，两点的直线的倾斜角是（       ） A．45 B．60° C．120° D．135° 2、若倾斜角为的直线过，两点，则实数（      ） A． B． C． D． 考点3 直线方程 【例1】经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1　　　　　　　 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 【突破训练】 1、若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为___________. 2、如下图，直线的方程是（       ） A． B． C． D． 考点4 两直线的位置关系 【例1】与直线垂直且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 2、已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（   ） A．或 B． C． D． 考点5 圆的方程 【例1】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 【突破训练】 1、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 2、圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________． 考点6 直线与圆的位置关系 【例1】直线：与圆：的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【突破训练】 1、直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 2、已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ） A． B． C． D． 考点7 圆与圆的位置关系 【例1】已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【突破训练】 1、若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________. 2、两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A． B． C． D．5 模拟演练 一、选择题 1、直线l：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2、已知点，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 3、过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4、已知点，则线段垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 5、圆心为且和轴相切的圆的方程是（　） A． B． C． D． 6、已知直线和圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7、以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 8、已知圆M：内有点，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 9、已知直线的斜率为，且经过两条直线和的交点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10、已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 二、填空题 11、直线n经过点，，且倾斜角为135°，则实数为 ． 12、过点且与直线垂直的直线l的方程是 ． 13、过点且与直线平行的直线方程为 . 14、直线：被圆：截得的弦长为 . 15、若曲线与直线有公共点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 16、已知直线，，若圆C的圆心在x轴上，且与直线，都相切，求圆C的方程． 17、在中，，，. （1）求的中线所在直线的方程； （2）求的面积． 18、已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 19、已知直线的方程为，求直线的一般式方程，满足： （1）过点，且与平行； （2）过点，且与垂直. 20、已知圆C：． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程． $$专题12 直线和圆 ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握中点坐标、两点间的距离公式 理解和掌握斜率和倾斜角 掌握直线方程的几种形式 理解和掌握两直线的位置关系 理解和掌握圆的概念和方程 理解和掌握直线与圆的位置关系 理解和掌握圆与圆的位置关系 考点预测 中点坐标、两点间距离公式 倾斜角、斜率 直线方程 两直线的位置关系 圆的方程 直线和圆的位置关系 圆与圆的位置关系 要点自测 （一）平面直角坐标系中的基本公式 （1）数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． （2）两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. （3）线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. （二）直线斜率公式 （1）若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα. （2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. （三）直线方程的主要形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 （四）两条直线的位置关系 （1）两条直线平行： 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. （2）两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. （3）两条直线的交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． （五）几种距离 （1）两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：P1P2＝. （2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝. （六）圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ （七）点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： （1）M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； （2）M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； （3）M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． （八）直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r　 两组不同实数解 （九）圆与圆的位置关系 位置关系 图示 (R>r) 公共点个数 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 d>R＋r 无实数解 外切 1 d＝R＋r 两组相同实数解 相交 2 R－r<d<R＋r 两组不同实数解 内切 1 d＝R－r 两组相同实数解 内含 0 d<R－r 无实数解 考点突破 考点1 中点坐标、两点间距离公式 【例1】若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】线段的中点为，设， 所以， 所以， 故选：A. 【突破训练】 1、已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，的端点及中点， 则 ，解得：， 故点的坐标为， 故选：B. 2、已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 【答案】 【解析】由已知，， 设AB的中点为D， AB的中点D坐标为 ， 故答案为：. 考点2 倾斜角、斜率 【例1】已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】B 【解析】由题得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以， 故选：B. 【突破训练】 1、过，两点的直线的倾斜角是（       ） A．45 B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【解析】由已知直线的斜率为，， 所以倾斜角， 故选：D. 2、若倾斜角为的直线过，两点，则实数（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 所以，解得； 故选：C. 考点3 直线方程 【例1】经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1　　　　　　　 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 【答案】C 【解析】由方程知，已知直线的斜率为， 所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为：y－1＝(x＋1)， 故选：C． 【突破训练】 1、若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为___________. 【答案】 【解析】因为直线l的倾斜角为，所以， 又因为直线在y轴上的截距为， 所以直线方程为：. 故答案为：. 2、如下图，直线的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率， 所以直线与轴的交点为， 所以直线的点斜式方程可得：，即． 故选：D. 考点4 两直线的位置关系 【例1】与直线垂直且过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线l的斜率为2，则所求直线方程的斜率为， 设直线方程为，因为直线过点，所以， 则直线方程为，整理得 故选：C. 【突破训练】 1、若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因直线：与直线：垂直， 则有，解得. 故选：B. 2、已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 化为：，解得或． 经过验证时，两条直线重合，舍去． ． 故选：B． 考点5 圆的方程 【例1】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 【【答案】 【解析】由得，由得， ，，以为直径的圆的圆心是，半径， 所以圆的方程为：. 【突破训练】 1、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 【答案】D 【解析】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)． 故选：D. 2、圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________． 【答案】x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 【解析】设圆心为C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 故答案为：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 考点6 直线与圆的位置关系 【例1】直线：与圆：的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离， 所以直线与圆相切， 故选：A 【突破训练】 1、直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交并且直线过圆心　　 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D　 【解析】圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝， 圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离， 故选：D. 2、已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，， 所以圆心到直线的距离为， 则，而， 所以，解得：. 故选：B. 考点7 圆与圆的位置关系 【例1】已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】由题意得，圆圆心，半径为7； 圆，圆心，半径为4， 两圆心之间的距离为， 因为，故这两圆的位置关系是相交， 故选：B. 【突破训练】 1、若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________. 【答案】3 【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切， ∴∴， 故答案为：3. 2、两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A． B． C． D．5 【答案】B　 【解析】由题意，知， 故选：B. 模拟演练 一、选择题 1、直线l：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：直线l的方程：可化为， 直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则， 又，所以， 故选：C. 2、已知点，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点，根据斜率公式， 代入数据得：， 故选：B． 3、过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程是， 即， 故选：B. 4、已知点，则线段垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得中点坐标为，而， 故垂直平分线的斜率为，方程为， 即， 故选：A． 5、圆心为且和轴相切的圆的方程是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，圆心到轴的距离， 因为轴与圆相切，所以， 所以圆的方程为， 故选：A. 6、已知直线和圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径为2， 又直线和圆有两个不同的交点， 所以，解得， 即实数的取值范围是， 故选：C. 7、以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为， 故， 故圆的方程为. 故选：D. 8、已知圆M：内有点，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆M的标准方程，可知圆心，半径，如图， 连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点， 以点P为中点的圆M的弦即为AB， ， ， 所以直线AB的方程为：， 整理得， 故选：C. 9、已知直线的斜率为，且经过两条直线和的交点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，解得，即交点为， 所以直线的方程为为，即， 故选：A. 10、已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 二、填空题 11、直线n经过点，，且倾斜角为135°，则实数为 ． 【答案】或 【解析】依题意， 所以，， 解得或， 故答案为：或. 12、过点且与直线垂直的直线l的方程是 ． 【答案】 【解析】因为直线l与直线垂直， 所以，解得：， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 13、过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】 化简得： 故答案为： 14、直线：被圆：截得的弦长为 . 【答案】 【解析】圆C的圆心C ，半径 ， 记圆心到直线的距离为，则， 因为圆的半径为， 所以直线被圆截得的弦长为， 故答案为：. 15、若曲线与直线有公共点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】曲线是以为圆心，半径为的圆， 由于曲线与直线有公共点， 所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 16、已知直线，，若圆C的圆心在x轴上，且与直线，都相切，求圆C的方程． 【答案】或. 【解析】解：设所求圆的方程为(r＞0)， 则， 或， 圆的方程为或． 17、在中，，，. （1）求的中线所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由，，得的中点为， 又，所以， 所以中线所在直线的方程为， 即. （2）由，，得， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又， 所以的面积为． 18、已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； （2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则， 由垂径定理得：． 19、已知直线的方程为，求直线的一般式方程，满足： （1）过点，且与平行； （2）过点，且与垂直. 【答案】(1)；(2). 【解析】解：（1）由与平行，可设方程为， 将点代入上式得， 所求直线方程为. （2）由题意的方程可化为， 则的斜率为，由与垂直，的斜率为， 又过，由点斜式可得方程为， 即. 20、已知圆C：． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2) 【解析】解：(1)由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离知，此时直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，设方程为，即． 由题意知，解得， ∴方程为， 故过点的圆的切线方程为或． (2)∵圆心，，即， 又，∴， 则． $$