专题11 立体几何-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题11 立体几何 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握空间中点线面的位置关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面平行关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面垂直关系 理解和掌握线面角的求法 理解和掌握二面角的求法 掌握几何体的表面积和体积公式 考点预测 异面直线所成角 四个判定定理和四个性质定理 求线面角 求二面角 求表面积 求体积 要点自测 （一）线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b （二）面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b （三）直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b （四）平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α （五）空间角 (1)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，范围：. (2)二面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范围：[0，π]． （六）圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl （七）柱、锥、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 球 S＝4πR2 V＝πR3 考点突破 考点1 点、线、面的位置关系 【例1】有下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题是（    ） A．① B．②③ C．③ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确； 对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确； 对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确； 对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确. 故选：B. 【突破训练】 1、已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 【答案】D 【解析】如图:，l//β或l⊂β， 故选：D. 2、如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以异面直线与所成角即或其补角， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：B. 考点2 空间中的平行关系 【例1】下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误， 对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误， 对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误， 对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确， 故选：B 【突破训练】 1、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，则MN （填“平行”、“不平行”）平面PAD 【答案】平行 【解析】如图， 取PD的中点 G，连接 GA，GN. ∵G，N 分别是△PDC的边PD，PC 的中点， ∴GN∥DC，GN＝DC. ∵M 为平行四边形 ABCD 的边AB的中点， ∴AM＝ DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形AMNG为平行四边形， ∴MN∥AG. 又 MN⊄平面 PAD，AG⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 故答案为：平行. 2、如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 【答案】C 【解析】由题意，取 B1C1的中点 E，连接 EM，NE，B1D1，BD， 如图．M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点， 所以 BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1， 所以平面 EMN∥平面 BB1D1D， 那么 MN∥平面 BB1D1D， 故选：C. 考点3 空间中的垂直关系 【例1】已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立； 根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立， 故选：A. 【突破训练】 1、设，为两个平面，则的充要条件是（       ） A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 【答案】D 【解析】，平行于同一个平面时，则，A错误； ，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误； 内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误； 内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确. 故选：D． 2、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【答案】C 【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误； 对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误； 对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确； 对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误， 故选：. 考点4 求线面角 【例1】在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 【答案】A 【解析】 长方体中，直线平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以，所以， 故选：A. 【突破训练】 1、如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平面， 与平面所成的角为， 又，，可得， 而平面平面， 与平面所成角的正弦值为， 故应选：B. 考点5 求二面角 【例1】在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 【答案】 【解析】如图 取的中点，连接， 在正方体中，可知， 所以， 所以二面角的平面角为， 设，所以， 所以， 故答案为：. 【突破训练】 1、自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(       ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 【答案】D 【解析】如图， A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD， 则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°， ∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角， ∵∠A＋∠BDC＝180°， ∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等， 当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补， 故选：D. 2、在正方体中，二面角的大小为__________. 【答案】 【解析】 平面，平面，， 又，平面，即为二面角的平面角，  ， 二面角的大小为， 故答案为：. 考点6 求表面积 【例1】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为，则，解得， 则该圆锥的表面积为， 故选：C. 【突破训练】 1、已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆柱的底面半径和高都是， 所以圆柱的侧面积， 故选：B. 2、若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ） A．3π B．12 C．12π D．36π 【答案】C 【解析】设球的半径为R，依题意有 ，所以， 所以球的表面积为， 故选：C. 考点7 求体积 【例1】一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 ，即 ， 由圆心角的计算公式 ，即 ，解得 ， 所以高 ， 体积 ， 故答案为：. 【突破训练】 1、已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 因为， 所以， 故选：A. 2、表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为____________． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为a，则，得， 设球的半径为R，则，即． 所以球的体积． 故答案为：. 模拟演练 一、选择题 1、已知直线l及两个不重合的平面，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，且内有无数条直线与l垂直，则 【答案】C 【解析】A选项，如图1，满足，，但不满足，A错误； 如图1， 满足，，但不满足，B错误； 若，，由面面平行的定义可知，C正确； 若内这无数条直线均平行，则不能推出，D错误， 故选：C． 2、已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】如图1， 满足，但不垂直，充分性不成立， 当时，因为，由线面垂直的定义可知：，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3、若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方体的体对角线长为，所以球的直径， 所以球的表面积为， 故选：C. 4、在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是．在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（    ） A．②①④⑤ B．②③④⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤ 【答案】B 【解析】当两直线平行时夹角为0，故两直线所成角的范围为，故①⑤错误， 其他选项根据对应的定义均为正确， 故选：B． 5、已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由已知可设，圆柱和圆锥的底面半径为，母线为， 则，，所以， 故选：C. 6、长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由图可知，， 所以是二面角的平面角， ，所以. 故选：D. 7、在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点， 所以FGAD，所以或其补角为异面直线AE，FG所成角， 设正四面体的边长为a，则，，由余弦定理得：， 所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为. 故选：C. 8、若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得， 设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以， 故选：C. 9、如图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论： ①⊥；②△是等边三角形；③与所成的角为60°；④与平面所成的角为60°． 其中错误的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】 ①取BD中点E，连接AE,CE,,故⊥，①正确：②，△是等边三角形， ③与所成的角为60°， ④与平面所成的角为45°， 故选：D. 10、已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】 如图，平面平面，平面，但平面，A错误； 分别是的中点，则平面，平面，平面，平面，显然平面与平面不平行，B项错误； 平面平面，平面，而平面，D项错误； 对于C项，，，则或.又，则. 故选：C. 二、填空题 11、下列推理正确的是 ． ①，，， ②， ③， ④， ⑤， 【答案】①②④ 【解析】①，，，，即，故①对； ②，，故②对； ③，，可能l与相交，可能有，故③不对； ④，，必有故，④对； ⑤，，则l，m可能平行，也可能异面，⑤不对， 故答案为：①②④. 12、表面积为的球的体积为 ． 【答案】 【解析】设球半径为，因为球的表面积为，所以，解得， 所以体积为. 故答案为：. 13、在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】底面，是与底面所成的角， 设正方体的棱长为，则，，， ， 故答案为：. 14、如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ． 【答案】 【解析】因为F是PC的中点，PA⊥平面ABC，PA＝4， 所以F到平面ABC的距离为2， 所以三棱锥BEFC的体积为， 故答案为：. 15、如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有 个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 【答案】4 【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确． 因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确． 因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确． 因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确， 故答案为：4. 四、解答题 16、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． （1）求证：平面; （2）求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）由题知D,E分别是的中点,, 平面平面, 平面,得证; （2）由题知,D是的中点, , 平面,平面且, 故平面得证． 17、如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若点是棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【解析】证明：（1）因为平面，平面，所以， 又因为底面是菱形，则，，平面， 所以平面. （2）连接，如图所示： 因为分别为的中点，则且， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 18、如图，在正方体中， （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求二面角的大小． 【答案】(1)；(2) 【解析】 解：（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为． 19、如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）解：平面，四边形为矩形， ， . （2）证明：平面，， 又，且点是的中点，， 又，，，平面， 又平面，， 由，，， 平面， 平面， . 20、如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. （1）求证：平面⊥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC， 又PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC. （2）解：取BC的中点为O，连接MO， PM∥BC，又PM=BC=CO，∴四边形PMOC为平行四边形，∴PC∥MO， ∵PC⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC， ∠AMO为AM与PC所成的角，即∠AMO=， ∵AC=CO=1，∠ACO=，∴AO=，∴OM=1，则四边形PMOC为正方形， ． $$专题11 立体几何 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握空间中点线面的位置关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面平行关系 理解和掌握空间中的线线、线面、面面垂直关系 理解和掌握线面角的求法 理解和掌握二面角的求法 掌握几何体的表面积和体积公式 考点预测 异面直线所成角 四个判定定理和四个性质定理 求线面角 求二面角 求表面积 求体积 要点自测 （一）线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b （二）面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b （三）直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b （四）平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α （五）空间角 (1)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，范围：. (2)二面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范围：[0，π]． （六）圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl （七）柱、锥、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 球 S＝4πR2 V＝πR3 考点突破 考点1 点、线、面的位置关系 【例1】有下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题是（    ） A．① B．②③ C．③ D．①④ 【突破训练】 1、已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．l⊂β D．平行或l⊂β 2、如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 考点2 空间中的平行关系 【例1】下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【突破训练】 1、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，则MN （填“平行”、“不平行”）平面PAD 2、如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 考点3 空间中的垂直关系 【例1】已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【突破训练】 1、设，为两个平面，则的充要条件是（       ） A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 2、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ） A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 考点4 求线面角 【例1】在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 【突破训练】 1、如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 考点5 求二面角 【例1】在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 【突破训练】 1、自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(       ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 2、在正方体中，二面角的大小为__________. 考点6 求表面积 【例1】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（       ） A． B． C． D． 2、若一个球的体积为4π，则它的表面积为（        ） A．3π B．12 C．12π D．36π 考点7 求体积 【例1】一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 【突破训练】 1、已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ） A． B． C． D． 2、表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为____________． 模拟演练 一、选择题 1、已知直线l及两个不重合的平面，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，且内有无数条直线与l垂直，则 2、已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3、若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4、在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是．在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（    ） A．②①④⑤ B．②③④⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤ 5、已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S1，S2，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6、长方体中，，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 7、在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8、若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 9、如图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论： ①⊥；②△是等边三角形；③与所成的角为60°；④与平面所成的角为60°． 其中错误的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10、已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 二、填空题 11、下列推理正确的是 ． ①，，， ②， ③， ④， ⑤， 12、表面积为的球的体积为 ． 13、在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 . 14、如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ． 15、如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有 个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 四、解答题 16、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． （1）求证：平面; （2）求证：平面． 17、如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． （1）求证：平面； （2）若点是棱的中点，求证：平面． 18、如图，在正方体中， （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求二面角的大小． 19、如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：. 20、如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. （1）求证：平面⊥平面； （2）求三棱锥的体积. $$