专题10 数列-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题10 数列 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解数列的概念，掌握Sn与an的关系 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等差数列的性质 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等比数列的性质 考点预测 Sn与an的关系 等差数列的通项公式和前n项和公式 等差数列的性质 等比数列的通项公式和前n项和公式 等比数列的性质 要点自测 （一）数列前n项和Sn与an的关系： 已知Sn，则. （二）等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 ③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． ④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （三）等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 ③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． ④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列． 考点突破 考点1 Sn与an的关系 【例1】已知数列的前项和，则______. 【答案】7 【解析】当时，； 当时，. 所以，所以. 故答案为： 【突破训练】 1、已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】， ， 故， 故选：B. 2、若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， ，也满足上式， ∴， 故答案为：6n－5． 考点2 等差数列的公式 【例1】在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】等差数列中,,， 由通项公式可得 ，解得 ， 故选：A． 【突破训练】 1、已知是等差数列，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为 ，由， 得，则 故选：B. 2、等差数列满足，则数列前项的和为 . 【答案】 【解析】等差数列的公差为，因为，， 两式相减，，即， 所以，且，所以， 所以数列前项的和为. 故答案为：. 考点3 等差数列的性质 【例1】在等差数列中，若，则 ． 【答案】 【解析】在等差数列中，因为， 又， 所以，解得， 故答案为：. 【突破训练】 1、设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 【答案】A 【解析】由题可知：成等差数列， 所以， 又，所以， 故选：A. 2、已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】是方程的两个根， ，， 故答案为：. 考点4 等比数列的公式 【例1】正项等比数列满足，，则其通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是正项等比数列，所以， 又因为，，所以，故， 所以， 故选：B. 【突破训练】 1、在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 【答案】A 【解析】设的公比为q，由，则， 解得（舍去），故， 所以，. 故选：A. 2、数列，，，，，…的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列是以1为首项，以5为公比的等比数列， 所以S10＝＝， 故选：B. 考点5 等比数列的性质 【例1】等比数列中，，则__________． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 由，可得，可得， 故， 故答案为：. 【突破训练】 1、等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且为等比数列， 故为等比数列， 故， 解得， 故选：B. 2、递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则 ． 【答案】364 【解析】设等比数列的公比为，由得， 由，解得或， 因为数列为递增数列，所以，所以，得， 因为等比数列的每一项都是正数，所以，， 所以， 故答案为：364． 模拟演练 一、选择题 1、与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与的等差中项是， 与的等比中项是， 故选：A. 2、已知数列为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【解析】，故，， 故选：B． 3、在等比数列中，已知，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】在等比数列中，，解得，则， 故选：A. 4、已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（    ） A．14 B．28 C．35 D．70 【答案】C 【解析】因为为等差数列， 所以， 所以， 则数列的前14项之和， 故选：C. 5、已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．364 B．1094 C．368 D．1092 【答案】D 【解析】等比数列的前n项和为， 若，， 设公比为，则，所以， 则， 故选：D. 6、在等比数列中，，，则公比q的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】，， 得，∴， 故选：A． 7、已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（    ） A．55 B．50 C．45 D．10 【答案】A 【解析】∵，，成等比数列， ∴，可得， 又等差数列{}的公差为1， ，解得：， 则{}的前10项和， 故选：A． 8、若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时，， 经检验，可得， 故选：D. 9、若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】根据题意，设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， 故选：D. 10、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（    ） A．568 B．566 C．675 D．696 【答案】C 【解析】在等差数列中，设公差为， 因为，所以，解得：， 又，，成等比数列，所以， 故有，整理得， 因为，所以，从而， 即，∵， ∴，故， 故选：C. 二、填空题 11、是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于 ． 【答案】669 【解析】等差数列首项，公差， 则，由， 可得 故答案为：669. 12、在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ． 【答案】4 【解析】因为等差数列前5项的和， 所以，所以， 故答案为：4. 13、数列满足，且与的等差中项是5，则 . 【答案】 【解析】， 则为等比数列，公比为2， 又，解得：， 所以， 故答案为：. 14、已知等比数列的公比成等差数列，则公比 . 【答案】2 【解析】由题意得， 而为等比数列，化简得， 而，解得， 故答案为：2. 15、等比数列的各项均为正数，且，则 ． 【答案】15 【解析】由已知得数列是各项均为正数的等比数列， 则， 所以， 故答案为：15. 四、解答题 16、设等差数列的前项和为,，已知，. （1）求首项和公差的值；（2）若，求的值. 【答案】（1）；；（2） 【解析】解：（1）由题意得：，解得：， 则公差. （2）由（I）知：， 若，即，又， 解得：. 17、已知等比数列的前项和为，且，，求. 【答案】64 【解析】解：设等比数列公比为，首项为， 由已知可得，解得，， 所以， 18、在等差数列中，已知，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前5项的和. 【答案】（1）（2）62 【解析】解：（1）设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）得，因为，， 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以. 19、 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）;（2）. 【解析】（1）设数列的公差为， 由题意知， 解得：， 故. （2）由（1）得，数列是首项为4，公比为4的等比数列， 设数列的前n项和为， 则. 20、已知等差数列满足，前4项和． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，数列的通项公式． 【答案】(1)；(2)或 【解析】解：（1）设等差数列首项为，公差为d， ∵，∴，解得：， ∴等差数列通项公式. （2）设等比数列首项为，公比为q， ∵，∴，解得：， 即或， ∴等比数列通项公式或． $$专题10 数列 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解数列的概念，掌握Sn与an的关系 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等差数列的性质 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 理解和掌握等比数列的性质 考点预测 Sn与an的关系 等差数列的通项公式和前n项和公式 等差数列的性质 等比数列的通项公式和前n项和公式 等比数列的性质 要点自测 （一）数列前n项和Sn与an的关系： 已知Sn，则. （二）等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 ③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． ④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （三）等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 ③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． ④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列． 考点突破 考点1 Sn与an的关系 【例1】已知数列的前项和，则______. 【突破训练】 1、已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 2、若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 考点2 等差数列的公式 【例1】在等差数列中，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【突破训练】 1、已知是等差数列，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 2、等差数列满足，则数列前项的和为 . 考点3 等差数列的性质 【例1】在等差数列中，若，则 ． 【突破训练】 1、设等差数列的前n项和为，若，则（     ） A．45 B．32 C．47 D．54 2、已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 考点4 等比数列的公式 【例1】正项等比数列满足，，则其通项公式（     ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 2、数列，，，，，…的前10项和为（ ） A． B． C． D． 考点5 等比数列的性质 【例1】等比数列中，，则__________． 【突破训练】 1、等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2、递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则 ． 模拟演练 一、选择题 1、与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 2、已知数列为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．15 D．24 3、在等比数列中，已知，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4、已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（    ） A．14 B．28 C．35 D．70 5、已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．364 B．1094 C．368 D．1092 6、在等比数列中，，，则公比q的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7、已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（    ） A．55 B．50 C．45 D．10 8、若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9、若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 10、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（    ） A．568 B．566 C．675 D．696 二、填空题 11、是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于 ． 12、在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ． 13、数列满足，且与的等差中项是5，则 . 14、已知等比数列的公比成等差数列，则公比 . 15、等比数列的各项均为正数，且，则 ． 四、解答题 16、设等差数列的前项和为,，已知，. （1）求首项和公差的值；（2）若，求的值. 17、已知等比数列的前项和为，且，，求. 18、在等差数列中，已知，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前5项的和. 19、 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 20、已知等差数列满足，前4项和． （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，，数列的通项公式． $$