专题09 平面向量和复数-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题9 平面向量和复数 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解向量有关的的概念 理解和掌握向量的线性运算 理解和掌握向量的基本定理及坐标表示 理解和掌握解向量的数量积 理解和掌握复数的有关概念 掌握复数的运算 掌握实系数一元二次方程的解法 考点预测 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积 复数的概念 复数的运算 解实系数一元二次方程 要点自测 （一）向量 1．向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 3．向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 4．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 5．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 6．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b. 7．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 （二）复数 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. (2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． (3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 4．复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 5．共轭复数 ①定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. ②表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 6．复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 7．复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 8．复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 9．复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 10．实系数一元二次方程的解法 在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 (1)求根公式法 ①时， ②<0时， 考点突破 考点1 向量的有关概念 【例1】下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 【突破训练】 1、下列命题正确的是( ) A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 2、下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 考点2 向量的线性运算 【例1】向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2、已知与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点3 向量的数量积 【例1】设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 【突破训练】 1、已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2、已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点4 复数的概念 【例1】若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【突破训练】 1、复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2、若为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 考点5 复数的运算 【例1】已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 【突破训练】 1、设，则（       ） A． B． C． D． 2、（    ） A． B． C． D． 考点6 解实系数一元二次方程 【例1】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）. A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 2、在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2、已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 3、在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 4、已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5、下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 6、已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 7、已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 8、已知向量，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 9、若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 10、已知向量，，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 11、已知向量 ， 且， 则 ． 12、已知向量，且，则向量与的夹角为 . 13、已知平面向量与的夹角为，，，则 ． 14、已知向量，若，则 ． 15、已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______． 四、解答题 16、已知向量，向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 17、已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为. （1）求； （2）求． 18、已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． （1）求证：⊥； （2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标． 19、已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与垂直，求实数的值． 20、已知平面向量，满足，，其中. （1）若，求实数m的值. （2）若，若与夹角的余弦值． $$专题9 平面向量和复数 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解向量有关的的概念 理解和掌握向量的线性运算 理解和掌握向量的基本定理及坐标表示 理解和掌握解向量的数量积 理解和掌握复数的有关概念 掌握复数的运算 掌握实系数一元二次方程的解法 考点预测 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积 复数的概念 复数的运算 解实系数一元二次方程 要点自测 （一）向量 1．向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 3．向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 4．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 5．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 6．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b. 7．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 （二）复数 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. (2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． (3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 4．复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 5．共轭复数 ①定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. ②表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 6．复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 7．复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 8．复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 9．复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 10．实系数一元二次方程的解法 在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 (1)求根公式法 ①时， ②<0时， 考点突破 考点1 向量的有关概念 【例1】下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 【答案】D 【解析】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有∥，知A错； 取，则对于任意向量，都有∥，∥，但得不到∥，知B错； 两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错； 由两向量相等的概念知D正确， 故选：D． 【突破训练】 1、下列命题正确的是( ) A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 【答案】D 【解析】当时，A不对； 如图，△ABC的中位线EF，a＝，c＝，b＝，显然满足B的条件，但a∥c，故B不对； 当与的基线平行或重合时，与共线，但显然前者A、B、C、D四点不共线，故C错； 假若a与b中存在一个向量为0，则一定有a∥b，与a、b不共线条件矛盾，∴D正确， 故选：D. 2、下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 【答案】B 【解析】向量相等包含两层含义，一个是方向相同，一个是大小相等， 两个向量是不能比较大小的，只有向量的模长可以比较大小， 故选：B. 考点2 向量的线性运算 【例1】向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 【突破训练】 1、已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】＝＋＋＝＝＝2， 故选：C. 2、已知与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量共线可得+λ=k(-3)，即+λ=k-3 k， ∴，解得λ=-， 故选：B. 考点3 向量的数量积 【例1】设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】，故， 故选：C. 【突破训练】 1、已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】, 故选：C. 2、已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与垂直，故，解得， 则,，设与夹角为， 则， 故选：A. 考点4 复数的概念 【例1】若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的实部与虚部之和为0，得，即， 故选：A. 【突破训练】 1、复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的虚部是-1， 故选: A. 2、若为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，时，，所以， 故选：C. 考点5 复数的运算 【例1】已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，， 故选：D. 【突破训练】 1、设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，则， 所以，解得，因此，， 故选：C. 2、（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 考点6 解实系数一元二次方程 【例1】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设方程为，则， 所以，，所以， 则方程为，故只有B选项符合题意. 故选：B. 【突破训练】 1、已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是方程的一个根， 是方程的另一个根， ， . 故选：B. 2、在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程，即，开方得， 故选：C． 模拟演练 一、选择题 1、关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误； B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确； C.向量不能比较大小，故C错误； D.当向量时，与不一定平行，故D错误； 故选：B． 2、已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】向量，，而与共线， 则，解得， 所以实数的值为， 故选：C. 3、在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程，即，开方得， 故选：C． 4、已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为向量，所以， 所以， 故选：D. 5、下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确； 故选：D. 6、已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解析】因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 故选：B. 7、已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知向量，，所以， 因为，所以， 解得，则， 故选：A. 8、已知向量，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，所以， 由，可得， 所以，因为，所以， 故选：A. 9、若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】 【解析】∵， ∴ 解得 ， 故选：D. 10、已知向量，，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由已知得，， 又，所以， 即. 解得， 故选：D. 二、填空题 11、已知向量 ， 且， 则 ． 【答案】2 【解析】因为，由，，则， 所以，解得， 故答案为: 2. 12、已知向量，且，则向量与的夹角为 . 【答案】 【解析】因为，故， 而，故即， 故， 而，故， 故答案为：. 13、已知平面向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【解析】由题得，，， 所以， 故答案为：. 14、已知向量，若，则 ． 【答案】-2 【解析】因为向量，且， 所以，所以， 故答案为：-2. 15、已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______． 【答案】5 【解析】由题得方程的另外一个虚根为， 所以， 故答案为：5. 四、解答题 16、已知向量，向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】(1)2；(2) 【解析】解：（1）∵，且， ∴， ∴. （2）∵， ∴，即， ∴， ∴. 17、已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为. （1）求； （2）求． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1），， . （2）， ∴． 18、已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． （1）求证：⊥； （2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2)(0，5) 【解析】（1）证明：A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． ∴＝(1，1)，＝(－3，3)， 又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴⊥. （2）解：∵⊥，若四边形ABCD为矩形，则＝， 设C点的坐标为(x，y)，则有(1，1)＝(x＋1，y－4)， ∴∴ ∴点C的坐标为(0，5)． 19、已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）若与垂直，求实数的值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】解：（1）因为向量，且与的夹角为， 所以， 解得，所以 ， 则. （2）由（1）知m = 1，故， 故，， 因为 与 垂直， 所以， 解得． 20、已知平面向量，满足，，其中. （1）若，求实数m的值. （2）若，若与夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2). 【解析】解：（1）因为，， 所以，即， 所以， 又，所以， 解得； （2）因为，所以，解得，所以， 所以，， 所以，， 所以． $$