专题08 三角函数的和差公式、正余弦定理-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题08 三角函数的和差公式、正余弦定理 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握正弦、余弦、正切的和差公式 理解和掌握二倍角公式 理解和掌握辅助角公式 理解和掌握三角形面积公式 理解和掌握正余弦定理 考点预测 实正弦、余弦、正切的和差公式 二倍角公式 辅助角公式 三角形面积公式 正余弦定理 要点自测 （一）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）公式T(α－β)：tan(α－β)＝； （6）公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）公式T2α：tan 2α＝. （三）常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) （四）正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ （五）三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 考点突破 考点1 和差公式 【例1】（     ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、（    ） A． B． C． D． 2、若，则的值为（　　） A．－ B． C．－3 D．3 考点2 二倍角公式 【例1】 的值是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 2、下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 考点3 辅助角公式 【例1】的值为（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、函数的最小值是 . 2、计算的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 考点4 面积公式 【例1】在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在中，，，若的面积等于，则边长为__________． 2、在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 考点5 正余弦定理 【例1】的内角，，的对边分别为，，.若，，则（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 2、在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 模拟演练 一、选择题 1、（    ） A． B． C． D．— 2、化简的结果为（       ） A．x B． C． D． 3、在△ABC中，若三边之比，则等于（    ） A． B． C．2 D．－2 4、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（    ） A．8 B．6 C．5 D．3 5、的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6、若，，，，则（    ） A． B． C． D． 7、=（     ） A． B． C． D． 8、已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A． B． C．或 D．2或 9、已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 10、化简（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、化简 ． 12、在△ABC中，已知，则 . 13、在中，，，，则 ． 14、已知,且,则 ． 15、在△ABC中，D是BC上的点，AD平分，△ABD面积是△ADC面积的2倍．则 ． 四、解答题 16、已知均为锐角，求的值． 17、已知角 （1）求的值； （2）求的值． 18、在△中，角的对边分别为，若，且. （1）求的值； （2）若，求△的面积. 19、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 20、已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域． $$专题08 三角函数的和差公式、正余弦定理 ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解和掌握正弦、余弦、正切的和差公式 理解和掌握二倍角公式 理解和掌握辅助角公式 理解和掌握三角形面积公式 理解和掌握正余弦定理 考点预测 实正弦、余弦、正切的和差公式 二倍角公式 辅助角公式 三角形面积公式 正余弦定理 要点自测 （一）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； （2）公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； （3）公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； （4）公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； （5）公式T(α－β)：tan(α－β)＝； （6）公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）公式T2α：tan 2α＝. （三）常用的部分三角公式 （1）sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式) （2）asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式) （四）正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ （五）三角形常用面积公式及变形公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 考点突破 考点1 和差公式 【例1】（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 故选：. 【突破训练】 1、（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A． 2、若，则的值为（　　） A．－ B． C．－3 D．3 【答案】A 【解析】∵，∴， 故选：A. 考点2 二倍角公式 【例1】 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：， 故选：A． 【突破训练】 1、已知角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由角终边上一点得， . 故选：C. 2、下列各式中，值不为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A符合，； B不符合，； C不符合，； D不符合，. 故选：A. 考点3 辅助角公式 【例1】的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B． 【突破训练】 1、函数的最小值是 . 【答案】 【解析】， 其中，，所以， 故答案为：. 2、计算的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故选：B． 考点4 面积公式 【例1】在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，则， 故选：A. 【突破训练】 1、在中，，，若的面积等于，则边长为__________． 【答案】 【解析】因为，故， 所以.又，所以， 故， 从而， 故答案为：． 2、在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 整理得：， 由余弦定理得：， 即，即， 又，解得. 故选：C. 考点5 正余弦定理 【例1】的内角，，的对边分别为，，.若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理及， 得，解得， 在中，，，于是为锐角， 所以. 故选：C 【突破训练】 1、在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 则， 故或. 因为，所以，所以， 故选：A. 2、在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由得，， 由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C 模拟演练 一、选择题 1、（    ） A． B． C． D．— 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 2、化简的结果为（       ） A．x B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故选：B. 3、在△ABC中，若三边之比，则等于（    ） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【解析】根据正弦定理可得， 故选：B. 4、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（    ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【解析】在中，，∵， ∴， 由正弦定理得， 故选：C． 5、的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为， 所以，解得， 故选：C． 6、若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，， 得，， 所以， 故选：C. 7、=（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 所以， 故选：D. 8、已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【解析】在中，，，， 由余弦定理得， ，即， 解得或， 故选：C. 9、已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦定理，由 因为，所以，于是有， 故选：A. 10、化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 二、填空题 11、化简 ． 【答案】0 【解析】， ， 化简原式， 故答案为：0. 12、在△ABC中，已知，则 . 【答案】4 【解析】由正弦定理得， 由余弦定理得， 故答案为：. 13、在中，，，，则 ． 【答案】 【解析】在中，由正弦定理可得， 即，， 所以. 故答案为：. 14、已知,且,则 ． 【答案】 【解析】由题意得：， ， 解得：，， 故答案为：. 15、在△ABC中，D是BC上的点，AD平分，△ABD面积是△ADC面积的2倍．则 ． 【答案】 【解析】 由于AD平分，△ABD面积是△ADC面积的2倍， 所以， 所以，由正弦定理得. 故答案为：. 四、解答题 16、已知均为锐角，求的值． 【答案】 【解析】由均为锐角，可知 ,， 由得， 由得， 所以 . 17、已知角 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：(1) 因为角， 所以， 所以； (2)． 18、在△中，角的对边分别为，若，且. （1）求的值； （2）若，求△的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵, ∴， ∴ . （2）由（1）可得 ， 在△中，由正弦定理得 ， ∴． 19、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】(1)；(2)7 【解析】解：（1）变形为：， 所以，因为， 所以. （2）因为，且， 所以， 由正弦定理得：， 即， 解得：． 20、已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：(1) ， 所以函数的最小正周期为． (2)由知， 则， 故， 故函数的值域是． $$