专题06 弧度制、三角函数定义、同角三角函数的关系、诱导公式-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题06 弧度制、三角函数定义、同角三角函数的关系、诱导公式 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解角的概念，掌握角的表示方法 理解弧度制的含义，掌握度和弧度的转化 掌握弧长、面积公式 理解三角函数的定义并会求值 掌握同角三角函数的关系 掌握诱导公式，会用诱导公式化简 考点预测 角的表示 度和弧度的转化 弧长、扇形公式 三角函数的定义及求值 同角三角函数的化简及计算 诱导公式的化简及计算 要点自测 （一）角的概念 (1)非象限角 ①终边在x轴上的角的集合可记作：{α|α＝kπ，k∈Z} ； ②终边在y轴上的角的集合可记作： ； (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. （二）弧度制 (1)弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′. (2)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． （三）任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα （四）同角三角函数的基本关系： ①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． （五）诱导公式： 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点突破 考点1 角的概念 【例1】下列说法正确的是（       ） A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角 【突破训练】 1、下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C．) D．) 2、教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（       ） A． B． C． D． 考点2 弧度制 【例1】角所在的象限为（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【突破训练】 1、将210°化成弧度为（       ） A． B． C． D． 2、已知圆锥的底面直径为2，圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 考点3 任意角的三角函数 【例1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【例2】平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 2、已知角α的终边与单位圆交于点，则=（　　） A． B． C． D． 考点4 同角三角函数的关系 【例1】已知cosα=，tanα=1，则sinα=（     ） A． B． C． D． 【例2】若，且为第四象限角，则的值为（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 2、若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 考点5 诱导公式 【例1】若，为第四象限角，则等于（       ） A． B． C． D． 【例2】（       ） A． B．0 C． D． 【突破训练】 1、已知扇形的半径为6，且扇形的弧长为，设其圆心角为，则等于（    ） A． B． C． D． 2、平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1、已知，则点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2、已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则m=（    ） A．-4 B．4 C．±4 D．5 3、圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（    ）cm A．15 B．30 C． D． 4、若，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 5、已知，则（     ） A． B． C． D． 6、已知，则（    ） A． B． C． D． 7、已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 8、已知，则（　　） A． B． C． D． 9、已知，则（    ） A． B． C． D．3 10、已知函数，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、在到范围内，与终边相同的角为 ． 12、角的终边经过点，且，则 . 13、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ． 14、若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 . 15、若，则 ． 四、解答题 16、已知. （1）写出与角终边相同的角的集合； （2）写出在内与角终边相同的角. 17、已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求和的值． 18、已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 19、如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为，求的值. 20、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． $$专题06 弧度制、三角函数定义、同角三角函数的关系、诱导公式 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解角的概念，掌握角的表示方法 理解弧度制的含义，掌握度和弧度的转化 掌握弧长、面积公式 理解三角函数的定义并会求值 掌握同角三角函数的关系 掌握诱导公式，会用诱导公式化简 考点预测 角的表示 度和弧度的转化 弧长、扇形公式 三角函数的定义及求值 同角三角函数的化简及计算 诱导公式的化简及计算 要点自测 （一）角的概念 (1)非象限角 ①终边在x轴上的角的集合可记作：{α|α＝kπ，k∈Z} ； ②终边在y轴上的角的集合可记作： ； (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. （二）弧度制 (1)弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′. (2)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． （三）任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)． (2)三角函数值在各象限的符号： sinα　　　　　cosα　　　　　tanα （四）同角三角函数的基本关系： ①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． （五）诱导公式： 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点突破 考点1 角的概念 【例1】下列说法正确的是（       ） A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角 【答案】B 【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确； 相等的角终边一定相同；所以B正确； 小于的角是锐角可以是负角，C错； 第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误， 故选：B. 【突破训练】 1、下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． C．) D．) 【答案】C 【解析】与角终边相同角可以表示为； 对A，由找不到整数让，所以A错误； 对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，； 对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误， 故选：C. 2、教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针，其大小为， 故时针需要旋转弧度， 故选：A. 考点2 弧度制 【例1】角所在的象限为（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】，角位于第三象限， 故选：C. 【例2】一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r， 则解得， 故选：C． 【突破训练】 1、将210°化成弧度为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 2、已知圆锥的底面直径为2，圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的母线长为x，其侧面展开图的弧长为， 所以，解得， 所以圆锥的表面积为， 故选：B. 考点3 任意角的三角函数 【例1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边与单位圆交于点， 所以根据三角函数的定义可知，， 故选：C． 【例2】平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，点到原点距离， 所以， 故选：A. 【突破训练】 1、已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，解得， 故选：C． 2、已知角α的终边与单位圆交于点，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数的定义可知， 所以， 故选：A. 考点4 同角三角函数的关系 【例1】已知cosα=，tanα=1，则sinα=（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B. 【例2】若，且为第四象限角，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所以，， 故选：D. 【突破训练】 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， 故选：A. 2、若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以， 故选：B. 考点5 诱导公式 【例1】若，为第四象限角，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，所以， 则， 故选：C. 【例2】（       ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A 【突破训练】 1、已知扇形的半径为6，且扇形的弧长为，设其圆心角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由弧长公式变形得到， ∴， 故选：D. 2、平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，点到原点距离， 所以， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1、已知，则点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解析】因为，所以为第四象限角， 所以，， 所以点位于第四象限， 故选：D. 2、已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则m=（    ） A．-4 B．4 C．±4 D．5 【答案】B 【解析】由题可知，， 所以，解得，(舍去)，故A，C，D错误， 故选：B. 3、圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（    ）cm A．15 B．30 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以扇形的面积， 故选：C. 4、若，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】因为， 故选：B. 5、已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知， 两边平方可得：， 所以，所以， 故选：D． 6、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 根据诱导公式得， 即，所以， 故选：A. 7、已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得， 所以 故答案为：A. 8、已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，， 所以， 故选：D. 9、已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】因为，所以，解得=，则， 故选：D. 10、已知函数，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 再由. 故选：D. 二、填空题 11、在到范围内，与终边相同的角为 ． 【答案】 【解析】因为，所以在 到范围内，与终边相同的角为， 故答案为：. 12、角的终边经过点，且，则 . 【答案】4 【解析】由，可得， 故答案为：4. 13、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ． 【答案】6 【解析】扇形的周长为， 故答案为：6. 14、若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】由题可知该圆锥的底面半径， 设圆锥的母线长为l，则，得. 此该圆锥的体积， 故答案为：. 15、若，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题 16、已知. （1）写出与角终边相同的角的集合； （2）写出在内与角终边相同的角. 【答案】(1)；(2)，， 【解析】解：（1）与角终边相同的角的集合为. （2）令，得，又，∴k=-2，-1，0， ∴在内与角终边相同的角是，，. 17、已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求和的值． 【答案】见解析. 【解析】解：依题意，得点到原点的距离， ∴． ∵，∴，∴，∴， ∴角的终边在第二或第三象限． 当角的终边在第二象限时，，，； 当角的终边在第三象限时，，，． 18、已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）点到坐标原点的距离， 因为，所以，根据三角函数的定义， 可得． （2）根据三角函数的定义，可得， ． 19、如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为，求的值. 【答案】8 【解析】因为角终边与单位圆相交于点， 所以， 所以. 20、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若α＝， R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 【答案】（1） cm （2）α＝2时，S最大为25 （3） cm2 【解析】解：（1）α＝60°＝，l＝10×＝ cm. （2）由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25. 所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. （3）设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm， S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin ＝（）cm2． $$