专题04 函数的性质-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题04 函数的性质 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握函数单调性的定义，并会用定义法判断函数 的单调性 理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的 方法 理解函数周期的定义，会求函数的周期，并会用周期求函数值 考点预测 判断函数的单调性 利用函数单调性求值域 判断函数的奇偶性，用奇偶性解决问题 求函数的周期，用周期求函数值 要点自测 （一）函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （二）函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (2)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． (3)函数奇偶性与单调性之间的关系 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； 若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． （三）函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点突破 考点1 函数的单调性 【例1】若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上是增函数， ，解得：，则， 故选：B. 【例2】设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则的大小关系是（    ） A．． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又在上单调递减，， 所以，即， 故选：A. 【突破训练】 1、．若函数的单调减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的对称轴为且开口向上，单调减区间是， 所以，所以， 故选：B． 2、如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．增函数且最小值是 【答案】D 【解析】因为为奇函数，在上是增函数且最大值为5， 所以在区间上为增函数，且最小值是， 故选：D. 考点2 函数的奇偶性 【例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】=-， 故答案为：B. 【例2】已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】对于选项C：令，则， 因为函数为奇函数，函数为偶函数， 所以，是奇函数， 同理可证是偶函数，是奇函数，是偶函数，选项C正确， 故选：C. 【突破训练】 1、函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：当时，，， 函数是R上的奇函数，故， 故选：C. 2、已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由得：， 因为分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以 ，故可解得：， 故选：B. 考点3 函数的周期性 【例1】下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数， 故选：C. 【突破训练】 1、已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数， 所以为的周期，即， 所以， 故选：A. 2、已知定义在上的函数满足，当时，，则 . 【答案】 【解析】由得， 故是以2为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. 模拟演练 一、选择题 1、下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. 是奇函数，在R上单调递增； B. 是偶函数，在上单调递减，满足题意； C. 是偶函数，在上单调递增； D. 是奇函数，在上单调递减， 故选：B. 2、函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：当时，，， 函数是R上的奇函数，故， 故选：C. 3、设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数是定义在上的奇函数， 则，且， ∴， 故选：D. 4、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是偶函数，所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即， 故选：D. 5、已知奇函数，当时，（m为常数），则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】依题意是奇函数，由于时，， 所以， 所以时，， 所以， 故选：C. 6、已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解析】，， 所以，所以， 因为，所以， 故选：B. 7、已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得：，， 则， 故选：D． 8、如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是 A．减函数且最小值是2 B．减函数且最大值是2 C．增函数且最小值是2 D．增函数且最大值是2 【答案】A 【解析】由偶函数图像关于轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反， 所以函数在上为减函数，且最小值为2， 故选A. 9、已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则等于（    ） A．2013 B．2 C．-2 D．2012 【答案】C 【解析】∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的周期是4， ∵f（1）=2，f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（2015）=f（4×503+3）=f（3）=﹣f（1）=﹣2． 故答案为：C. 10、已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意实数，有, 所以函数在上单调递减， 又因为函数为定义在上的奇函数，且， 则，所以得， 故选：D. 二、填空题 11、已知为偶函数，且当时，则，则 ． 【答案】 【解析】， 故答案为：. 12、函数和都是上的增函数，则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】因为函数和都是上的增函数， 所以，解得，所以a的取值范围为， 故答案为：. 13、已知函数在上单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由函数在上单调递减， 所以不等式的解集为， 即，即， 故答案为：. 14、已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数， 所以，， 因为当时，，所以， 所以，所以， 故答案为：. 15、已知函数是上的奇函数，函数在上单调递减，，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】依题意，函数是上的奇函数，函数在上单调递减，， 由此画出的大致图像如下图所示， 由图可知，的解集是， 故答案为： . 四、解答题 16、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）计算，； （2）求的解析式． 【答案】1）；（2）. 【解析】解：（1）∵是上的奇函数，∴， 因为是上的奇函数，又时， 所以. （2）当时，，因为当时，， 所以， 又∵函数是上的奇函数，即， ∴，又 ， ． 17、求的单调区间，并求这个函数的最值. 【答案】在上是减函数，在上是增函数，. 【解析】解：图象的对称轴为，开口向上， 因此在上是增函数，在上是减函数， ∴，而， 所以，. 18、设函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1)；(2)偶函数，理由见解析 【解析】解：（1）由解得函数的定义域为； （2）为偶函数，由，定义域关于原点对称，得函数为偶函数． 19、设函数是定义在上的奇函数，且，求a，b的值. 【答案】； 【解析】解：∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得，又∵， ∴，解之得， 所以函数的解析式为：，a=2，b=0． 20、已知函数，． （1）用定义法证明：函数在上单调递增； （2）求不等式的解集． 【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】解：（1）任取，且， ， 因为，且，故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （2），定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为. $$专题04 函数的性质 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握函数单调性的定义，并会用定义法判断函数 的单调性 理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的 方法 理解函数周期的定义，会求函数的周期，并会用周期求函数值 考点预测 判断函数的单调性 利用函数单调性求值域 判断函数的奇偶性，用奇偶性解决问题 求函数的周期，用周期求函数值 要点自测 （一）函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （二）函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (2)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． (3)函数奇偶性与单调性之间的关系 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； 若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． （三）函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点突破 考点1 函数的单调性 【例1】若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则的大小关系是（    ） A．． B． C． D． 【突破训练】 1、．若函数的单调减区间是，则（    ） A． B． C． D． 2、如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．增函数且最小值是 考点2 函数的奇偶性 【例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【突破训练】 1、函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2、已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 考点3 函数的周期性 【例1】下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【突破训练】 1、已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 2、已知定义在上的函数满足，当时，，则 . 模拟演练 一、选择题 1、下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 2、函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3、设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5、已知奇函数，当时，（m为常数），则（    ） A．1 B．2 C． D． 6、已知函数，若，则（    ） A． B． C．3 D．2 7、已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 8、如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是 A．减函数且最小值是2 B．减函数且最大值是2 C．增函数且最小值是2 D．增函数且最大值是2 9、已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则等于（    ） A．2013 B．2 C．-2 D．2012 10、已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、已知为偶函数，且当时，则，则 ． 12、函数和都是上的增函数，则a的取值范围是___________. 13、已知函数在上单调递减，则不等式的解集为 . 14、已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 15、已知函数是上的奇函数，函数在上单调递减，，则不等式的解集是 . 四、解答题 16、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）计算，； （2）求的解析式． 17、求的单调区间，并求这个函数的最值. 18、设函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 19、设函数是定义在上的奇函数，且，求a，b的值. 20、已知函数，． （1）用定义法证明：函数在上单调递增； （2）求不等式的解集． $$