专题03 函数及其表示-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题03 函数及其表示 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解函数的概念，理解定义域、值域的含义 掌握定义域、值域、解析式的求法 理解相同函数的含义并会判断是否是相同函数 理解分段函数的概念，会利用分段函数求值 理解复合函数的概念，会求复合函数的值 考点预测 求定义域、值域、解析式 判断是否是相同函数 求分段函数的值 求复合函数的值 要点自测 （一）函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （二）函数的三要素 函数的三要素是：定义域，对应关系（解析式），值域. (1)定义域的求法：函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0；对数的真数大于0；偶次根式下的被开方数大于或等于0；0的0次幂没有意义等． (2)求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法等. (3)解析式的求法：待定系数法、换元法、方程(组)法、配凑法等. （三）相等函数 两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形). （四）分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围． （五）复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点突破 考点1 函数的概念 【例1】下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A．（） B．（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 【突破训练】 1、在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A． B． C． D． 考点2 求定义域 【例1】函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D．且 【例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 2、若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点3 求值域 【例1】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】函数的值域为 . 【突破训练】 1、函数，若，则函数的值域为 . 2、二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 考点4 求解析式 【例1】设函数，则的解析式为（       ） A． B． C． D． 【例2】定义域为的函数满足，则（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知，求． 2、已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 考点5 判断相同函数 【例1】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【突破训练】 1、下列各组函数是同一函数的是 . ①与           ②与 ③与              ④与 考点6 分段函数 【例1】函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2、已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 考点7 复合函数 【例1】已知f（x）= 求的值． 【突破训练】 1、已知函数，求，的值. 模拟演练 一、选择题 1、函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ①③ C.③④ D.①④ 3、已知函数 则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 4、若函数,则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5、设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6、已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为 （     ） A． B． C． D． 7、若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8、函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 9、已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．0 10、已知函数，若，则a的值为（    ） A． B．2 C．9 D．-2或9 二、填空题 11、函数的定义域为 . 12、函数的值域 . 13、已知，则 . 14、已知函数，则的值是______． 15、已知函数对任意实数都满足：，且，则 . 四、解答题 16、已知函数． （1）求； （2）求的解析式． 17、若，，求，. 18、函数的定义域为. （1）设，求t的取值范围； （2）求函数的值域. 19、函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B. （1）求集合A，B； （2）若集合A，B满足，求实数a的取值范围. 20、已知函数 （1）求， （2）若，求实数的取值范围. $$专题03 函数及其表示 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解函数的概念，理解定义域、值域的含义 掌握定义域、值域、解析式的求法 理解相同函数的含义并会判断是否是相同函数 理解分段函数的概念，会利用分段函数求值 理解复合函数的概念，会求复合函数的值 考点预测 求定义域、值域、解析式 判断是否是相同函数 求分段函数的值 求复合函数的值 要点自测 （一）函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （二）函数的三要素 函数的三要素是：定义域，对应关系（解析式），值域. (1)定义域的求法：函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0；对数的真数大于0；偶次根式下的被开方数大于或等于0；0的0次幂没有意义等． (2)求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法等. (3)解析式的求法：待定系数法、换元法、方程(组)法、配凑法等. （三）相等函数 两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形). （四）分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围． （五）复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点突破 考点1 函数的概念 【例1】下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A．（） B．（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 【答案】D 【解析】由函数的定义可知：对定义域内任意一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应， 所以（1）（3）（4）符合，（2）中，一个x的值，有两个不同的y值与之对应，所以不符合， 故选：D. 【突破训练】 1、在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义可知，一个只能对应一个，所以ABC错，D正确， 故选：D. 考点2 求定义域 【例1】函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】根据题意得，解得，且， 所以函数的定义域为且， 故选：D. 【例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，故，解得， 故的定义域为， 故选：B. 【突破训练】 1、函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，则解得且， 故选：A. 2、若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得.令，得的定义域为， 故选：A. 考点3 求值域 【例1】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为反比例函数在上单调递减， 函数的图像可由的图像向右平移一个单位后得到， 所以函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减， 所以，即， 故选：C. 【例2】函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为是定义域上的增函数， 所以当时，，所以， 故的值域为：. 【突破训练】 1、函数，若，则函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为函数为增函数， 所以最小值为，最大值为， 故函数的值域为：. 2、二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：， 则， 所以函数在此区间上的值域为， 故选：A. 考点4 求解析式 【例1】设函数，则的解析式为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故选：B. 【例2】定义域为的函数满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义域为的函数满足， 所以有，即， 所以，得， 故选：D. 【突破训练】 1、已知，求． 【答案】 【解析】解：令， 所以． 2、已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设一次函数，则， 由得，即， 解得，， 故选：A． 考点5 判断相同函数 【例1】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】对于A，两个函数的定义域都是，，对应关系完全一致，所以两函数是相同函数，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故D不符题意， 故选：A. 【突破训练】 1、下列各组函数是同一函数的是 . ①与           ②与 ③与              ④与 【答案】④ 【解析】对于①，f（x）＝x﹣1（x∈R），与g（x）1＝x﹣1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数； 对于②，f（x）＝x（x∈R），与g（x）|x|（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数； 对于③，f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数； 对于④，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．综上，是同一函数的序号为④， 故答案为：④． 考点6 分段函数 【例1】函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 故， 故选：D. 【突破训练】 1、已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因函数，则， 所以， 故选：C. 2、已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题图可知，由题表可知，故， 故选：D． 考点7 复合函数 【例1】已知f（x）= 求的值． 【答案】0 【解析】解：， ， ． 【突破训练】 1、已知函数，求，的值. 【答案】 【解析】解：． 模拟演练 一、选择题 1、函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得， 所以函数的定义域是：， 故选：B. 2、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ①③ C.③④ D.①④ 【答案】C 【解析】只有当两个函数的定义域和解析式相同时，才表示同一函数， 因为，所以①②表示的不是同一函数，③④表示的是同一函数， 故选：C. 3、已知函数 则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由题意可得，则， 故选：B. 4、若函数,则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，所以， 所以， 即， 故选：D. 5、设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数是一个开口向上，对称轴为的抛物线， 做出函数在范围内的图像可知，函数在处取得最大值，， 在处取得最小值，，所以的取值范围是， 故选：C. 6、已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设，当x＝2时，y＝1，所以得，， 故y关于x的函数关系式为， 故选：C. 7、若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域是，， 所以的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是， 故选：D. 8、函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(8)＝3， 令x＝y＝4，则f(8)＝f(4)＋f(4)＝3，∴f(4)＝， 令x＝y＝2，f(4)＝f(2)＋f(2)＝，∴f(2)＝， 故选：C． 9、已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】由， 故， 故选：C. 10、已知函数，若，则a的值为（    ） A． B．2 C．9 D．-2或9 【答案】D 【解析】当时，（正根舍去）； 当时，，所以的值为或， 故选：D. 二、填空题 11、函数的定义域为 . 【答案】 【解析】函数有意义，则有，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 12、函数的值域 . 【答案】 【解析】由在上单调递增，∴在上单调递增， 而当时，；当时，， ∴函数值域为， 故答案为：. 13、已知，则 . 【答案】 【解析】令，则，所以， 故答案为：. 14、已知函数，则的值是______． 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为：. 15、已知函数对任意实数都满足：，且，则 . 【答案】9 【解析】令，可得，解得， 令，则， 故答案为：9． 四、解答题 16、已知函数． （1）求； （2）求的解析式． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）令代入，可得； （2）设，变为， 故的解析式为． 17、若，，求，. 【答案】； 【解析】解：，， ， 18、函数的定义域为. （1）设，求t的取值范围； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：（1）当时，在上单调递增，所以. （2）函数可化为：， 在上单调递减，在上单调递增， 比较，，， 函数的值域. 19、函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B. （1）求集合A，B； （2）若集合A，B满足，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，；(2) 【解析】解：（1）由题意得：∵函数的定义域为集合A， 函数的值域为集合B， ∴， . （2）∵集合A，B满足，∴， ∴或，解得或， ∴实数a的取值范围． 20、已知函数 （1）求， （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1；(2) 【解析】解：(1)因为，所以， 所以，； (2)由题意可得：或解得：或， 综上所述：实数的取值范围为：. $$