专题02 不等式-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题02 不等式 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握比较实数大小的方法 理解不等式的性质，会用不等式的性质解决问题 理解和掌握区间的表示方法 理解和掌握解一元二次不等式的方法、以及与 相应方程的联系 理解和掌握绝对值不等式的解法 理解和掌握分式不等式的解法 理解和掌握基本不等式的用法 考点预测 实数大小的比较 不等式性质的运用 区间的含义及表示 一元二次不等式的解法 绝对值不等式的解法 分式不等式的解法 基本不等式应用 要点自测 （一）实数的大小 比较两个实数(或代数式)的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小， 这种比较大小的方法称为作差比较法： (1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0. （二）不等式的性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性）； （同向可加性）； （异向可减性） ④（可积性）； ⑤（同向正数可乘性）； （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） （三）区间 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 （四）一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 （五）绝对值不等式： 的解集是，如图1； 的解集是，如图2； ； 或； （六）分式不等式的解法：进行同解变形，将分式不等式转化为整式不等式来解. （1）； （2）； （3）； （4）； （七）基本不等式 （1）如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． （2）如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数． （3）重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ 2ab (当且仅当a＝b时取等号)． （4）基本不等式：a＞0，b＞0，则 ≥，当且仅当a＝b时等号成立， 即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （5）求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有最小值， 即a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.简记为：积定和最小． （6）求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值， 即ab≤2，亦即ab≤(a＋b)2； 或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即ab≤. 简记为：和定积最大． 考点突破 考点1 实数大小的比较 【例1】已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】，， 则， 所以， 故选：A. 【突破训练】 1、已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，． ，， ， 故选：B． 2、已知则的大小关系为（        ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【解析】由题得， 故选：B. 考点2 不等式的性质 【例1】已知，那么下列命题中正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【解析】．若，当时， ，所以选项不成立； ．若，当时，则，所以选项不成立； ．因为，将两边同除以，则，所以选项成立； ．如果满足，但是，所以选项不成立， 故选：． 【突破训练】 1、如果，那么下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：， ,，故A，B，C错误, ，故D正确， 故选：D. 2、下列命题中正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，令，则，∴A错误； 对于B，令，则，但，∴B错误； 对于C，令，满足，但，∴C错； 对于D，因为，所以，不等式两边同乘以得：，D选择正确， 故选：D. 考点3 区间的含义及表示 【例1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，解得， 综上，实数的取值范围是， 故选：D. 【突破训练】 1、全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，∴， ∵，∴， 故选：D． 2、已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以，解得， 故，即， 故选：D. 考点4 一元二次不等式的解法 【例1】一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即，解得， 故选：A. 【例2】已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，解得， 所以， 所以， 故选：B． 【突破训练】 1、不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【答案】C 【解析】因为不等式可化为:， 解得:，所以解集为:， 故选：C. 2、不等式的解集为 A． B． C． D．{或} 【答案】D 【解析】不等式，即， 由函数零点及穿根法可知不等式的解集为或， 即不等式的解集为{或}， 故选：D. 考点5 绝对值不等式的解法 【例1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，解得， 故原不等式的解集为， 故选：A. 【突破训练】 1、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，所以， 由，可得， 所以， 所以是的真子集，所以， 故选：C. 2、已知是实数集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 而或， ∴， 故， 故选：D. 考点6 分式不等式的解法 【例1】不等式的解集为（ ） A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x>1或x<-2} 【答案】C 【解析】原不等式等价于(x-1)(x+2)<0，解得-2<x<1. 故选：C. 【突破训练】 1、不等式的解集为________. 【答案】 【解析】原不等式可化为，，要使原不等式左端的分式有意义，要求3x+5≠0， 于是，原不等式等价地转化为，即， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 2、不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 ， 故答案为：(1,2). 考点7 基本不等式的应用 【例1】若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，都为正实数，， 所以， 当且仅当，即时，取最大值. 故选：D. 【突破训练】 1、当时，的最小值为 ； 【答案】 【解析】，， 由基本不等式得. 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为， 故答案为：. 2、已知，，且，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．12 D．6 【答案】B 【解析】由题意可得，则， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为9. 故选：B. 模拟演练 一、选择题 1、已知 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，而， 故， 故选：C． 2、设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可得或， ∴“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3、下列结论中不正确的个数是（    ） （1）若，则          （2）若，则 （3）若，则     （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对（1）：当时，显然，故（1）错误； 对（2）：若，满足，但，故（2）错误； 对（3）：取，满足，但，故（3）错误； 对（4）：取，满足，但，故（4）错误；则（1）（2）（3）（4）都不正确，故选：. 4、不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即， 故或，即， 故选：A. 5、函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知， ，解得， 故的定义域为， 故选：A. 6、已知不等式的解集为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于不等式的解集是， 所以， 故选：D. 7、已知集合，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， ， 所以， 于是， 故选：B. 8、已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A选项：当时，，故A错； B选项：当，时，，但，故B错； C选项：当时，，所以，故C正确； D选项：当，时，满足，但，故D错， 故选：C. 9、设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，等价于，解得：， ，解得：，， 因为为的真子集， 所以， 但， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 10、已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于x的不等式的解集为， 则，， 不等式的解集为：， 故选：C． 二、填空题 11、不等式的解集是________. 【答案】或 【解析】因为，所以， 故，解得或， 所以的解集是或， 故答案为：或. 12、比较与的大小，则 . 【答案】 【解析】由题知,， 故. 13、若，则下列不等关系正确的是 . ①； ②； ③； ④ 【答案】① 【解析】因为， 所以，，，， 所以， 即，， 所以， 故答案为：①. 14、若，，则 . 【答案】或 【解析】先解不等式，得到或， 根据交集的定义可得或， 故答案为：或. 15、已知函数的定义域是，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以对恒成立， 当时，，符合题意； 当时，由，解得； 当时，显然不恒大于或等于0． 综上所述，的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 16、若a是实数，试比较与的大小. 【答案】答案见解析 【解析】解：， 当时，； 当时，； 当时，. 17、解不等式组：. 【答案】 【解析】解：， ，， ∴不等式得解集为. 18、已知不等式 ． （1）当 时，解不等式； （2）当 时，解不等式． 【答案】(1)；(2)或 【解析】解：（1）当 时，不等式为 ， 因为，方程 的根分别是1和， 所以不等式的解集为：． （2）当时，不等式为， 因为，方程的根分别是2和3， 所以不等式的解集为：或． 19、已知实数x、y满足，，求的取值的集合． 【答案】 【解析】解：∵，∴， ∵，∴， 则， ∴， 故答案为：． 20、已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【解析】解：（1）由得解得， 所以， 因为， 所以，即，解得， 所以， 所以. （2）由(1)得， 由得，解得， 所以， 因为，所以或， 解得或． $$专题02 不等式 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 掌握比较实数大小的方法 理解不等式的性质，会用不等式的性质解决问题 理解和掌握区间的表示方法 理解和掌握解一元二次不等式的方法、以及与 相应方程的联系 理解和掌握绝对值不等式的解法 理解和掌握分式不等式的解法 理解和掌握基本不等式的用法 考点预测 实数大小的比较 不等式性质的运用 区间的含义及表示 一元二次不等式的解法 绝对值不等式的解法 分式不等式的解法 基本不等式应用 要点自测 （一）实数的大小 比较两个实数(或代数式)的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小， 这种比较大小的方法称为作差比较法： (1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0. （二）不等式的性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性）； （同向可加性）； （异向可减性） ④（可积性）； ⑤（同向正数可乘性）； （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） （三）区间 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 （四）一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 （五）绝对值不等式： 的解集是，如图1； 的解集是，如图2； ； 或； （六）分式不等式的解法：进行同解变形，将分式不等式转化为整式不等式来解. （1）； （2）； （3）； （4）； （七）基本不等式 （1）如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． （2）如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数． （3）重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ 2ab (当且仅当a＝b时取等号)． （4）基本不等式：a＞0，b＞0，则 ≥，当且仅当a＝b时等号成立， 即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （5）求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有最小值， 即a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.简记为：积定和最小． （6）求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值， 即ab≤2，亦即ab≤(a＋b)2； 或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即ab≤. 简记为：和定积最大． 考点突破 考点1 实数大小的比较 【例1】已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【突破训练】 1、已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 2、已知则的大小关系为（        ） A． B． C． D．无法判断 考点2 不等式的性质 【例1】已知，那么下列命题中正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【突破训练】 1、如果，那么下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 2、下列命题中正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点3 区间的含义及表示 【例1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2、已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点4 一元二次不等式的解法 【例1】一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 2、不等式的解集为 A． B． C． D．{或} 考点5 绝对值不等式的解法 【例1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2、已知是实数集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点6 分式不等式的解法 【例1】不等式的解集为（ ） A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x>1或x<-2} 【突破训练】 1、不等式的解集为________. 2、不等式的解集为________. 考点7 基本不等式的应用 【例1】若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、当时，的最小值为 ； 2、已知，，且，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．12 D．6 模拟演练 一、选择题 1、已知 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、下列结论中不正确的个数是（    ） （1）若，则          （2）若，则 （3）若，则     （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5、函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6、已知不等式的解集为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 7、已知集合，，，（    ） A． B． C． D． 8、已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9、设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10、已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11、不等式的解集是________. 12、比较与的大小，则 . 13、若，则下列不等关系正确的是 . ①； ②； ③； ④ 14、若，，则 . 15、已知函数的定义域是，则的取值范围为 . 四、解答题 16、若a是实数，试比较与的大小. 17、解不等式组：. 18、已知不等式 ． （1）当 时，解不等式； （2）当 时，解不等式． 19、已知实数x、y满足，，求的取值的集合． 20、已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． $$