专题05 幂、指、对函数-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题05 幂、指、对函数 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解幂函数的定义，掌握幂函数的图像和性质 掌握幂的运算公式 理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像和性质 理解对数的含义，掌握对数的运算 理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和 性质 考点预测 幂的运算 指数函数的图像和性质 对数的运算 对数函数的图像和性质 要点自测 （一）幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 （二）指数函数 （1）指数函数的定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 （三）对数函数 （1）对数函数的定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N， 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. （2）对数的性质与运算性质 对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)． 对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 一般地，＝ logaM. （3）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． （4）对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 考点突破 考点1 幂函数 【例1】已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【解析】设，则，解得， 所以，所以， 故选：D. 【突破训练】 1、幂函数的图象过点，则f(4)等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】依题意， 则， 故选：B. 2、已知幂函数在上为单调减函数，则实数m的值为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】是幂函数，所以， 当时，，在上递减，符合题意， 当时，，在上递增，不符合题意， 综上所述，的值为，D选项正确， 故选：D. 考点2 指数幂 【例1】设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 【突破训练】 1、设a>0，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 , ,故B，C错误，D正确， 由于 ，所以 ，故A 错误， 故选：D. 2、已知，则的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．±2 【答案】D 【解析】，所以， 故选：D. 考点3 指数函数 【例1】若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当，即时，该指数函数在是减函数， 故选：B. 【突破训练】 1、函数的值域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，即， 即所求函数的值域为， 故答案为：. 2、函数，（且）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，令，则， 所以函数必过点， 故选：D. 考点4 对数 【例1】有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以A错误，B正确； 若，则，故C错误； ，而没有意义，故D错误， 故选：B. 【突破训练】 1、化简式子等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】原式， 故选：A. 2、已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 则， 所以， 故选：B. 考点5 对数函数 【例1】在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称， 由选项中图象对称关系可知A正确， 故选：A. 【突破训练】 1、函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________. 【答案】 【解析】若，在上单调递减， 则，不符合题意； 若，在上单调递增， 则，当值域为时， 可知，解得. 故答案为：. 2、函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得x的取值范围为：， 所以函数的定义域为， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1、1、计算的值为（ ） A． B．π C． D．2 【答案】B 【解析】原式=， 故选：B. 2、若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AD选项，，AD均错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对， 故选：C. 3、方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【解析】∵，∴，∴， 故选：D. 4、若集合，,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故，， ∴， 故选：B. 5、设，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【解析】，在上递增，所以，即， 在上递减，所以，所以， 故选：D. 6、已知函数，则＝（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】由题意得， 故选：C. 7、已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 8、在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由等比数列的性质得， 数列的前 5 项之和为：， 故选：C. 9、若且，则函数的图像恒过定点（    ） A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2） 【答案】D 【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点， 故选：D. 10、若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．8 D．3 【答案】D 【解析】因为，所以； 又，所以， 所以， 故选：D. 二、填空题 11、已知幂函数的图象过点，且，则a的值为 . 【答案】或 【解析】根据题意可设，由题可知，解得， 则，又，即，解得或， 故答案为：或. 12、 ． 【答案】-1 【解析】， 故答案为：-1. 13、已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】由题意可得， 所以， 故答案为：1. 14、函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】由题知的定义域为， 令，则，函数单调递增， 当时，关于单调递减，关于单调递减， 当时，关于单调递增，关于单调递增， 故的递增区间为． 故答案为：. 15、已知函数，若，则 . 【答案】 【解析】，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 16、计算：； 【答案】 【解析】解： . 17、已知正实数满足，求下列各式的值； （1） （2）． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 所以． 18、已知函数（且）的图像过点. （1）求a的值； （2）求不等式的解集.． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：(1)依题意有，∴. (2)易知函数在上单调递增， 又，∴解得. ∴不等式的解集为． 19、已知函数，且的图象经过点． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】解：(1)因为函数，且的图象经过点， 所以.  所以. (2)因为，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值是， 所以， 所以在区间上的最大值是. 20、已知函数． （1）求函数的解析式； （2）求的值； （3）解方程． 【答案】（1）；（2）1；（3）或. 【解析】解：（1）函数的定义域为，，①， 上式中把换成，得，即，②， 将②代入①，得， ∴． （2）． （3）∵，∴， 可得，解得或， ∴或． $$专题05 幂、指、对函数 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 理解幂函数的定义，掌握幂函数的图像和性质 掌握幂的运算公式 理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像和性质 理解对数的含义，掌握对数的运算 理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和 性质 考点预测 幂的运算 指数函数的图像和性质 对数的运算 对数函数的图像和性质 要点自测 （一）幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 （二）指数函数 （1）指数函数的定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 （三）对数函数 （1）对数函数的定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N， 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. （2）对数的性质与运算性质 对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)． 对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 一般地，＝ logaM. （3）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． （4）对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 考点突破 考点1 幂函数 【例1】已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【突破训练】 1、幂函数的图象过点，则f(4)等于（    ） A． B．2 C． D． 2、已知幂函数在上为单调减函数，则实数m的值为（    ）． A． B． C． D．2 考点2 指数幂 【例1】设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、设a>0，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2、已知，则的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．±2 考点3 指数函数 【例1】若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【突破训练】 1、函数的值域是 ． 2、函数，（且）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点4 对数 【例1】有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【突破训练】 1、化简式子等于（    ） A．0 B． C． D． 2、已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点5 对数函数 【例1】在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称， 由选项中图象对称关系可知A正确， 故选：A. 【突破训练】 1、函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________. 【答案】 【解析】若，在上单调递减， 则，不符合题意； 若，在上单调递增， 则，当值域为时， 可知，解得. 故答案为：. 2、函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得x的取值范围为：， 所以函数的定义域为， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1、计算的值为（ ） A． B．π C． D．2 2、若，，则下列各式中，恒等的是（     ） A． B． C． D． 3、方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 4、若集合，,则（    ） A． B． C． D． 5、设，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 6、已知函数，则＝（    ） A． B．4 C． D．8 7、已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 8、在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9、若且，则函数的图像恒过定点（    ） A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2） 10、若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．8 D．3 二、填空题 11、已知幂函数的图象过点，且，则a的值为 . 12、 ． 13、已知函数，则 ． 14、函数的单调递增区间是 . 15、已知函数，若，则 . 四、解答题 16、计算：； 17、已知正实数满足，求下列各式的值； （1） （2）． 18、已知函数（且）的图像过点. （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 19、已知函数，且的图象经过点． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值. 20、已知函数． （1）求函数的解析式； （2）求的值； （3）解方程． $$