专题08 数列小题（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题08 数列小题 等差数列基本量的计算 1．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，判断，结合前项和公式解出，进而得解. 【详解】由知，，解得，故. 故选：A 2．（21-22高三上·北京顺义·期末）在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出等差数列的公差，进而可求得的值. 【详解】由题意可知，等差数列的公差为，因此，. 故选：A. 3．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知等差数列的前项和为，则等于（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 【答案】A 【分析】由等差数列性质求得公差，即可得出通项公式及求和公式求值. 【详解】设等差数列的公差为，则，又，可得，∴， ∴. 故选：A 4．（22-23高三上·北京通州·期末）等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，解得， 所以. 故选：A 5．（23-24高三上·北京顺义·期末）设为等差数列的前项和．若，公差，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】 先由等差数列的前项和公式求得，将转化为关于的方程求解. 【详解】根据题意：，公差，可知， 所以， 所以即为：，解得：. 故选：C 6．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知无穷等差数列的各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为 , . 【答案】 1 1（答案不唯一） 【分析】设等差数列的前项和为,根据题意可得.根据 结合等差数列的通项公式,可得关于的方程,解方程即可. 【详解】设等差数列的前项和为,则 又是公差为的等差数列, 即 整理得 由题知 故满足题意的一组,的值为,.（答案不唯一） 故答案为：1;1（答案不唯一） 7．（23-24高三上·北京房山·期末）记为等差数列的前项和，已知，，则 . 【答案】 【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得. 【详解】设，则， 即，故. 故答案为：. 等差数列的性质 8．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为等差数列，，.若数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出等差数列的通项公式，可求得数列的通项公式，推导出数列为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出的值. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，， ，， 所以，， 则，所以，数列为等差数列， 因此，. 故选：B 9．（21-22高三上·北京石景山·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．36 B．45 C．63 D．75 【答案】B 【分析】由等差数列的前项和性质可得成等差数列，进而可得结果. 【详解】因为为等差数列的前项和， 所以成等差数列，即成等差数列， 所以，解得， 故选：B. 10．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系. 【详解】由等差数列前n项和公式知：， ∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列， ∴“对于任意且，”必有“”， 而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立， ∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件. 故选：B. 等比数列基本量的计算 11．（21-22高三上·北京通州·期末）已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【分析】根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可. 【详解】由题意，设数列的公比为，则， 所以. 故选：C 12．（21-22高三上·北京密云·期末）若数列满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件判断数列的类型为等比数列，根据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解. 【详解】由，，且知数列是等比数列，公比q＝2，首项. 故，. 故选：C. 13．（21-22高三·北京·期末）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，， 因为，即，，解得， 因此，. 故选：C. 14．（21-22高二下·北京房山·期中）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意是首项为2、公比为的等比数列，利用等比数列前n项和公式求的值. 【详解】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即， 所以. 故选：C 15．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案. 【详解】数列中， 则，否则与矛盾， 故，即数列为首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 故答案为： 16．（23-24高三上·北京大兴·期末）设是等比数列，，，则 . 【答案】16 【分析】结合等比数列通项公式计算即可得. 【详解】设，则，故. 故答案为：16. 17．（21-22高三上·北京丰台·期末）设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为 ． 【答案】，(答案不唯一) 【分析】采用赋值法可直接求解. 【详解】若令，则，，，故满足. 故答案为：， 等比数列的性质 18．（22-23高三上·北京东城·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为, 因为，，所以，解得. 所以. 故选:D. 19．（21-22高三上·北京东城·期末）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】解：，所以， 故选：B. 20．（23-24高三上·北京东城·期末）设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【分析】结合等比数列的性质可计算出公比，由等比数列前项和的定义即可得. 【详解】设公比为，则，则， 又的各项均为正数，故， 则. 故选：D. 21．（21-22高三上·北京门头沟·期末）等差数列的公差，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由与关系求得，再根据是等比数列求得结论． 【详解】解：设，则，当时，，， 又，所以， 所以，， 故选：C. 22．（22-23高三上·北京·期末）已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若为递增的等比数列，显然后面的项都比大， 即且，，充分性成立； 反过来，若且，，即（为公比）， 因为，所以，所以，从而可得为递增数列，必要性成立， 所以“为递增数列”是“且，”的充分必要条件. 故选：C. 23．（21-22高三上·北京石景山·期末）设是首项为的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的 取值范围，进而可以顺利判定二者的关系. 【详解】数列是首项为的等比数列，公比为 则 当时的值正负均可以出现，不能判定符号，即不能推出 当即时，可以得到，则成立. 则“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件,选项B正确. 故选：B 24．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是递减数列 【答案】B 【分析】先根据等比数列前项和,结合恒成立，得出的取值范围，得到 是递减数列. 【详解】是公比为的等比数列，为其前项和, 恒成立,恒成立, 若，则可能为正也可能为负，不成立 所以, 当是递减数列, 当是递减数列, 故选:B. 数列应用题 25．（21-22高三上·北京房山·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为. 故选：D 26．（23-24高三上·北京丰台·期末）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（    ） A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解. 【详解】∵依次成等差数列，， ∴，即，又， 则. 故选：B. 27．（23-24高三上·北京房山·期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据题意不断计算即可解出． 【详解】因为为强率，由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为弱率，所以， 故选：B. 28．（21-22高三上·北京朝阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是 ；从正方形ABCD开始，连续8个正方形面积之和是 ． 【答案】 【分析】分别求得前4个正方形的面积，分析可得正方形的面积是以4为首项，为公比的等比数列，代入求和公式，即可得答案. 【详解】由题意得，第一个正方形ABCD边长为2，面积为4， 第二个正方形EDGH边长为，面积为2， 第三个正方形IJKL边长为，面积为1， 第四个正方形MNPQ边长为，面积为， 所以正方形的面积是以4为首项，为公比的等比数列， 所以从正方形ABCD开始，连续8个正方形面积之和. 故答案为：； 等差等比数列的综合问题 29．（22-23高三·北京顺义·期末）若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，又 又 ， 故选：A 30．（21-22高三上·北京东城·期末）已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值. 【详解】当满足时，， 令，则或有一项为1，而， ∴，又是各项均为正整数的数列， ∴，，，， 此时的最小值为， 当满足时，，，，，，，时， ， 因为， 所以的最小值为20 故选：B. 31．（22-23高三上·北京西城·期末）已知是等差数列,,且成等比数列,则 ;的前项和 ． 【答案】 -5 【分析】(1)设出等差数列的公差,根据成等比数列,列出式子,将均用代替,解出,即可求的值; (2)由上一空求得的,根据等差数列前项和公式代入即可求出答案. 【详解】解:由题知是等差数列, 不妨记公差为, 因为成等比数列,, 所以, 即, 解得:, 故; 由于,, 所以. 故答案为:-5; 32．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知等差数列的公差为，为其前项和，且成等比数列，则 ， . 【答案】 【分析】由于等差数列的公差为，且成等比数列，得方程，求出首项，进而得到数列的通项公式和前项和公式. 【详解】因为等差数列的公差：，且成等比数列， 得，即，解得， 所以， 所以，， 故答案为：. 等差等比的数列判定与证明 33．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和满足，且成等差数列，则 ； ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，得到为等比数列，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列的前项和满足， 当时，，两式相减可得， 又由成等差数列，所以，即， 解得，所以数列是以2为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 34．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】D 【分析】AB项，分别令，，求出的值验证；CD项，由可得，得，继而得到及均为等比数列，根据等比数列的通项求解. 【详解】当时，，故A正确. 当时，， 当时，，，故B正确. C项，， ， 所以得，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确. D项，由C项得， 又，，是以为首项，为公比的等比数列， ，故D错误. 故选：D 等差数列前n项和的最值问题 35．（22-23高三上·北京大兴·期末）设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　） A．为递减数列 B． C．有最大值 D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式求得其首项和公差，再依次判断各选项. 【详解】∵数列为等差数列，，， ，，∴， 对于A，∵，∴数列为递增数列，故A错误； 对于B，∵，故B正确； 对于C，∵数列为递增数列，∴无最大值，故C错误； 对于D，∵，故D错误. 故选：B． 36．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知等差数列的公差，且成等比数列，则 ；其前n项和的最大值为 ． 【答案】 10 【分析】由成等比数列列式求出公差,则通项公式可求;写出等差数列的前n项和,由二次函数的对称性求得取得最大值. 【详解】由成等比数列,得,解得. 则； 对称轴方程为, 或5时，取最大值，最大值为. 故答案为：,10 其他常见数列问题 37．（21-22高三上·北京房山·期末）无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为 ． 【答案】 （答案不唯一）. 【分析】根据是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据是递增数列，可以联想到在上是递增的函数，进而构造出数列. 【详解】因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造. 故答案为：（答案不唯一）. 38．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知数列．给出下列四个结论： ①； ②； ③为递增数列； ④，使得． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用指数函数的单调性可判定①②③，根据条件递推得，结合不等式性质可判定④. 【详解】根据题意可知， 因为，所以，即①正确； 则， 即，故③错误； 依次递推有， ， ， ，故②正确； 因为，所以，则，依次可知， 所以，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】难点点睛：利用指数函数的单调性一一列举得出，从而可判定②③，此外列举的过程中可得出，再根据不等式性质可判定④. 39．（23-24高三上·北京石景山·期末）在数列中，，给出下列四个结论： ①若，则一定是递减数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，，则对任意，都存在，使得； ④ 若，，且对任意，都有，则的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据数列的单调性、最值、不等式、差比较法、导数等知识对结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， ①若，则， 如，则是摆动数列，所以①错误. ②若，则， ，构造函数， 在区间上，单调递减，在区间上，单调递增， 所以，所以， 所以一定是递增数列，②正确. ③若，，则， ，，， 当时，， 所以是单调递增数列，且每次递增都超过， 所以对任意，都存在，使得，③正确. ④ 若，，则， 对任意，都有， ， ，恒成立， 所以，所以的最大值是，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】要判断数列的单调性，可以考虑利用差比较法，由的符号来进行判断，当时，可以利用与的关系来判断.利用导数来求最值，求导之后关键是求得函数的单调区间，再根据单调区间来求最值. 40．（23-24高三上·北京东城·期末）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列； ②若满足：，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列. 其中所有正确判断的序号是 . 【答案】②③ 【分析】根据题设条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，因为，取数列：， 显然满足，但数列不是周期函数，所以①错误； 对于②，因为数列满足：， 不妨令， 则数列为，故，所以②正确； 对于③，为周期数列，不妨设周期为， 所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现， 故存在正整数，使得恒成立，所以③正确； 对于④，取数列为首项2， 当时，， 则当为奇数时，，当为偶数时，，取， 则恒成立，但不为周期数列. 故答案为：②③. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于对新概念的理解，然后再结合各个选项中的条件，通过取特殊数列可得出①和④的正误；再利用周期数列的定义可得出②和③的正误. 41．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知数列满足，给出下列四个结论： ①若，则数列中有无穷多项等于； ②若，则对任意，有； ③若，则存在，当时，有； ④若，则对任意，有； 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】 对于①：根据递推公式分析求解即可；对于②④：根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于③：根据递推公式结合基本不等式可知，分和两种情况，结合④中结论分析判断. 【详解】对于①：若，则，， 以此类推可知：，即数列中有无穷多项等于，故①正确； 对于②：若，则， ， 以此类推可知：， 则，即，故②正确； 对于④：若，可知，， 以此类推，可知：， 且， 因为，可得，故④错误； 对于③：若，可知，当且仅当等号成立， ，当且仅当，即等号成立， 以此类推，可知：，当且仅当等号成立， 若，对任意，可得，显然成立； 若，且，可知当时，， 由④可知：当时，则， 当时，， 因为，对于结合指数性质可知： 存在且，当时，使得， 即； 综上所述：存在，当时，有，故③正确； 故选：①②③. 【点睛】关键点睛：对于③：根据④中结论分析可知：当时，，结合指数性质分析判断. 数列中的最值与范围 42．（21-22高三·北京·期末）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】要想n的值大，则特征值要尽可能的小，，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的非空真子集，则，是含有两个元素的非空真子集，则时能保证n的值最大，同理可得：，以此类推，利用等差数列求和公式列出方程，求出n的最大值. 【详解】由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令，，，，，则，解得：或（舍去）. 故选：C 43．（22-23高三上·北京朝阳·期末）在数列中，，若存在常数c，对任意的，都有成立，则正数k的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，可得用极限思想和数学归纳法的思想分析计算即可得到正数k的最大值. 【详解】因为， 所以， 所以， 由于满足上式，故 当时，有趋近于时，趋近于 此时没有最大值，故不满足题意，舍去； 所以， 当时，可证对任意的，都有， 由题知，若存在常数c，对任意的，都有成立，则， 以下进行证明：存在常数，对任意的，都有成立. 当时，，结论成立 假设时结论成立，即 则， 则存在常数，对任意的，都有成立 故正数k的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系和数列中参数最大值的求解，属于难题，解题的关键是要把递推关系进行转化求解，结合数列中的极限思想和数学归纳法的思想进而求解问题. 44．（23-24高三上·北京通州·期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果 【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列， 所以， 的最大值为这8个圆的直径之和， 由等比数列前项和公式可得，的最大值为. 故选：B. 45．（23-24高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 46．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，，，则 ①数列的通项公式 ； ②满足的最大正整数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分公比为和公比不等于1讨论，设公比为，根据，，求出首项和公比，即可求出通项，再求出，根据，转化为二次不等式，从而可得出答案. 【详解】解：当公比为时， 由，得，所以，则，与题意矛盾， 当公比不等于1时，设公比为， 由，得， 即，即，① ，② 得：， 解得或（舍去）， 所以， 由，得， 所以， 则， ， 若， 则，即， 所以， 因此只需要， 即，解得， 所以满足的最大正整数的值为10. 故答案为：；10. 1．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 【答案】D 【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断. 【详解】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误； 选项，取，即，则，只有一个元素，故错误； 选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误； 选项，当时, ， ， ， ， ， ，，所以最多有个元素， 又因为正弦函数的周期为，数列的公差为， 所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确. 故选:. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断. 2．（22-23高三上·北京通州·期末）已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论： ①；②；③为等差数列；④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据关系式，当时，即可求得的值；由得，当时，可得，可证明为等差数列，即可求得，则可求得，则可判断其他选项. 【详解】因为，所以当时，，解得或， 又，所以，故，故①正确； 因为，可得，所以，当时，， 所以， 是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，故④正确； 所以，则，所以为等差数列，故③正确； 当时，，又不符合 所以，故②不正确. 故答案为：①③④. 3．（22-23高三上·北京东城·期末）对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立； ④若对任意的，都有，则有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】逐项代入分析求解即可. 【详解】对于①： 因为， 且因为， 所以， 所以， 故选项①正确； 对于②：若，则 所以， 所以两式相减得， 所以， 所以， 所以， 故选项②正确； 对于③：， ， 所以若对任意的都成立， 则有， 所以 ， 因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误； 对于④： 若对任意的，都有， 则有. . 故选项④正确； 故答案为：①②④. 4．（23-24高三上·北京通州·期末）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足是和的等比中项.给出下列四个结论： ①数列的通项公式为； ②数列前21项的和为； ③数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236； ④设数列的通项公式，则数列的前100项和为2178. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】利用求出可判断①；设数列的构成为，根据是和的等比中项求出可得，再利用裂项相消求和可判断②；求出构成的新数列，再求和可判断③；求出数列的前100项再求的前100项和可判断④. 【详解】时，，得， 时，， 可得，所以是以首项为公比为的等比数列， 所以，故①正确； 设数列的构成为，， 因为是和的等比中项，所以， 可得，解得， 所以， ， 所以数列前21项的和 ，故②错误； 数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2， 使它们和原数列的项构成一个新数列，则 时，即在与之间插入个2，为， 时，即在与之间插入个2，为， 时，即在与之间插入个2，为， 时，即在与之间插入个2，为， 时，即在与之间插入个2，为， 时，即在与之间插入个2，为， 所以新数列的前100项和为 ，故③错误； 因为， 即数列的前100项为， 所以的前100项和 ，故④正确. 故选：①④. 【点睛】关键点睛：③④解题的关键点是求出构成的新数列，再求和可判断. 5．（23-24高三上·北京朝阳·期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】对于①②直接迭代计算判断即可；对于③④，先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，进一步根据不等式或者基本不等式的性质进行判断. 【详解】对于①，，，故①正确； 对于②，，故②错误； 为了说明选项③④，引理：我们先来讨论与的关系； 由于是偶数，所以，对于而言，由于为奇数，所以， 所以有， 由于数列每一项均为正，所以利用均值不等式，有，取不到等号，即， 同时有，因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于； 对于③，当时，由于是偶数，所以 ， 由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正， 所以， 于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于， 所以，即， 从而时，恒有，故③错误； 对于④，当时，根据上述引理可知， 所以有， 从而有， 利用均值不等式有代入上式得， 即，故④正确. 故答案为：①④. 【点睛】关键点睛：对于③④的判断，关键是先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 数列小题 等差数列基本量的计算 1．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·北京顺义·期末）在等差数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知等差数列的前项和为，则等于（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 4．（22-23高三上·北京通州·期末）等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京顺义·期末）设为等差数列的前项和．若，公差，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知无穷等差数列的各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为 , . 7．（23-24高三上·北京房山·期末）记为等差数列的前项和，已知，，则 . 等差数列的性质 8．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为等差数列，，.若数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高三上·北京石景山·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．36 B．45 C．63 D．75 10．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 等比数列基本量的计算 11．（21-22高三上·北京通州·期末）已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 12．（21-22高三上·北京密云·期末）若数列满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高三·北京·期末）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高二下·北京房山·期中）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知数列中，，则数列的通项公式为 . 16．（23-24高三上·北京大兴·期末）设是等比数列，，，则 . 17．（21-22高三上·北京丰台·期末）设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为 ． 等比数列的性质 18．（22-23高三上·北京东城·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 19．（21-22高三上·北京东城·期末）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高三上·北京东城·期末）设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 21．（21-22高三上·北京门头沟·期末）等差数列的公差，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高三上·北京·期末）已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（21-22高三上·北京石景山·期末）设是首项为的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是递减数列 数列应用题 25．（21-22高三上·北京房山·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 26．（23-24高三上·北京丰台·期末）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（    ） A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 27．（23-24高三上·北京房山·期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 28．（21-22高三上·北京朝阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是 ；从正方形ABCD开始，连续8个正方形面积之和是 ． 等差等比数列的综合问题 29．（22-23高三·北京顺义·期末）若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ） A．1 B． C． D．2 30．（21-22高三上·北京东城·期末）已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高三上·北京西城·期末）已知是等差数列,,且成等比数列,则 ;的前项和 ． 32．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知等差数列的公差为，为其前项和，且成等比数列，则 ， . 等差等比的数列判定与证明 33．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知数列的前项和满足，且成等差数列，则 ； ． 34．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（） A． B． C．是等比数列 D． 等差数列前n项和的最值问题 35．（22-23高三上·北京大兴·期末）设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　） A．为递减数列 B． C．有最大值 D． 36．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知等差数列的公差，且成等比数列，则 ；其前n项和的最大值为 ． 其他常见数列问题 37．（21-22高三上·北京房山·期末）无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为 ． 38．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知数列．给出下列四个结论： ①； ②； ③为递增数列； ④，使得． 其中所有正确结论的序号是 ． 39．（23-24高三上·北京石景山·期末）在数列中，，给出下列四个结论： ①若，则一定是递减数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，，则对任意，都存在，使得； ④ 若，，且对任意，都有，则的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 40．（23-24高三上·北京东城·期末）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列； ②若满足：，则为周期数列； ③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立； ④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列. 其中所有正确判断的序号是 . 41．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知数列满足，给出下列四个结论： ①若，则数列中有无穷多项等于； ②若，则对任意，有； ③若，则存在，当时，有； ④若，则对任意，有； 其中，所有正确结论的序号是 ． 数列中的最值与范围 42．（21-22高三·北京·期末）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 43．（22-23高三上·北京朝阳·期末）在数列中，，若存在常数c，对任意的，都有成立，则正数k的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高三上·北京通州·期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，，，则 ①数列的通项公式 ； ②满足的最大正整数的值为 ． 1．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（    ） A．不可能有无数个元素 B．当且仅当时，只有1个元素 C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 2．（22-23高三上·北京通州·期末）已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论： ①；②；③为等差数列；④. 其中所有正确结论的序号是 . 3．（22-23高三上·北京东城·期末）对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立； ④若对任意的，都有，则有. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（23-24高三上·北京通州·期末）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足是和的等比中项.给出下列四个结论： ①数列的通项公式为； ②数列前21项的和为； ③数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新数列，则新数列的前100项和为236； ④设数列的通项公式，则数列的前100项和为2178. 其中所有正确结论的序号是 . 5．（23-24高三上·北京朝阳·期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$