第3章 图形的相似（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（湘教版）

第3章 图形的相似 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（本题3分）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 5．（本题3分）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，下列条件仍无法保证与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（本题3分）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（   ）． A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）已知线段a、b、c，且．则 ＝ ； 12．（本题3分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 13．（本题3分）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．    14．（本题3分）如图，在中，为上一点，则下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），其中能满足和相似的条件有 （填序号）． 15．（本题3分）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为 m． 16．（本题3分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 17．（本题3分）如图，在边长为1的正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则 ． 18．（本题3分）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 20．（本题6分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)在y轴上求作一点P，使周长最小，直接写出点P的坐标． 21．（本题8分）如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 22．（本题8分）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 23．（本题9分）如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 24．（本题9分）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 25．（本题10分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 26．（本题10分）定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC=90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形． 【问题探索】 问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=BC，∠ACB=60°． 求证： ． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为AC=BC，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【问题推广】 已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，，tan∠ACB=． （1）如图2，当时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由． （2）如图3，当AD=，BD=，DC=5时，则的值为 ； 【灵活运用】 如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=2，BC=，∠ACB=90°， ∠ADB=30°，AD= ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的相似 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 【详解】解：．，线段不能比例，故该选项不符合题意； ．，线段不能比例，故该选项不符合题意； ．，线段不能比例，故该选项不符合题意； ．，线段能比例，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如图，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 3．（本题3分）如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答． 【详解】解：，与的面积分别是和， 与的相似比为， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是， 故选：D． 4．（本题3分）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 5．（本题3分）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：， A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：B． 6．（本题3分）如图，下列条件仍无法保证与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解答本题关键要明确：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，这两个三角形相似；三组对应边的比相等则两个三角形相似． 本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理即可作出判断． 【详解】解：由题得， ∴当或或时， 选项B中和不是对应角， 故选：B ． 7．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大， ∴点的坐标为或， 故选：C． 9．（本题3分）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故选：D． 10．（本题3分）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）已知线段a、b、c，且．则 ＝ ； 【答案】/0.5 【分析】本题涉及到比例的性质。我们可以设一个比例系数k，将a、b、c用k表示出来，再代入到要求的式子中进行计算． 【详解】设，根据比例的性质可得：， 代入到式子得：， 故答案为：． 12．（本题3分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 13．（本题3分）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．    【答案】12.5 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 14．（本题3分）如图，在中，为上一点，则下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），其中能满足和相似的条件有 （填序号）． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】本题考查的是相似三角形的判定方法，熟记判定方法是解本题的关键，利用两个角分别相等的两个三角形相似可判断（1），（2），利用两边对应成比例，且夹角相等可判断（3），（4），从而可得答案． 【详解】解：（1）中，，又有一公共角， ∴， （2）中，，且有一公共角， ∴， （3）中， ， ∴， 而为其夹角， ∴； （4）中， ， ∴， 没有夹角相等，所以不能判定和相似． 故答案为：（1），（2），（3）． 15．（本题3分）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为 m． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 16．（本题3分）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象和系数的关系，根据常数m满足且m是1和9的比例中项，可以求得m的值，再根据，即可求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式． 【详解】解：∵常数m是1和9的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴当时，， 当时，，则， ∴该一次函数的解析式为或， 故答案为：或． 17．（本题3分）如图，在边长为1的正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟知全等三角形的判定和性质相似三角形的判定与性质等知识．首先根据全等三角形的判定定理证出≌，得出，再证出≌，得出，再根据证出，并得出，由此即可得出的值． 【详解】四边形是正方形， ， ， , 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（本题3分）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质： （1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可； （2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴． 20．（本题6分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)在y轴上求作一点P，使周长最小，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）描出点，连接，则即为所作； （2）描出，连接，则即为所作； （3）描出，连接，交y轴P，连接，则的周长最小，求得直线的解析式，进一步得出结果． 【详解】（1）如图1，即为所作； （2）如图2，即为所作； （3）如图3，根据轴对称的性质描出点，连接，交y轴P，连接， 则点P则即为所作． 设的解析式为， 则，解得：， ∴的解析式为． 当时，， ∴． 【点睛】本题考查作图—旋转，作图—位似，作图—轴对称，坐标与图形的变化—旋转，坐标与图形的变化—位似，坐标与图形的变化—轴对称，一次函数的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 21．（本题8分）如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22．（本题8分）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．（本题9分）如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等，求得，即可证明； （2）由得到，利用勾股定理求得，，过点B作，交的延长线于H，证明，求得，，证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中线， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．（本题9分）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【答案】米 【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：根据题意可得：， 又， ， ， ， ， 根据题意可得：， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， ， 纪念碑的高的长为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（本题10分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 26．（本题10分）定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC=90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形． 【问题探索】 问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=BC，∠ACB=60°． 求证： ． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为AC=BC，∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【问题推广】 已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，，tan∠ACB=． （1）如图2，当时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由． （2）如图3，当AD=，BD=，DC=5时，则的值为 ； 【灵活运用】 如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC=2，BC=，∠ACB=90°， ∠ADB=30°，AD= ． 【答案】《问题探索》见解析；《问题推广》（1）；（2）；《灵活运用》 【分析】《问题探索》：根据部分步骤可得也为等边三角形，再证明为直角三角形，即可证明结论； 《问题推广》：（1）将△CBD绕点C顺时针方向旋转，得到，连接DE， 则，过D点作，垂足为F，，设，则，根据勾股定理表示出DE的值，然后根据已知证明，即可证明，进一步根据勾股定理可得结论； （2）作,连接DE，作于F，则，进一步证明，根据相似比及勾股定理列出关于k的一元二次方程，解之可得结果； 《灵活运用》作图方式同上，根据已知可得，设，则，根据勾股定理列关于k的方程，求出k的值，即可求得AD的值． 【详解】解：《问题探索》 AC=BC，∠ACB=60°， △ABC是等边三角形， 将△CBD绕点C顺时针方向旋转60， 得△CAE，连接DE． 则， ， 为等边三角形， ， 四边形ABCD为余对角四边形， ， ， ， 在中， ， ； 《问题推广》 （1）将△CBD绕点C顺时针方向旋转， 得到，连接DE， ， ， 过D点作，垂足为F， ， ， 设， ， 则， ， ，即， ， ， ， ， , ， ， 即； （2）作, 连接DE，作于F， ， ， ， 或 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：(舍)， ； 《灵活运用》 作图方式同上； ， ， 可得：， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本主要考查了四边形综合应用，涉及到的知识点有全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换等，用类比的方式作出辅助线是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$