专题04 三角函数（知识梳理+4大考点突破）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题04 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解任意角、象限角的概念 · 理解任意角三角函数的定义 · 理解同角三角函数基本关系式 · 理解三角函数的诱导公式 考点预测 · 三角函数的定义 · 三角函数的图像 · 三角函数的基本关系 · 三角函数的恒等变换 · 理解正弦型函数图像 课堂笔记 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的表示 如图，(1)始边：射线的起始位置OA， (2)终边：射线的终止位置OB， (3)顶点：射线的端点O. 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．任意角的分类 (1)按旋转方向分 (2)按角的终边位置分 ①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． ②分类： 4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5．度量角的两种单位制 (1)角度制： ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 6．角度制与弧度制的换算 7．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 8．单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 9．任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (2)结论 ①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)． (3)总结 ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数． 10．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α 11.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 12．诱导公式一 13．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 14．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 15.诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 16．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 17．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 18．诱导公式五 (1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． (2)公式：sin＝cos_α， cos＝sin_α. 19．诱导公式六 (1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. (2)公式：sin＝cos_α， cos＝－sin_α. 20．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 21．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． 22．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 23．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 24. 单调性与最值 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 25. 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 26. 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 27．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 28. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 29. 重要结论－辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝. 30. 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 31. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 32. 余弦的二倍角公式的变形 33．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2. 34. 半角公式 (1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ， (4)tan＝＝＝， tan＝＝＝. 35．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 36．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 37．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 38．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 考点突破 考点1 三角函数的定义 例1．若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 例2．已知且，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据给定的正弦值，结合特殊角的三角函数值求出. 【详解】由，得角是第三、四象限角，而， 所以或. 故选：C 练习1．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意，. 故选：C 练习2．已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 练习3．若角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式即可求得. 【详解】依题意，， 则. 故答案为：. 考点2 三角函数的图像 例1．函数，的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据三角函数图象有关的知识来确定正确答案. 【详解】因为与的图象关于轴对称，只有D符合题意． 故选：D 例2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】最小正周期. 故选：A 练习1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，依次判断各个选项即得. 【详解】对于A，是偶函数，在上单调递减，A不是； 对于B，是偶函数，在上单调递增，B是； 对于C，定义域为，不具奇偶性，C不是； 对于D，定义域为，不具奇偶性，D不是. 故选：B 练习2．函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期判断即可. 【详解】因为的最小正周期为, 所以的最小正周期也为. 故选：A. 练习3．函数，的值域为 【答案】 【分析】根据函数的图象判断其单调性，结合端点函数值即可求得. 【详解】因在上单调递减，在上单调递增， 且 故函数，的值域为. 故答案为：. 考点3 三角函数的基本关系 例1．已知，则（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系即可求解. 【详解】因为，所以由题意可得 故选：A. 例2．若，则=（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 练习1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将弦的齐次分式化弦为切，代值计算即得. 【详解】， 故选：D. 练习2．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 练习3．已知，则 ． 【答案】0 【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得. 【详解】由. 故答案为：0. 考点4 三角函数的恒等变换 例1．若，，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合题意利用两角差的正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A 例2．（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解； 【详解】， 故选：C. 练习1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件即可求得，代入即可求得. 【详解】由，则 ，化简得，所以 ，由. 故选：B 练习2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 练习3．已知角在第二象限，且 ，  则= . 【答案】/ 【分析】先根据诱导公式得，再根据同角三角函数关系得，最后利用二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以由诱导公式可得：， 因为角在第二象限，所以， 所以， 所以 故答案为：. 模拟演练 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由诱导公式计算可得. 故选：B 2．函数的图象中与轴最近的最高点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是周期为的函数，由它在的图象即可得答案 【详解】因是周期函数，画出，的图象（如图），    由图可知，与轴最近的最高点的坐标为. 故选：B. 3．下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数； 对于B选项，函数为偶函数； 对于C选项，函数为奇函数； 对于D选项，函数为非奇非偶函数. 故选：B. 4．已知角的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，由二倍角正弦公式求出，再根据二倍角余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为角的终边不在坐标轴上，所以， 则，由二倍角余弦公式可得： 故选：A. 5．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和余弦公式即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 二、填空题 6．设为常数，若满足，且的的值只有一个，则实数的值为 . 【答案】0或2 【分析】画出在的图像，再结合与只有一个交点，即可得到答案. 【详解】令，在上，取五个关键点，列表如下： 0 1 0 1 2 1 图象如图所示： 因为若满足，且的的值只有一个， 所以直线与函数的图象在上只有1个交点， 结合图象可知，或. 故答案为：或 7．若角，把角逆时针旋转得到角，则 ． 【答案】 【分析】逆时针旋转得到的是正角，由此得到角，再求出即可. 【详解】∵角是由角逆时针旋转所得 ∴， ∴. 故答案为：. 8． . 【答案】/ 【分析】利用两角和的正弦公式化简求值，即得答案. 【详解】， 故答案为： 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求得正确答案. （2）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】（1）由于点在角α的终边上， 所以. （2）. 10．证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式化简即得. 【详解】 . 所以. $$专题04 三角函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解任意角、象限角的概念 · 理解任意角三角函数的定义 · 理解同角三角函数基本关系式 · 理解三角函数的诱导公式 考点预测 · 三角函数的定义 · 三角函数的图像 · 三角函数的基本关系 · 三角函数的恒等变换 · 理解正弦型函数图像 课堂笔记 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的表示 如图，(1)始边：射线的起始位置OA， (2)终边：射线的终止位置OB， (3)顶点：射线的端点O. 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．任意角的分类 (1)按旋转方向分 (2)按角的终边位置分 ①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． ②分类： 4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5．度量角的两种单位制 (1)角度制： ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 6．角度制与弧度制的换算 7．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 8．单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 9．任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (2)结论 ①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)． (3)总结 ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数． 10．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α 11.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 12．诱导公式一 13．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 14．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 15.诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 16．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 17．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 18．诱导公式五 (1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． (2)公式：sin＝cos_α， cos＝sin_α. 19．诱导公式六 (1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. (2)公式：sin＝cos_α， cos＝－sin_α. 20．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 21．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． 22．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 23．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 24. 单调性与最值 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 25. 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 26. 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 27．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 28. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 29. 重要结论－辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝. 30. 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 31. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 32. 余弦的二倍角公式的变形 33．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2. 34. 半角公式 (1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ， (4)tan＝＝＝， tan＝＝＝. 35．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 36．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 37．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 38．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 考点突破 考点1 三角函数的定义 例1．若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 例2．已知且，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 练习1．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 练习3．若角的终边过点，则 ． 考点2 三角函数的图像 例1．函数，的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   例2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 练习1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 练习2．函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 练习3．函数，的值域为 考点3 三角函数的基本关系 例1．已知，则（    ） A． B． C．6 D．8 例2．若，则=（   ） A． B．5 C． D． 练习1．已知，则（   ） A． B． C． D． 练习2．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 练习3．已知，则 ． 考点4 三角函数的恒等变换 例1．若，，则等于（    ） A． B． C．1 D． 例2．（    ） A． B． C． D．0 练习1．已知，则（   ） A． B． C． D． 练习2．（    ） A． B． C． D． 练习3．已知角在第二象限，且 ，  则= . 模拟演练 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象中与轴最近的最高点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C．或1 D． 5．计算：等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．设为常数，若满足，且的的值只有一个，则实数的值为 . 7．若角，把角逆时针旋转得到角，则 ． 8． . 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 10．证明：． $$