期末（一模）真题必刷基础60题（考题猜想，20种热考题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末（一模）真题必刷基础60题（考题猜想，20种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．二次函数的定义（共2小题） 1．（2023秋•虹口区期末）下列函数中，是关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•嘉定区期末）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是 　　． 二．二次函数的性质（共2小题） 3．（2023秋•静安区期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 　　． 4．（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）如果抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）如果抛物线的顶点在直线上，求的值． 三．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 5．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是 　　． 6．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线如图所示，那么点在第 　　象限． 四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 7．（2023秋•虹口区期末）已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为　　（填“”或“”或“” ． 8．（2023秋•虹口区期末）如果点在抛物线上，那么的值是 　　． 五．二次函数图象与几何变换（共2小题） 9．（2023秋•奉贤区期末）将抛物线向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•徐汇区期末）在直角坐标平面内，二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图象向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图象顶点的坐标． 六．待定系数法求二次函数解析式（共4小题） 11．（2023秋•徐汇区期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 12．（2024•崇明区）已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 　　．（只要写出一个符合条件的即可） 13．（2023秋•虹口区期末）画二次函数的图象时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． 0 2 4 5 4 14．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． （1）如果，那么抛物线的对称轴为直线 　　； （2）如果点、在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 七．三角形的重心（共2小题） 15．（2023秋•虹口区期末）如图，点是的重心，交于点．如果，那么的长为　　 A．3 B．4 C．6 D．8 16．（2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 　　． 八．*平面向量（共3小题） 17．（2024•崇明区）已知非零向量、、，下列条件中不一定能判定的是　　 A． B． C．， D．， 18．（2023秋•浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 19．（2024•崇明区）计算：　　． 九．比例的性质（共2小题） 20．（2023秋•虹口区期末）已知，那么　　． 21．（2023秋•金山区期末）如果，那么　　． 十．比例线段（共2小题） 22．（2023秋•宝山区期末）下列各组中的四条线段成比例的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 23．（2023秋•杨浦区期末）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 　　 厘米． 十一．黄金分割（共3小题） 24．（2023秋•长宁区期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•宝山区期末）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•青浦区期末）点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 　　． 十二．平行线分线段成比例（共3小题） 27．（2024•闵行区）如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•青浦区期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•奉贤区期末）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 十三．相似图形（共2小题） 30．（2023秋•静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是　　 A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 31．（2023秋•松江区期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于．对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 十四．相似三角形的性质（共5小题） 32．（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•黄浦区期末）已知：△△△，如果△与△的相似比为2，△与△相似比为4，那么△与△的相似比为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 34．（2023秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•静安区期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 　　． 36．（2023秋•徐汇区期末）已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是 　　． 十五．相似三角形的判定（共3小题） 37．（2023秋•金山区期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2023秋•奉贤区期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，联结．下列两个三角形不一定相似的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 39．（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是　　 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 十六．相似三角形的判定与性质（共8小题） 40．（2023秋•浦东新区期末）如图，正方形的边在的直角边上，顶点、分别在边、上．已知两条直角边、的长分别为5和12，那么正方形的边长为 　　． 41．（2023秋•长宁区期末）如果点、分别在的两边、上，由下列哪一组条件可以推出　　 A．， B． C．， D． 42．（2023秋•徐汇区期末）如图，在中，，于，如果和的面积比为，，那么的长是 　　． 43．（2023秋•宝山区期末）如图，已知正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积为12，那么的长为 　　． 44．（2023秋•浦东新区期末）如图，是边长为3的等边三角形，、分别是边、上的点，，如果，那么　　． 45．（2023秋•静安区期末）在三角形中，点、分别在边、上，已知，，，那么能否得到？　　（填“能”或“否” ． 46．（2024•崇明区）如图，在平行四边形中，点在边上，联结，交对角线于点，如果，，那么　　． 47．（2023秋•徐汇区期末）如图，在中，点在边上，． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 十七．锐角三角函数的定义（共3小题） 48．（2023秋•长宁区期末）在中，，如果，，那么等于　　 A． B． C． D． 49．（2023秋•浦东新区期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 50．（2024•闵行区）在中，，如果，，那么　　． 十八．特殊角的三角函数值（共3小题） 51．（2023秋•黄浦区期末）计算：． 52．（2023秋•虹口区期末）计算：． 53．（2023秋•浦东新区期末）计算：． 十九．解直角三角形（共3小题） 54．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角为，那么的值为　　 A． B． C． D． 55．（2023秋•金山区期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 56．（2024•崇明区）在中，，，，那么的长为 　　． 二十．解直角三角形的应用（共4小题） 57．（2023秋•宝山区期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 58．（2023秋•虹口区期末）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为　　 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 59．（2023秋•静安区期末）如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离　　米． 60．（2023秋•金山区期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从处向北偏东的方向行驶8海里到处，再从处向南偏东方向行驶到发点正东方向上的处，此时这艘船距离出发点处 　　海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$期末（一模）真题必刷基础60题（考题猜想，20种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．二次函数的定义（共2小题） 1．（2023秋•虹口区期末）下列函数中，是关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数定义，即可判断． 【解答】解：、，是关于的一次函数，故不符合题意； 、不是关于的二次函数，故不符合题意； 、是关于的二次函数，故符合题意； 、不是关于的二次函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•嘉定区期末）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据二次函数定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：函数是常数）是二次函数， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 二．二次函数的性质（共2小题） 3．（2023秋•静安区期末）已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 　6　． 【分析】由于抛物线的顶点在轴负半轴上，那么根的判别式△（因为抛物线与轴只有一个交点），且抛物线的对称轴；联立上述两式可求得的值． 【解答】解：由题意得：， 解得， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，关键是掌握二次函数的性质． 4．（2022秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）如果抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）如果抛物线的顶点在直线上，求的值． 【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得的值；然后将所求的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入，从而可以求得的值． 【解答】解：（1）把点代入，得． 解得． 则该抛物线解析式为：． 故该抛物线顶点坐标是， 对称轴为直线； （2）， 抛物线的顶点坐标是，， 抛物线的顶点在直线上， ． 解得：或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征．顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 三．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 5．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数． 【解答】解：抛物线的开口向下， ，解得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 6．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线如图所示，那么点在第 　二　象限． 【分析】根据抛物线的定点和方向确定的符号，抛物线与轴的交点确定的符号，即可确定点所在的象限． 【解答】解：由抛物线的图象得，，， ， 在第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据抛物线的定点和方向确定的符号是解决问题的关键． 四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 7．（2023秋•虹口区期末）已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为　　（填“”或“”或“” ． 【分析】将点，坐标代入解析式求解． 【解答】解：将，代入得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 8．（2023秋•虹口区期末）如果点在抛物线上，那么的值是 　0　． 【分析】把点代入即可求出． 【解答】解：点在抛物线上， ， 解得， 故答案为：0． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式是解题关键． 五．二次函数图象与几何变换（共2小题） 9．（2023秋•奉贤区期末）将抛物线向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数图象左加右减，可得答案． 【解答】解：将抛物线向右平移3个单位得到的抛物线表达式是， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的平移原则：上加下减左加右减是解题的关键． 10．（2022秋•徐汇区期末）在直角坐标平面内，二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图象向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图象顶点的坐标． 【分析】（1）将点和点代入二次函数，求出、即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，再按平移规律求出平移后抛物线为，即可求顶点坐标． 【解答】解：（1）将点和点代入二次函数， 则， 解得， 二次函数的解析式为； （2），抛物线与轴的交点为， 抛物线向上平移，交轴于点，其纵坐标为， 平移后抛物线为， 顶点为． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，关键是掌握平移规律． 六．待定系数法求二次函数解析式（共4小题） 11．（2023秋•徐汇区期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为轴； 选项不符合题意； 抛物线的对称轴为轴；、 选项不符合题意； 抛物线， 该抛物线的对称轴为直线； 选项不符合题意； 抛物线， 该抛物线的对称轴为直线， 选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键． 12．（2024•崇明区）已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 　（答案不唯一）　．（只要写出一个符合条件的即可） 【分析】先根据二次函数的性质可判断抛物线的开口向上，则可以取1，抛物线的顶点坐标可表示为，然后用顶点式表示抛物线的解析式即可． 【解答】解：抛物线在对称轴右侧的部分是上升的， 抛物线的开口向上， 可以取1， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线的顶点坐标可表示为， 此时抛物线的解析式为． 故答案为：．（答案不唯一） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 13．（2023秋•虹口区期末）画二次函数的图象时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． 0 2 4 5 　0　 4 　　 【分析】由表格中的对应值得当时，，当时，，然后将其代入二次函数之中求出，的值可得该二次函数的解析式，然后再分别求出当，时对应的的值即可． 【解答】解：由表格中的对应值可知：当时，，当时，， ， 解得：， 该二次函数的解析式为：， 当时，，当时，， 填表如下： 0 2 4 5 0 4 0 答案为：0；0． 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解决问题的关键． 14．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． （1）如果，那么抛物线的对称轴为直线 　　； （2）如果点、在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【分析】（1）当时，则点和点为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴； （2）先利用一次函数解析式确定点、的坐标，再把点、的坐标分别代入得、的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标． 【解答】解：（1）、，， 点和点为抛物线上的对称点， 抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）把、分别代入得，， 、， 把、分别代入得， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为，． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 七．三角形的重心（共2小题） 15．（2023秋•虹口区期末）如图，点是的重心，交于点．如果，那么的长为　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】连接并延长交于，根据点是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：连接并延长交于， 点是的重心， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 16．（2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 　9　． 【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得，为边上的中线，然后即可． 【解答】解：如图，连接，延长交于点． 点是的重心， ，为边上的中线， ， 边上的中线长为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 八．*平面向量（共3小题） 17．（2024•崇明区）已知非零向量、、，下列条件中不一定能判定的是　　 A． B． C．， D．， 【分析】根据平面向量的相关定义求解即可． 【解答】解：由只能判定它们模的关系，不能判定方向关系，故选项符合题意， 选项、、一定能判定， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的相关定义是解题的关键． 18．（2023秋•浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面向量的运算法则求解即可． 【解答】解：，，且和的方向相反， ， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键． 19．（2024•崇明区）计算：　　． 【分析】根据平面向量的运算法则求解即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键． 九．比例的性质（共2小题） 20．（2023秋•虹口区期末）已知，那么　　． 【分析】先用表示出，再代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，表示出是解题的关键． 21．（2023秋•金山区期末）如果，那么　　． 【分析】利用设法进行计算，即可解答． 【解答】解：设， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 一十．比例线段（共2小题） 22．（2023秋•宝山区期末）下列各组中的四条线段成比例的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【解答】解：．由于，则，，，不成比例，所以选项不符合题意； ．由于，则，，，成比例，所以选项符合题意； ．由于，则，，，不成比例，所以选项不符合题意； ．由于，则，，，不成比例，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 23．（2023秋•杨浦区期末）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么　6　厘米． 【分析】首先根据线段是线段和的比例中项，然后再将厘米，厘米代入即可得出线段． 【解答】解：线段是线段和的比例中项， ， 又线段厘米，厘米， ， 厘米． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了比例中项，理解题意，熟练掌握线段的比例中项是解决问题的关键． 十一．黄金分割（共3小题） 24．（2023秋•长宁区期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点在线段上，且满足， 点是的黄金分割点，且， ， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 25．（2023秋•宝山区期末）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键． 26．（2024春•青浦区期末）点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 　　． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 十二．平行线分线段成比例（共3小题） 27．（2024•闵行区）如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可判断． 【解答】解：， ，选项符合题意； ，选项不符合题意； ，选项不符合题意； ，选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 28．（2024春•青浦区期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据给出的条件，利用平行线分线段成比例即可判断． 【解答】解：、，， ，， ， 不能推出，本选项不符合题意； 、，， 、不一定相等， 与不一定相似， 不能推出，本选项不符合题意； 、，， ， ，本选项符合题意； 、，， ， ， 不能推出，本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 29．（2023秋•奉贤区期末）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行判断． 【解答】解：， ， 当时，， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 十三．相似图形（共2小题） 30．（2023秋•静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是　　 A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可 【解答】解：．任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意； ．任意两个圆一定相似，本选项符合题意； ．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； ．任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 31．（2023秋•松江区期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于．对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【分析】根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：四边形和四边形是相似的图形，， 四边形和四边形是相似比为， 四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， 四边形和四边形的两条对角线的和之比等于， 则①和②都正确， 故选：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键． 十四．相似三角形的性质（共5小题） 32．（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可． 【解答】解：两个相似三角形的周长比为， 它们的对应边的比． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 33．（2023秋•黄浦区期末）已知：△△△，如果△与△的相似比为2，△与△相似比为4，那么△与△的相似比为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比． 【解答】解：△△△，如果△与△的相似比为2，△与△相似比为4 ，， 设，则， ， △与△的相似比为8． 故选：． 【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比． 34．（2023秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为　　 A． B． C． D． 【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可． 【解答】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角平分线的比为． 故选：． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 35．（2023秋•静安区期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 　　． 【分析】根据相似三角形的性质得出即可． 【解答】解：两个相似三角形对应边之比是， 它们的周长之比等于， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键． 36．（2023秋•徐汇区期末）已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是 　　． 【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算． 【解答】解：，它们对应高的比是， 和的相似比是， 和的面积比是． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方． 十五．相似三角形的判定（共3小题） 37．（2023秋•金山区期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可． 【解答】解：如图， 根据勾股定理得，，，，，， 又，，， ，，，，，，，，， ，，， ，，， 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 38．（2023秋•奉贤区期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，联结．下列两个三角形不一定相似的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【解答】解：如图， 根据旋转的性质得，， ，，，，， ，， ， 故不符合题意； ，，， ， ， 又， ， 故不符合题意； ，， ， 故不符合题意； 根据题意，无法求解与相似， 故符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键． 39．（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是　　 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 【分析】由相似三角形的判定，即可判断． 【解答】解：、、中的两个三角形不一定相似，故、、不符合题意； 、两个等边三角形相似，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法． 十六．相似三角形的判定与性质（共8小题） 40．（2023秋•浦东新区期末）如图，正方形的边在的直角边上，顶点、分别在边、上．已知两条直角边、的长分别为5和12，那么正方形的边长为 　　． 【分析】根据正方形的性质得出，，即可判定，根据相似三角形的性质可得，由此构建方程即可解决问题． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， 、的长分别为5和12， ， ， 即正方形的边长为， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 41．（2023秋•长宁区期末）如果点、分别在的两边、上，由下列哪一组条件可以推出　　 A．， B． C．， D． 【分析】对于选项，证明，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明． 【解答】解：、不能推出，不符合题意； 、不能推出，不符合题意； 、， ， ， ， ， ， ， ，本选项符合题意； 、不能推出，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 42．（2023秋•徐汇区期末）如图，在中，，于，如果和的面积比为，，那么的长是 　　． 【分析】先证明，根据相似三角形的性质求出和，进而求出即可． 【解答】解：， ， ， ，， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 43．（2023秋•宝山区期末）如图，已知正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积为12，那么的长为 　2.4　． 【分析】根据正方形的性质得出，则，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，结合正方形的性质列方程求解即可． 【解答】解：作于，交于，如图所示： 的面积，， ， 设正方形的边长为． 由正方形得，， 即， ， ． ， ， ， ，， ，， ， ，，， ， 解得． 故正方的边长为2.4， 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 44．（2023秋•浦东新区期末）如图，是边长为3的等边三角形，、分别是边、上的点，，如果，那么　　． 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再证明，然后可判断，从而利用相似比可求出． 【解答】解：为等边三角形， ，， ， ， 即， ， 而， ， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．也考查了等边三角形的性质． 45．（2023秋•静安区期末）在三角形中，点、分别在边、上，已知，，，那么能否得到？　否　（填“能”或“否” ． 【分析】由相似三角形的判定可得由题意无法证明与，即可求解． 【解答】解：由题意可得：，， 无法证明与， 无法得到， 即不能得到， 故答案为：否． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 46．（2024•崇明区）如图，在平行四边形中，点在边上，联结，交对角线于点，如果，，那么　5　． 【分析】由平行四边形的性质得，，所以，则，则，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 47．（2023秋•徐汇区期末）如图，在中，点在边上，． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换即可得解． 【解答】证明：（1）在中，， ， ， ， ， ， ； （2）如图， 在中，，， ，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 十七．锐角三角函数的定义（共3小题） 48．（2023秋•长宁区期末）在中，，如果，，那么等于　　 A． B． C． D． 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【解答】 解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 49．（2023秋•浦东新区期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：在中，，，， ， 那么，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 50．（2024•闵行区）在中，，如果，，那么　4　． 【分析】利用正切的定义计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键． 十八．特殊角的三角函数值（共3小题） 51．（2023秋•黄浦区期末）计算：． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 52．（2023秋•虹口区期末）计算：． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案． 【解答】原式 ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 53．（2023秋•浦东新区期末）计算：． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊的锐角三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 十九．解直角三角形（共3小题） 54．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角为，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由锐角的正切定义，即可解决问题． 【解答】解：如图，过作轴于， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数定义． 55．（2023秋•金山区期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】过作轴于，由点的坐标求出和的长，再由锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【解答】解：过作轴于，则， 的坐标是， ，， ，，，， ，，， 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 56．（2024•崇明区）在中，，，，那么的长为 　10　． 【分析】根据锐角三角函数定义求解即可． 【解答】解：，，， ， ， ， 故答案为：10． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义解答． 二十．解直角三角形的应用（共4小题） 57．（2023秋•宝山区期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【解答】解：，，， ， （米， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 58．（2023秋•虹口区期末）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为　　 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【解答】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 59．（2023秋•静安区期末）如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离　24　米． 【分析】设小红上升的铅直高度为米，根据坡度的概念用表示出小红行走的水平距离，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：设小红上升的铅直高度为米， 斜坡的坡度， 小红行走的水平距离为米， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， 则（米， 故答案为：24． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比． 60．（2023秋•金山区期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从处向北偏东的方向行驶8海里到处，再从处向南偏东方向行驶到发点正东方向上的处，此时这艘船距离出发点处 　　海里． 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出． 【解答】解：由题意可知：在中，，海里， 则海里，海里， 在中，， 则海里， 海里， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． $$