期末（一模）24题二次函数与几何压轴题（考题猜想，6种必考题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末（一模）24题二次函数与几何压轴题（考题猜想，6种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：二次函数与线段周长问题（共7题） 1．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 3．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）． (1)求抛物线解析式； (2)求点B的坐标； (3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标． 4．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标； ②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标． 5．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标； (3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标． 6．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标； (2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标； (3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 题型二：二次函数与几何图形面积问题（共9题） 1．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：抛物线顶点是点，且经过点． (1)求抛物线表达式； (2)平移抛物线，使得新顶点在原抛物线上，点横坐标为． ①如果，求的面积； ②新抛物线与轴交于，当时，求点坐标． 4．（2024·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、， ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 7．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 8．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 9．（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． (1)求、的值； (2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 题型三：二次函数与角度问题（共10题） 1．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为． (1)试求这个抛物线的表达式； (2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求； (3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 3．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D为轴正半轴上一点，联结，如果，求点D的坐标； (3)设点P在y轴上，且位于点C下方的一点，如果，求点P的坐标． 4．（21-22九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式． 5．（2020·上海黄浦·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 6．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 7．（22-23九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点的坐标为，连接、，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 9．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知：在直角坐标系中，直线与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C． (1)若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式； (2)若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且，求比值； (3)在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得，求点P的坐标． 10．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)求的值； (3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标． 题型四：二次函数与特殊三角形问题（共7题） 1．（2023·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 2．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 3．（2022·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标． 4．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，交轴于点，连接，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，点在抛物线上，，求点的坐标． 7．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 题型五：二次函数与特殊四边形（共6题） 1．（21-22九年级上·上海崇明·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值； (3)如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标． 2．（21-22九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A(4，0)，B(﹣1，3)两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，连接BC、BD． (1)求该抛物线的表达式以及对称轴； (2)点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标； (3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 3．（21-22九年级下·上海宝山·阶段练习）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求经过A、D两点的直线的表达式； (3)设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 4．（21-22九年级下·上海长宁·期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12． (1)求抛物线的解析式以及点D的坐标． (2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标． (3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长． 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 题型六：二次函数与相似三角形问题（共15题） 1．（21-22九年级上·上海宝山·期末）已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（2023·上海崇明·一模）如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标； (2)联结，求； (3)过作轴的垂线与交于点是直线上一点，当与相似时，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)联结BC、BD，求∠CBD的正切值； (3)若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标． 8．（2022·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知． (1)求顶点和点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积； (3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标． 9．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 10．（2023·上海徐汇·一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 11．（2023·上海浦东新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 12．（2023·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 13．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 14．（21-22九年级上·上海嘉定·期末）在平面直角坐标系中，点、两点在直线上，如图．二次函数的图像也经过点、两点，并与轴相交于点，如果轴，点的横坐标是． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数图像的对称轴与交于点，点在轴的负半轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为，求点的坐标； (3)设这个二次函数图像的顶点是，求的值． 15．（2023·上海青浦·一模）已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)求的余弦值； (3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标． $$期末（一模）24题二次函数与几何压轴题（考题猜想，6种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：二次函数与线段周长问题（共7题） 1．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：； （2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为， 点关于对称后的点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于成中心对称， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线：与：交于A、B， ∴令， 解得：或， 则A、B两点横坐标分别为和， 设，，其中， 则， ∴当时，最大为8． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可； （2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可； （3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题． 3．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）． (1)求抛物线解析式； (2)求点B的坐标； (3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）求出时，的值即可得； （3）过点作轴，交直线于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得或， 则点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴，交直线于点， 对于二次函数， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， ， ， 设点的坐标为， 将代入得：， 即， ， ， ， ，即， 即或， 解得或， 故点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题关键． 4．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标； ②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标． 【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为 【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解； （2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解； ②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C， ∴当 时， ， ∴点 ， 将点 ，代入，得： ， ∴直线BC的解析式为 ， 当 时， ， ∴点B（4,0）， 将点，B（4,0），代入，得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为 ； （2）①设 ，则 ， ∴ ， 设△PEF的周长为m， ∵， ∴∠PEF=∠BCO， ∵∠PFO=∠BCO=90°， ∴△PFE∽△BOC， ∴ ， ∵点B（4,0）， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴当 时，m最大，此时 ， 即的周长为最大值时点P的坐标为； ②抛物线的对称轴为 ， 如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， ∴ ， ， ∴， ∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM， ∵∠MGO=60°， ∴∠MOG=30°， ∵， ∴ ， ， ∴∠POB=60°， ∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°， ∴点P、O、M三点共线， 设直线AC的解析式为 ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴直线AC的解析式为 ， ∵， ∴可设直线BG的解析式为 ， 把点B（4,0），代入得： ， ∴直线BG的解析式为 ， ∴点 ， ∴ ， ∴， ∴PM=10， ∴的最小值为10， ∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ， ∴此时点H的纵坐标为 ， ∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 5．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标； (3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（，） (3)（2，-4） 【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中求解即可； （2）如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，可证得OA∥BF，即BF⊥x轴，这种情况不存在；如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，设点E的坐标为（0，m），则，求出点E的坐标为（0，4），然后求出直线BE的解析式为，联立，即可求出点F的坐标为（，）； （3）先求出点点C的坐标为（2，0），则OC=2，OA=1，，△AOC的周长，设点P的坐标为 ，根据PE∥x轴，得到∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，然后求出直线AB的解析式为得到点E的坐标为 ，则；证明△PDE∽△AOC，得到，则，由此求解即可． 【详解】（1）解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中得： ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图2-1所示，当点F在直线AB下方时， ∵∠OAC=∠CBF， ∴OA∥BF，即BF⊥x轴， ∴这种情况不存在； 如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， ∵∠OAC=∠CBF， ∴EA=EB， 设点E的坐标为（0，m）， ∴， 解得， ∴点E的坐标为（0，4）， 设直线BE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BE的解析式为， 联立， 解得或， ∴点F的坐标为（，） （3）解：∵B点坐标为（4，1），A点坐标为（0，-1）， ∴AB的中点坐标为（2，0）， 又∵直线AB与x轴的交点为C， ∴点C的坐标为（2，0）， ∴OC=2，OA=1， ∴， ∴△AOC的周长， 设点P的坐标为 ， ∵PE∥x轴， ∴∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为， 设直线AB的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为 ∴点E的坐标为 ， ∴， ∵PD⊥AB， ∴∠PDE=∠AOC=90°， ∴△PDE∽△AOC， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴P点的坐标为（2，-4）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，两点距离公式，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 6．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标； (2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标； (3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点D的坐标； （2）先求出点C的坐标进而得到，如图所示，取中点E，作直线OE，则是线段的垂直平分线，，即可推出点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可； （3）如图所示，连接，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，证明，求出，则， 同理可求出直线的解析式为，设点E的坐标为，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为 （2）解：令，则， ∴， ∴， 如图所示，取中点E，作直线OE， ∴是线段的垂直平分线，， ∵， ∴点P即为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点P的坐标为或 （3）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可求出直线的解析式为， 设点E的坐标为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点E的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． 题型二：二次函数与几何图形面积问题（共9题） 1．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②存在，， 【分析】（1）根据抛物线的性质可求出抛物线的对称轴，再根据且点在轴的负半轴上可求出点A的坐标，再根据，点在轴的正半轴上，可得出点关于直线对称．进一步即可求出点B的坐标． （2）①设相交于点D．先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，即可求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式．②过点作，垂足为点．由已知条件得出，，利用A，C的坐标求出的解析式，设直线与直线的交点为点，则． 设，然后分两种情况当点在点上方时和当点在点下方时，利用三角形的面积求出y值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点，且点在轴的负半轴上，   ∴．     由抛物线表达式可知：对称轴为直线． ∵，点在轴的正半轴上， ∴点关于直线对称． ∴． （2）①设相交于点D． ∵， ∴， ∴ ∵点C在x轴上，， ∴，轴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，即， ∴．   把代入，可得． ∴抛物线表达式为． ②存在．如图，过点作，垂足为点． ∵， ∴． ∴． ∵，∴． ∵，， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴可求得直线的解析式为． 设直线与直线的交点为点，则． 设， （Ⅰ）当点在点上方时，． ∵， ∴， 即，得．   ∴． （Ⅱ）当点在点下方时，． 同理可得． ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，求二次函数解析式，一次函数解析式以及二次函数的性质,相似三角形的判定以及性质等知识点，根据题意画出图像是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于、两点． (1)求点、点的坐标及抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是轴上一点．且．求点坐标． 【答案】(1)，，抛物线解析式为 (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式： （1）先求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再求出抛物线解析式，进而联立两函数解析式求出点C的坐标即可； （2）根据列式计算即可； （3）过点C作轴于D，可证明是等腰直角三角形，得到；当点Q在点A上方时，，当点Q在点A下方时，，两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴ （2）解： ； （3）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点Q在点A上方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 当点Q在点A下方时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：抛物线顶点是点，且经过点． (1)求抛物线表达式； (2)平移抛物线，使得新顶点在原抛物线上，点横坐标为． ①如果，求的面积； ②新抛物线与轴交于，当时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①14② 【分析】（1）根据题意采取待定系数法即可求得答案； （2）根据题意可得点，及平移后的函数解析式为，①过点B作轴交y于点N，过点P作轴交y于点M，根据题意得，及有对应边成比例求得点P的横坐标，即可求得答案； ②根据平移后的解析式求得点点，进一步得到，根据已知得即可解得点P． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点是点， ∴，解得，， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴． （2）点横坐标为，且使得新顶点在原抛物线上，则点 设平移后抛物线， ①过点B作轴交y于点N，过点P作轴交y于点M，如图，过点P作轴于点K， ∵， ∴， ∴， 则，解得（舍去）或， 故． ②∵平移后抛物线， ∴点， 则，， 即， 过点P作轴于点K，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得或（舍去）或（舍去）， 故点． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、图象的平移、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质及含角的直角三角形性质，熟练掌握函数图象平移与二次函数的顶点式结合，及数形结合是解题的关键． 4．（2024·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； ②延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：，   直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ， 和等高， ； ②存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：   ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、， ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】（1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【详解】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，故点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点的坐标为：或． 综上，点（即，，的坐标为：或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． 7．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； （2）解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 8．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴点， 设点， 设直线的解析式为， 由点、F的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， ①当时，则点F在的中垂线上， 则，即， 解得：(舍去)或5， 则； ②过点D作轴，作，过点F作轴，则，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由得，， ∵的面积是面积的3倍， 则 则∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：(舍去)或4， 当时， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键． 9．（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． (1)求、的值； (2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 【答案】(1)， (2)① ② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后，点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键． （1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可． （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，再过点做与轴平行的直线，与相交于点，由垂直平分线的性质可得，，，再由线段与平行，推出，，即， ，得出即垂直平分，，与点关于对称，即可得出点的坐标，由平移的性质可得平移后抛物线的表达式，最后根据在平移后的抛物线上，求出的值即可． 【详解】（1）∵抛物线过点 ， ，，    ∵ ，， ∴ 将，两点分别代入到所在的一次函数中， 得， 连列可得解答， 故直线的解析式为：， 又因为顶点在线段上， ∴， 得 (舍去) 或， ，      ，． （2）①， ∴对称轴为直线，顶点为， 当时，， 顶点， 当时，， ， 过点，，作轴垂线 垂足分别为，， ， ②由平移的性质可知， ， ， 在的垂直平分线上， 如图，过点做与轴平行的直线，与相交于点， 由垂直平分线的性质可得，， 故， 由图可得线段与平行， 故，， ， 即垂直平分，，与点关于对称， 顶点为， 的坐标为， 由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：， 将代入平移后的抛物线得：， 解得：或（，舍去）， ∴． 题型三：二次函数与角度问题（共10题） 1．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为． (1)试求这个抛物线的表达式； (2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求； (3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点、，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意作出图形，如图，过点作轴交于点，得出，，进而根据正切的定义即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，求得直线的解析式，设，根据勾股定理求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点、，代入，得 解得： ∴这个抛物线的表达式为； （2）解：∵, 则点， 令，解得：，则, ∴轴， 如图，过点作轴交于点， 则， ∴，， 在中，； （3）解：如图所示， 连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴， 即 ∵,，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 设过点,的直线解析式为， 则 解得： ∴直线的解析式为, 设点， ∵ ∴ 解得：或 ∵点在线段上 ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，角度问题，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据已知条件求出点的坐标，将，的坐标代入，即可求得、，从而求得抛物线的表达式. （2）应用二次函数的性质，求出点的坐标，从而求得，进而求得的大小. （3）根据（2）的结论得出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴，则 将，代入 得：， 解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∵ ∴， ∴，则 ∵    ∵ ∴，即， ∴， ∴. ∴. （3）解：∵, ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴轴或 如图所示，    当轴时，， 当时，，则是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D为轴正半轴上一点，联结，如果，求点D的坐标； (3)设点P在y轴上，且位于点C下方的一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，先求出，，进而得到，，，再根据根据定理建立方程求解即可； （3）如图所示，过点A作轴于D，则，进而求出，再证明，即可证明，得到，由勾股定理求出，，则，则． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：设， 由（1）得 在中，当时，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴；    （3）解：如图所示，过点A作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 4．（21-22九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）直线的解析式为或 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，将抛物线表示式设为，然后将代入表达式求出a的值，即可求出抛物线的表达式； （2）连接．首先根据A，B，C三点的坐标求出，，，然后根据对应边成比例且夹角相等证明出，然后根据相似三角形对应角相等即可证明出； （3）首先由，得到，然后由相似三角形对应角相等得到，进而得到，根据题意当点P在线段BC下方的抛物线上时，可得，设设，在中，根据勾股定理列方程求出OD的长度，即可得到点D的坐标，然后根据待定系数法即可求出直线的解析式；当点P在线段BC上方的抛物线上时，根据题意得到，即可得出的解析式为． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为． 将代入得：，解得， 抛物线的解析式为，即． （2）如图1所示：连接． 由题意可知，，，， ． 又， ． ． （3）①如图2所示： ，， ． ， ． ． ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即．解得：． 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入得：，解得：， 直线的解析式为． 如图3所示： ，， ． ， ． ． ． 的解析式为． 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】此题考查了勾股定理，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数综合题中的角度问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，通过分析题目中角度之间的关系得到线段之间的关系． 5．（2020·上海黄浦·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)抛物线的顶点D位于内，a的取值范围是 【分析】（1）已知抛物线与x轴的两交点，设其交点式为且，再代入C点坐标求得a即可； （2）如图1，设交y轴于点E，由点B、C坐标可得为等腰直角三角形，再由可得，利用可得的坐标，然后由B、E两点坐标可得直线解析式，再与二次函数解析式联立即可求得交点坐标； （3）由二次函数与x轴两交点可得其对称轴为，利用其交点式且，可得顶点坐标为，由点B、C坐标求得直线解析式令可得抛物线顶点纵坐标的最大值，若顶点D位于内，则顶点纵坐标要大于0，解不等式即可求得a的取值范围； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为且， 将点C的坐标（0，3）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设交y轴于点E，    ∵、， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵点P在第三象限， ∴， 设直线的解析式为：且， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当直线和二次函数相交时：， 解得：，， 代入一次函数可得交点坐标为或， ∵点P在第三象限， ∴； （3）解：∵抛物线经过A、B两点， ∴对称轴是：直线， 由、，可得直线的解析式为：， 可知当时，， 设抛物线的解析式为且， 令可得其顶点坐标为， 当顶点坐标刚好在直线上时可得：，则， 由图可知当抛物线的顶点D位于内时，其顶点纵坐标取值范围：， ∴； 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合，正切三角函数，二次函数的对称轴等知识；掌握二次函数的交点式是解题关键． 6．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2) (3)点的坐标为． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 7．（22-23九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点的坐标为，连接、，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标； （2）过D作延长线的垂线，通过证明求出和的长度，再求出正切值； （3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 解得：， ∴抛物线为， 令，得， 故． （2）解：过作交延长线于， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，由勾股定理得，， ∴， ∴，，， ∴． （3）解：设，连接、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或舍去，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点． 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出新抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且、，根据，得到，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 9．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知：在直角坐标系中，直线与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C． (1)若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式； (2)若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且，求比值； (3)在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)P． 【分析】（1）利用直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求得点A、B坐标，顶点D在直线上，由抛物线顶点式得出，进一步代入B点求得答案即可； （2）由题意表示出点D和点C坐标，进一步利用等腰直角三角形的性质求得答案即可； （3）由（2）的图形延长交对称轴于点F，求得直线的解析式，进一步证得，利用相似的性质求得，进一步确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A，点B， ∵顶点D在直线上， ∴， ∵点C（非顶点）与点B重合， 把点B代入得 ， 解得：或（不合题意舍去）， ∴； （2）解：如图， 由题意可知： 点， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， 作，则， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：延长交对称轴于点F， 设直线的解析式为：， 把A代入得， ∴ ∴直线的解析式为：， 则F， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵点， ∴P． 【点睛】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题． 10．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)求的值； (3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标． 【答案】(1)，直线 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点O (0，0)和点代入抛物线解析式，即可求出m和k的值，即得出其表达式，再根据其性质即可直接得出对称轴； （2）过点A作轴于点C，由（1）所求表达式可求出A点坐标，即得出AC和OC的长，进而可求出BC的长，再根据正切的定义即可求出； （3）由（2）可求．又易证，即得出．分类讨论：①当点D在x轴上方时，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E，即得出，从而可求出E点坐标，进而可求出直线OD的解析式，再联立直线OD的解析式和抛物线解析式，求出解，即得出D点坐标；②当点D在x轴下方时，由①同理可求出此时D点坐标． 【详解】（1）将点O (0，0)和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴它的对称轴为直线． （2）如图，过点A作轴于点C． ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知． ∵，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点D在x轴上方时，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线OD的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线OD的解析式为：． 联立，解得：，， ∴； ②当点D在x轴下方时，如图， 由①同理可求出此时直线OD的解析式为：． 联立，解得：，， ∴． 综上可知，如果，点D的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，解直角三角形，一次函数图象与二次函数图象的交点问题等知识，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 题型四：二次函数与特殊三角形问题（共7题） 1．（2023·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 2．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 3．（2022·上海虹口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可． （2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标． （3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线过点． ∵抛物线与轴交于点和点， ∴设抛物线， ∵抛物线过点， ∴将点代入中， 得    ，解得， 故抛物线解析式为， ∴抛物线解析式为． （2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F， ∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为， ∴，． ∵，， ∴直线BC为：， ∵交抛物线的对称轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， ∵，点P在射线DE上， ∴， ∵DP交x轴于点F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故P点坐标． （3）解：∵直线BC为：，， 又∵点是线段上的一点， ∴设，其中， 又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴设，其中． ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴分两种情况进行讨论： ①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L， ∵， ∴， ∵ML⊥DE， ∴， ∵， ∴． ∵NK⊥DE，ML⊥DE， ∴， ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， 解得或， ∵，， ∴舍去， ∴M点坐标为． ②如图2，当，时， ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴当，解得， ∵， ∴，即． ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴， ∵直线BC为：，， 又∵点是线段上的一点， ∴M点坐标为． 综上，满足题意的M点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键． 4．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2)7 (3)存在，或 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论； （2）作轴，垂足为．作，交的延长线于点．将放在中，根据余切的定义即可表达； （3）根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 5．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，交轴于点，连接，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，点在抛物线上，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定，得，，，确定，得，在中得，在中得，推出，可得结论； （3）如图，过作轴交于点，确定直线的解析式为，推出，过作于，则，证明，得，即，证明，得，在上截取，则，证明，得，推出，确定直线的解析式为，再解方程组即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）是直角三角形． 理由：∵抛物线与轴交于点和点，交轴于点， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴，， ∴， 令，得：， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，； （3）如图，过作轴交于点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， 过作于，则， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在上截取，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数综合题，考查了坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点坐标等知识点．通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 7．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则点在上，点D′代入的解析式，即可求解； （3）分情况讨论：当时，列出方程，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线， ∴， 作点D关于直线的对称点，交于点T，    ∵平分， ∴由轴对称的性质可得：， 过点D作x轴的平行线交于点H，连接， ∵，， ∴， 则， 则为等腰直角三角形， 由轴对称的性质可得：为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形，则点在上， 设点， 当，则， ∴， ∴， ∴点， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的表达， 将点代入上式得：， 解得：， 则点； （3）设点， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点，而， ∴，， ， 当时， 则， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； 当或时， 则或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：， 综上，抛物线的表达式为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键． 题型五：二次函数与特殊四边形（共6题） 1．（21-22九年级上·上海崇明·期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值； (3)如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2+x+3，对称轴为x=，顶点坐标为(，)； (2)m=2； (3)点M的坐标为（，0）或（3，0）． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，利用配方法可求得此抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）先求得直线AB的解析式，得到NP=−m2+3m，根据NP= OB，列出方程求解即可； （3）利用两点间的距离公式计算出AB5，BP，NP=−m2+3m，分时，△BPN∽△OBA；时，△BPN∽△ABO两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=−x2+x+3， ∵y=−x2+x+3=−(x-)2+， ∴此抛物线的对称轴为x=， 顶点坐标为(，)； （2）解：设直线AB的解析式为y=px+q， 把A（4，0），B（0，3）代入得， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=， ∵M（m，0），MN⊥x轴， ∴N（m，−m2+m+3），P（m，）， ∴NP=−m2+3m，OB=3， ∵NP∥OB，且以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ∴NP= OB，即−m2+3m=3， 整理得：m2-4m+4=0， 解得：m=2； （3）∵A（4，0），B（0，3），P（m，）， ∴AB=5，BP=， 而NP=−m2+3m， ∵PN∥OB， ∴∠BPN=∠ABO， 当时，△BPN∽△OBA， 即， 整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=， 此时M点的坐标为（，0）； 当时，△BPN∽△ABO， 即， 整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3， 此时M点的坐标为（3，0）； 综上所述，点M的坐标为（，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题． 2．（21-22九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A(4，0)，B(﹣1，3)两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，连接BC、BD． (1)求该抛物线的表达式以及对称轴； (2)点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标； (3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线x＝2 (2)点E(1，1) (3)平行四边形的面积为或 【分析】（1）把A（4，0），B（﹣1，3）两点，代入即可求解； （2）根据二次函数的对称性可得点D（5，3），从而得到BD＝6，再求出直线BC解析式为y＝﹣x+2，然后根据BD∥OC，∠CED＝∠OBD，可得△OBC∽△EDB，从而得到BE＝2，再设点E（x，﹣x+2），即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直 ； （2）解：如图，连接BO， ∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，B（﹣1，3）， ∴点D（5，3）， ∴BD＝6， ∵点C（2，0），点B（﹣1，3）， ∴BC＝3， 设直线BC解析式为 ， 把点C（2，0），点B（﹣1，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+2， ∵BD∥OC， ∴∠DBE＝∠BCO， ∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE， ∴∠OBC＝∠BDE， ∴△OBC∽△EDB， ∴， ∴＝， ∴BE＝2， 设点E（x，﹣x+2）， ∴2＝， ∴x＝1或x＝﹣2（舍去）， ∴点E（1，1）； （3）解：当OA为边时， ∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴OA＝MN＝4，OA∥MN， ∴点N横坐标为6或﹣2， ∴点N的纵坐标为， ∴平行四边形的面积＝4×＝， 当OA为对角线， ∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN与OA互相平分， ∴， ∴Nx＝2， ∴点N（2，﹣）， ∴平行四边形的面积＝4×＝， 综上所述：平行四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与相似三角形，四边形的综合题，利用数形结合思想和分类讨论解答是解题的关键． 3．（21-22九年级下·上海宝山·阶段练习）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求经过A、D两点的直线的表达式； (3)设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据（1）的结论求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式即可； （3）根据题意分①当为对角线时，②当为对角线时，两种情形讨论，根据平行四边形的性质以及点的平移知识进行求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点， 设抛物线的解析式为，将代入得， 解得 抛物线的解析式为 ∴二次函数解析式为； （2）解：∵ 设经过A、D两点的直线的表达式为，将A（1，0），代入得， 解得 经过A、D两点的直线的表达式为； （3）解：如图，为顶点的四边形是平行四边形 ①当为对角线时， ， ②当为对角线时， ， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数与平行四边形的性质是解题的关键． 4．（21-22九年级下·上海长宁·期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12． (1)求抛物线的解析式以及点D的坐标． (2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标． (3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长． 【答案】(1)y＝x2﹣5x﹣12，点D的坐标为（5，﹣） (2)点F的坐标为（，）或（，﹣） (3)菱形对角线MN的长为或 【分析】（1）先求得B、C的坐标，然后运用待定系数法可求得函数解析式，进而求得顶点D的坐标； （2）过F作FG⊥x轴于点G，设出F点坐标，再证△FAG∽△ACO，然后由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，进而求得F点的坐标； （3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长． 【详解】（1）解：∵OB＝OC＝12， ∴B（12，0），C（0，﹣12）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣12， ∵y＝x2﹣5x﹣12＝（x﹣5）2﹣， ∴点D的坐标为（5，﹣）． （2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，x2﹣5x﹣12），则FG＝|x2﹣5x﹣12|， 在y＝x2﹣5x﹣12中，令y＝0可得x2﹣5x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝12， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝2，则AG＝x+2， ∵C（0，﹣12）， ∴OC＝12， 当∠FAB＝∠ACO时， ∵∠FGA＝∠AOC＝90°， ∴△FAG∽△ACO， ∴，即， ∴＝＝， 当点F在x轴上方时，则有＝，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，）； 当点F在x轴下方时，则有＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，﹣）； 综上可知，点F的坐标为（，）或（，﹣）． （3）解：∵点P在x轴上， ∴由菱形的对称性可知P（5，0）， 如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点， ∵PQ＝MN， ∴MT＝PT， 设PT＝n，则MT＝n， ∴M（5+n，n）， ∵M在抛物线上， ∴n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去）， ∴MN＝2MT＝3n＝； 当MN在x轴下方时，同理可设PT＝n，则M（5+n，﹣n）， ∴﹣n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去）， ∴MN＝2MT＝3n＝； 综上可知，菱形对角线MN的长为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合，主要考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过， (3)存在，对称中心坐标为或 【分析】（1）由的图像上存在不同的两点与，可得函数的对称轴为直线，由题意知，，则，计算求解即可； （2）由题意知，，由的图像经过原点，可得，即，可求，则，当时，，然后作答即可； （3）由（1）（2）可知，，，则，，可求，由的图像与轴的交点为点B，可求，由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形；当为对角线时，则的中点为对称中心，则，当时，，此时不存在；当为边时，，，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合是解题的关键． 6．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型六：二次函数与相似三角形问题（共15题） 1．（21-22九年级上·上海宝山·期末）已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为：； (2)，证明见解析； (3)存在点P，，理由见解析． 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标； （2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明； （3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，联结CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， 设抛物线解析式为：， 将点C代入可得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； （2）相似，证明如下： 如图所示： 为直角三角形且三边长分别为：，，， 的三边长分别为：， ，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴； （3）解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，联结CF，如（2）中图： ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 解得：， 设， ∴，， ∴， 整理得：①， =， 即②， 将①代入②整理得：， 解得：，， ∴，， ∴或（不符合题意舍去）， ∴，， 设直线FA解析式为：，将两个点代入可得： ， 解得：， ∴， ∴联立两个函数得：， 将①代入②得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， ∴． 【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 2．（2023·上海崇明·一模）如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标； (2)联结，求； (3)过作轴的垂线与交于点是直线上一点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)3 (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线的抛物线经过点，可列方程组，解方程组后即可得到函数解析式，化成顶点式求出定点坐标即可； （2）求出点M和点B的坐标，作轴于点N，利用梯形面积减去两个直角三角形面积即可； （3）过点M作轴于点E，设直线交x轴于点C，先求出各边的长度，证明，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得到， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）当时，， ∴点， 当时，， ∴， 如图，联结，作轴于点N， 则， 则， 即； （3）过点M作轴于点E，设直线交x轴于点C， 由题意可知 则， ∴，， ， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴, 当时，则，如图1， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当，， ∴， ， ∴， 解得， ∴Q点的纵坐标为， ∴点； 当当时，则，如图2， ∴， 解得， ∴Q点的纵坐标为， ∴点； 综上，点的坐标为或 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线的对称轴上， ， ， ， ， ， ， ． ②存在， 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为； 第二种：，则， 又，， ∴与全等，相似比为1， ∴， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程即可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； （3）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①；② (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案； ② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，进而利用解答即可； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形， 如图1， ∴； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，正弦等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 7．（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)联结BC、BD，求∠CBD的正切值； (3)若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标． 【答案】(1)，点C的坐标为（0，-3） (2) (3)（-3，0）或（-，0） 【分析】（1）把A、B两点坐标代入函数求出b，c的值即可求函数表达式；再令x=0，求出y从而求出C点坐标； （2）先求B、C、D三点坐标，再求证△BCD为直角三角形，再根据正切的定义即可求出； （3）分两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入，得    解得： 所以，． 当x=0时，．∴点C的坐标为（0，-3）． （2）解：联结CD，过点D作DE⊥y轴于点E， ∵， ∴点D的坐标为（1，-4）． ∵B（3，0）、C（0，-3）、D（1，-4），E（0，-4）， ∴OB=OC=3，CE=DE=1， ∴BC=，DC=，BD=． ∴． ∴∠BCD=90°． ∴tan∠CBD=． （3）解：∵tan∠ACO=， ∴∠ACO=∠CBD． ∵OC =OB， ∴∠OCB=∠OBC=45°． ∴∠ACO+∠OCB =∠CBD+∠OBC． 即：∠ACB =∠DBO． ∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧． （i）当时， ∴． ∴BP=6． ∴P（-3，0）． （ii）当时， ∴． ∴BP=． ∴P（-，0）． 综上，点P的坐标为（-3，0）或（-，0）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，掌握相关知识是解题的关键． 8．（2022·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知． (1)求顶点和点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积； (3)如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可画出函数图象，由可得，令可得，进而可得，即，由此可得，将点的坐标代入抛物线解析式可求出的值，化作顶点式可求出点的坐标；令，可求出的值，进而可得出点的坐标； （2）根据抛物线的平移可求出新抛物线，令，可得出点的坐标，利用三角形的面积公式可求出的面积； （3）过点作垂直于原抛物线的对称轴，可得出和的长，进而可得出，由与相似可得，：：或：：，由此可得出点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可画出函数图象，如图1， 令可得， ∴，即． 在中，， ∴， ∴， ∴． 将点的坐标代入抛物线解析式可得，， 解得． ∴抛物线的解析式为：． ∴顶点， 令，即， ∴或， ∴． （2）解：如图2， 将（1）中抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线． 令，则． ∴ 连接并延长交轴于点，设直线AP的解析式为y＝x＋ ，把点A和点P的坐标代入得 ， ∴直线的解析式为：， 当x＝0时， y＝﹣2， ∴， ∴． （3）解：在中，，，，， ，， 如图3，过点作垂直于原抛物线的对称轴于点Q， ∴，， ∴，． ∴， 若与相似，则：：或：：， 设， 则， ∴：：或：：， 解得或． ∴或 【点睛】本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，锐角三角函数值，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识．第（3）问得出是解题关键． 9．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)或 (3)在直线存在一点， 【分析】（1）可设抛物线解析式为，将A、B两点的坐标代入求出a，k的值即可，进而可写出顶点坐标； （2）可设E点的坐标为，由的面积为24，可知的面积为12，列方程求出m即可得E点坐标； （3）由于是直角三角形，要使与相似，则也为直角三角形，因此直线与直线垂直，可先求出直线的解析式，再写出直线的解析式，然后联立两条直线的解析式求出交点坐标即为P点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式， 把和代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即， 顶点坐标为； （2）解：设E点的坐标为， ∵， ∴， 即， ， ∵点在第四象限， ∴得， 化简得， 解得， ∴E点的坐标为 或； （3）解：在直线存在一点，理由如下： ∵与相似，且是直角三角形， ∴也是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合运用，题目综合性较强有一定难度，熟练掌握求二次函数的解析式以及平行四边形的性质，相似三角的性质是解答此题的关键． 10．（2023·上海徐汇·一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）将，代入，即可求解． （2）设，过点D作x轴垂线交于点N，可证明，则，将D点代入抛物线解析式得，求得或． （3）分当和时，两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，， ∴． （2）解：设， 如图，过点D作x轴垂线交于点N， ∵， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得或， ∴或． （3）解：∵， ∴是直角三角形，且， ∵以点B、Q、C为顶点的三角形与相似， ∴也是直角三角形， 显然， 当时，此时，如图， ∵抛物线的对称轴为， ∴点C的横坐标为1， ∴点P的坐标为； 当时，此时，如图，设与x轴交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点C的横坐标为， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 11．（2023·上海浦东新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为：或． 【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可； （2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案； （3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当，则，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 设抛物线为，把代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，，即， ∴． （3）如图，过作于， ∵，，， ∴，，，， ∴，则， ∴，而， ∴， 而， ∴， ∴， 当和相似时，显然与对称轴没有交点， ∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角， 当时， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上：P的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键． 12．（2023·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3) 【分析】（1）把代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出对称轴； （2）先求出，再根据，推出，则点C和点D关于抛物线对称轴对称，由此利用二次函数的对称形求解即可； （3）设抛物线顶点为M，由（1）可知，则P、M都在直线上，即可得到，即，如图所示，过点A作于N，则，证明，得到，进而求出，得到，由此求出，则． 【详解】（1）解：把代入到中得：， ∴， ∴抛物线表达式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C和点D关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴；    （3）解：设抛物线顶点为M， 由（1）可知， ∵， ∴P、M都在直线上， ∴，即， 如图所示，过点A作于N，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求二次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出对称轴为直线，则，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出在，则；再求出，，得到，进而求出直线解析式为，则，得到，由于，，则当和相似时，只存在这一种情况，由相似三角形的性质得到，即，得到，则抛物线解析式为； （3）如图所示，过点B作于H，先求出，再由勾股定理求出，进而得到，再利用勾股定理得到；证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线对称轴为直线， ∵顶点纵坐标为， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴ ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴当和相似时，只存在这一种情况， ∴，即， ∴或（舍去） ∴抛物线解析式为； （3）解：如图所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 令，则， 解得， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键． 14．（21-22九年级上·上海嘉定·期末）在平面直角坐标系中，点、两点在直线上，如图．二次函数的图像也经过点、两点，并与轴相交于点，如果轴，点的横坐标是． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数图像的对称轴与交于点，点在轴的负半轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为，求点的坐标； (3)设这个二次函数图像的顶点是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定点C的坐标，根据//轴，判定B，C两点的纵坐标相等，借助直线可以确定A，B的坐标，用待定系数法确定解析式即可； （2）根据，选择两边对应成比例且夹角相等，分两种情形求解； （3）过点作,垂足为，设直线与轴、轴的交点分别为点、，根据两点间距离公式确定MQ的长，确定直线AM的解析式，计算MH，CH的长度，根据正切的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴相交于点， ∴点的坐标为， ∵ //轴， ∴点的纵坐标是， ∵点、两点在直线上，点的横坐标是， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵二次函数的图像也经过点、，得 ， 解这个方程组，得 ，， ∴二次函数的解析式是； （2）根据（1）得，二次函数图像的对称轴是直线， ∴点的坐标为， ∴, ， ∵//轴， ∴， ∴以点、、组成的三角形与△相似有以下两种可能： 当时，△∽△， 显然这两相似三角形的相似比为， 与已知相似比不为矛盾，这种情况应舍去； 当时，△∽△， ∴， ∴， 又点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为． （3）过点作,垂足为 根据（1）得，二次函数的解析式是的顶点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 设直线与轴、轴的交点分别为点、， 则点的坐标为,点的坐标为， ∴△是等腰直角三角形，45°，OQ=OP=1， ∵， ∴45°， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形相似的判定与性质，正切值的计算，熟练掌握待定系数法，灵活选择相似的判定是解题的关键． 15．（2023·上海青浦·一模）已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)求的余弦值； (3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；顶点的坐标为 (2)的余弦值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线经过，两点列出的二元一次方程组，求出的值即可，再将抛物线解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标； （2）令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，先分别求出的长，再根据等面积法求出的长，再用勾股定理求出的长，即可求出的值； （3）与相似，分和,利用相似三角形的性质以及股股定理知识点求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线解析式为：， ， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，抛物线对称轴为直线， 令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，如图， ，，， ， ， ， ， ， 在Rt中， ； （3）解：，和相似， 当时，如图所示， 此时MN平行x轴， ，， 点在抛物线上， 当时，， 的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，， 点坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将点的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为：， 设坐标为，代入上述解析式中得：, ； 当 时，如图所示， ， 。 ， ， 设坐标为， ， 或， 在第二象限， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数值的定义，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类讨论思想解决问题，此题有一定难度． $$