专题08 三角恒等变换-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题08 三角恒等变换 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：和差角公式※ 考点二：二倍角公式※ 考点三：辅助角公式与公式变形 题型一：和差角与二倍角公式展开应用※ 题型二：和差角与二倍角公式合并应用 题型三：辅助角公式与公式变形应用 考点、题型突破 考点一：和差角公式 *诱导公式用和差角公式展开： 例： 考点二：二倍角公式 考点三：辅助角公式与公式变形 辅助角公式：() 常用公式变形： 题型一：和差角与二倍角公式展开应用※ 例1．已知α、β都为锐角，且、，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数间的关系和正弦函数的差角公式即可解得. 【详解】因为α、β都为锐角，且、， 所以， ， 由， 且α、β都为锐角， 所以 故选：C 例2．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的和差公式化简，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】 ， 所以函数的最大值是1. 故选：A. 例3．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角凑配出角，再利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】 . 故选：B. 【突破训练】 1．已知，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】按两角和的正切公式展开，即可得到结果. 【详解】因为，， 所以． 故选：A. 2．化简： ． 【答案】 【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】 故答案为： 3．已知 ，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得， . 故答案为：. 4．函数的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由二倍角的余弦公式将函数化为类二次函数，再由余弦函数和二次函数的性质求最小值. 【详解】函数， 令，则， 则，对称轴为， 所以在上单调递增， 故时，取最小值，最小值为. 故选：B. 题型二：和差角与二倍角公式合并应用 例1．在中，若则一定是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式和三角函数诱导公式先对不等式进行化简，然后根据角的余弦值正负确定三角形的类别. 【详解】，， ，又在中存在， ， 又， 一定是钝角三角形. 故选：B. 例2．（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将钝角化简为锐角，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：B. 例3．计算： 【答案】/ 【分析】利用两角和与差的正切公式，即可求出. 【详解】， ， . 故答案为：. 【突破训练】 1．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可解得. 【详解】 . 故选：A. 2．若，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据正弦函数的差角公式结合角的范围即可解得. 【详解】， 又，则， 所以或，则或. 故选：D 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】， 故选：C. 4．（ ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】逆用二倍角的正切公式求值即可. 【详解】. 故选：C. 5．的值为 ． 【答案】 【分析】逆用两角和的余弦公式还原后，求值即可. 【详解】 . 故答案为：. 题型三：辅助角公式与公式变形应用 例1．点到直线距离的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，结合正弦函数和角公式与值域即可解得. 【详解】点到直线距离为： ，化简得， 其中满足， 当时，取得最大值， 即最大值； 故选：D. 例2．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用两角差的正弦公式展开，化简得，等式两边同时平方即可求的值. 【详解】由， 得， 即，等式两边同时平方，得， 所以， 故选：B. 例3．函数的最大值等于（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式，然后根据正弦型函数的性质可求. 【详解】 ， 由正弦型函数性质可知， 所以， 所以的最大值为； 故选：A. 【突破训练】 1．计算的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 故选：B 2．函数的最大值是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式，将原函数化为正弦型函数即可求解. 【详解】因为 ， 所以当时，. 故答案为：. 3．若，且，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由于, 则，且，，则, 故答案为：． 模拟演练 1．已知：则=（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和差的正切公式即可求解. 【详解】 故选:B. 2．的值（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据余弦函数的差角公式即可解得. 【详解】 ， 故选：C 3．已知，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用正切和角公式进行求解即可. 【详解】，. 故选：A. 4．已知，且，则的值是 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的正弦和余弦的关系，及两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 5．已知且，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数间的关系和正弦函数的和角公式即可解得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 6． . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式可求解. 【详解】 . 故答案为： 7． . 【答案】 【分析】逆用二倍角的正切公式计算即可. 【详解】依题意，， 故答案为：. 8．设为锐角，，，求的值. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为为锐角，，， 所以，， 所以. 9．已知为锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数间的关系和正弦函数的差角公式即可解得； （2）根据角的范围结合正弦函数值即可解得. 【详解】（1）因为均为锐角，， ， . （2）因为均为锐角，， ，. 10．已知，且为第四象限角，求. 【答案】 【分析】由为第四象限角，确定的符号，然后利用同角三角函数的平方关系求出，再根据两角差的正弦公式即可求解. 【详解】∵，且为第四象限角，∴， ∴， ∴. $$专题08 三角恒等变换 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：和差角公式※ 考点二：二倍角公式※ 考点三：辅助角公式与公式变形 题型一：和差角与二倍角公式展开应用※ 题型二：和差角与二倍角公式合并应用 题型三：辅助角公式与公式变形应用 考点、题型突破 考点一：和差角公式 *诱导公式用和差角公式展开： 例： 考点二：二倍角公式 考点三：辅助角公式与公式变形 辅助角公式：() 常用公式变形： 题型一：和差角与二倍角公式展开应用※ 例1．已知α、β都为锐角，且、，则＝（    ） A． B． C． D． 例2．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 例3．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．已知，，则（    ） A．1 B． C． D． 2．化简： ． 3．已知 ，则 ． 4．函数的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 题型二：和差角与二倍角公式合并应用 例1．在中，若则一定是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 例2．（ ） A． B． C．1 D． 例3．计算： 【突破训练】 1．的值为（ ） A． B． C． D． 2．若，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 3．（ ） A． B． C． D． 4．（ ）． A． B． C． D．1 5．的值为 ． 题型三：辅助角公式与公式变形应用 例1．点到直线距离的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 例2．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 例3．函数的最大值等于（    ） A．2 B． C． D．4 【突破训练】 1．计算的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 2．函数的最大值是 . 3．若，且，则 ． 模拟演练 1．已知：则=（     ） A． B． C． D． 2．的值（    ） A． B． C． D．1 3．已知，则（    ） A． B．2 C． D．1 4．已知，且，则的值是 . 5．已知且，则 . 6． . 7． . 8．设为锐角，，，求的值. 9．已知为锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 10．已知，且为第四象限角，求. $$