专题04 分式方程【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题04 分式方程 考点类型 知识串讲 （一）分式方程 （1）解分式方程的基本步骤 ①去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。 ②解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。 ③检验(把整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解 若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解 ④写出答案 （2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。 （二）分式方程应用 分式方程解决实际问题的步骤： ① 根据题意找等量关系 ② 设未知数 ③列出方程 ④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要） ⑤ 写答案 考点训练 考点1：分式方程的定义 典例1：在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 【变式1】在①；②（x－1）＋（x＋1）＝4；③＝1；④＋＝－1；⑤（3x－7）中，分式方程有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【变式3】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 考点2：解分式方程 典例2：解方程 (1)； (2)． 【变式1】解分式方程： (1)； (2) 【变式2】解下列方程： (1) (2) 【变式3】解下列分式方程： (1)； (2)． 考点3：根据分式方程解的情况求值 典例3：关于x的方程． (1)m为何值时，方程有增根？ (2)m为何值时，方程无解？ 【变式1】已知分式方程． (1)若分式方程无解，求b的值． (2)若分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 【变式2】已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【变式3】我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ； (4)若分式 的值为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 考点4：分式方程无解问题 典例4：已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【变式1】已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 【变式2】在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【变式3】阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 考点5：列分式方程 典例5：今年夏天干旱严重，某村准备请工程队从乌江引水，为了尽快解决村民用水难问题，工程队增加了人力进行管道铺设，现在平均每小时比原计划多铺设，现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同．设现在平均每小时铺设，则列出的方程为（　　）． A． B． C． D． 【变式1】“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    【变式3】某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，______，结果提前4天完成任务．问原计划每天能完成多少套校服？ 根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解  设原计划每天能完成x套校服，根据题意，得 考点6：分式方程与实际问题 典例6：某地对一段长达2400米的河堤进行加固，施工队在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高，用26天完成了全部加固任务． (1)施工队原来每天加固河堤多少米？ (2)若承包商原来每天支付给施工队的工资为2000元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，那么完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为多少元？ 【变式1】随着天气转暖，服装店老板预测某薄款衣服可能会畅销．用8000元进了一批货，面市后供不应求，就又用17600元第二次进货，第二次进货的数量是第一批的2倍，但单件进货价格贵了4元． (1)第一次进货每件衣服的进货价格是多少元？ (2)该薄款衣服每件标价60元，第一批按标价售完，第二批准备降价销售，如果要使销售完毕的总利润不低于8000元，问第二批销售时，每件最多降价多少元？ 【变式2】“喜迎二十大奋进新征程”，郑州郑东新区2022年“新发展杯”篮球赛于9月下旬火热开赛，本次比赛也带动了部分新区居民的运动热情．为增加器材储备，某活动中心决定购买A，B两种型号的篮球作为训练器材，已知A款比B款每个贵35元．预算资金为1700元，其中800元购买A款篮球，其余资金全部购买B款篮球，且购买B款的数量是A款数量的2倍． (1)分别求A，B两款篮球的单价； (2)后由于联合了其他活动中心购买，商家答应所有篮球按原价八折销售，故调整了购买方案：不超过预算资金且购买A款篮球的资金不少于832元，A，B两款篮球共购买35个；问购买A，B两款篮球有哪几种方案？ 【变式3】根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买方案设计 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件． 素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支． 素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 问题解决 任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量． 任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式方程 考点类型 知识串讲 （一）分式方程 （1）解分式方程的基本步骤 ①去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。 ②解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。 ③检验(把整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解 若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解 ④写出答案 （2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。 （二）分式方程应用 分式方程解决实际问题的步骤： ① 根据题意找等量关系 ② 设未知数 ③列出方程 ④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要） ⑤ 写答案 考点训练 考点1：分式方程的定义 典例1：在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【详解】A、是分式方程，故此选项符合题意； B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； C、不是分式方程，故此选项不符合题意； D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【变式1】在①；②（x－1）＋（x＋1）＝4；③＝1；④＋＝－1；⑤（3x－7）中，分式方程有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行分析． 【详解】③＝1； ④＋＝－1是分式方程，共2个， 故选B． 【点睛】此题主要考查了分式方程定义，判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【变式2】在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【答案】3 【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为3． 【点睛】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【变式3】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 考点2：解分式方程 典例2：解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得 ， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 【变式1】解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2)按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2）∵， 即， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是原方程的根， 故原方程的根为． 【变式2】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【分析】此题考查了解分式方程，不要忘记检验． （1）去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得到结论； （2）去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得到结论． 【详解】（1） 两边同乘以得， 解得， 当时，， ∴是增根，原分式方程无解； （2） 两边同乘以得， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解 【变式3】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程； （1）先去分母，再解整式方程，最后检验即可； （2）先去分母，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1）， 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的根； （2）， 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的增根，原方程无解． 考点3：根据分式方程解的情况求值 典例3：关于x的方程． (1)m为何值时，方程有增根？ (2)m为何值时，方程无解？ 【答案】(1)当或时，方程有增根； (2)当或或时，方程无解 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的关键． （1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值； （2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答． 【详解】（1）解： 方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∴当或时，方程有增根； （2）解：由（1）可得， 则，即， 当，即时整式方程无解， 当，即时整式方程无解， 当，即时整式方程无解， ∴当或或时，方程无解． 【变式1】已知分式方程． (1)若分式方程无解，求b的值． (2)若分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)b的取值范围是且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先对分式方程求解，再根据分式方程无解得到即可得到答案； （2）根据题意得到，且，计算即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项，得． 系数化为1．得． 分式方程无解． ， ； （2）解：分式方程的解是非负数，且分式方程的分母不为0， ，且， 且， b的取值范围是且． 【变式2】已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 方程的解为， ，解得， 当时，此方程的解为； （2）解：方程会产生增根， ， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （3）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 【变式3】我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ； (4)若分式 的值为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 (4)8 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的情况求值： （1）根据题意变形即可； （2）根据题意变形即可； （3）根据（2）得到变形后的结果，然后根据是正整数可得到的值； （4）先把式子变形，然后根据题意可分别得到的值，最后求和即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可得， 故答案为：； （2）解：由题可得， 故答案为：； （3）解：由（2）可得变形为， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：2或6； （4）解：先将变形， 即， ∵分式 的值为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴a的和为：， 故答案为：8． 考点4：分式方程无解问题 典例4：已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1.5 (2)m的值为或或1.5 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解； （2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1.5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1.5． 【变式1】已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，即可求出 m的值． 【详解】（1）解：去分母得 ， 解得 ， 经检验：是方程的解； （2）解：去分母得 ，即 ，              当时，即时，整式方程无解，符合题意； 当时，则 ∴或， ∴或，       综上所述，或或. 【变式2】在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 【变式3】阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或． 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数： （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 考点5：列分式方程 典例5：今年夏天干旱严重，某村准备请工程队从乌江引水，为了尽快解决村民用水难问题，工程队增加了人力进行管道铺设，现在平均每小时比原计划多铺设，现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同．设现在平均每小时铺设，则列出的方程为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，关键在于寻找相等关系，列出方程．设现在平均每小时铺设，则原计划每天铺m，根据现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每小时铺设，则原计划每天铺，根据题意，可列方程： ， 故选：A． 【变式1】“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查从实际问题中抽取分式方程，理解题意是解题的关键．根据题中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵， 根据等量关系即可得到， 故选B． 【变式2】《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 【变式3】某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，______，结果提前4天完成任务．问原计划每天能完成多少套校服？ 根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解  设原计划每天能完成x套校服，根据题意，得 【答案】每天完成的校服比原计划多， 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来每天完成校服套，则实际每天完成校服套，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，根据方程，此题得解． 【详解】解：设原来每天完成校服套，则实际每天完成校服套， 依题意，得：． 所以横线处空缺的条件应是：每天完成的校服比原计划多， 故答案为：每天完成的校服比原计划多， 考点6：分式方程与实际问题 典例6：某地对一段长达2400米的河堤进行加固，施工队在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高，用26天完成了全部加固任务． (1)施工队原来每天加固河堤多少米？ (2)若承包商原来每天支付给施工队的工资为2000元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，那么完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为多少元？ 【答案】(1)原来每天加固河堤80米 (2)完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解． （1）设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米，然后根据用26天完成了全部加固任务，列方程求解即可； （2）先算出提高工作效率后每天加固的长度，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米． 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验可知，是原分式方程的根，并符合题意； 答：原来每天加固河堤80米； （2）解：根据题意得(米)， 所以，承包商支付给工人的工资为：(元)． 故完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为元． 【变式1】随着天气转暖，服装店老板预测某薄款衣服可能会畅销．用8000元进了一批货，面市后供不应求，就又用17600元第二次进货，第二次进货的数量是第一批的2倍，但单件进货价格贵了4元． (1)第一次进货每件衣服的进货价格是多少元？ (2)该薄款衣服每件标价60元，第一批按标价售完，第二批准备降价销售，如果要使销售完毕的总利润不低于8000元，问第二批销售时，每件最多降价多少元？ 【答案】(1)第一次进货每件衣服的进货价格是40元； (2)第二批销售时，每件最多降价6元 【分析】本题考查分式的实际应用、一次一次不等式的实际应用： （1）设第一次进货每件衣服的进货价格是x元，根据所给等量关系列分式方程，求出解后进行检验即可； （2）设每件降价y元，根据“总利润不低于8000元”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设第一次进货每件衣服的进货价格是x元，则第二次进货每件衣服的进货价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解． 答：第一次进货每件衣服的进货价格是40元； （2）答：第一次进货每件衣服的进货价格是40元； 第一次进货的数量是（件）； 第二次进货的数量是（件）． 设第二批销售时，每件降价y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为6． 答：第二批销售时，每件最多降价6元． 【变式2】“喜迎二十大奋进新征程”，郑州郑东新区2022年“新发展杯”篮球赛于9月下旬火热开赛，本次比赛也带动了部分新区居民的运动热情．为增加器材储备，某活动中心决定购买A，B两种型号的篮球作为训练器材，已知A款比B款每个贵35元．预算资金为1700元，其中800元购买A款篮球，其余资金全部购买B款篮球，且购买B款的数量是A款数量的2倍． (1)分别求A，B两款篮球的单价； (2)后由于联合了其他活动中心购买，商家答应所有篮球按原价八折销售，故调整了购买方案：不超过预算资金且购买A款篮球的资金不少于832元，A，B两款篮球共购买35个；问购买A，B两款篮球有哪几种方案？ 【答案】(1)A款篮球的单价为80元，B款篮球的单价为45元 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用，掌握分式方程的应用以及不等式组的应用是解本题的关键． （1）设B款篮球的单价为x元，则A款篮球的单价为元，根据“预算资金为1700元，其中800元购买A款篮球，其余资金全部购买B款篮球，且购买B款的数量是A款数量的2倍”列分式方程，解方程即可； （2）设购买A款篮球m个，则购买B款篮球个，根据“不超过预算资金且购买A款篮球的资金不少于832元”列一元一次不等式组，求出m的取值范围，取整即可确定购买方案． 【详解】（1）解：设B款篮球的单价为x元，则A款篮球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， （元） 答：A款篮球的单价为80元，B款篮球的单价为45元． （2）设购买A款篮球m个，则购买B款篮球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以取13，14，15， ∴有三种购买方案： 方案一：购买A款篮球13个，B款篮球22个； 方案二：购买A款篮球14个，B款篮球21个； 方案三：购买A款篮球15个，B款篮球20个． 【变式3】根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买方案设计 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件． 素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支． 素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 问题解决 任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量． 任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 【答案】任务一：每支钢笔9元，每本笔记本6元；任务二：购买钢笔30支，笔记本45本；任务三：有3种方案，分别为：①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用： 任务一：解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，列出方程，即可求解； 任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意，列出方程组，即可求解； 任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本．由题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，得： ，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元） 答：每支钢笔9元，每本笔记本6元； 任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意得： ， 解得：， 答：购买钢笔30支，笔记本45本； 任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本． 由题意得：，整理得：， ∵， ∴或或， ∴有3种方案，分别为： ①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本； ②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本； ③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本 学科网（北京）股份有限公司 $$