专题01 集合与充要条件-【中职专用】2025年中职高考数学二轮专项突破（全国通用）

专题01 集合与充要条件 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合与元素的概念，掌握元素与集合之间的关系及常用数集的字母表示，了解空集、有限集和无限集的含义 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 掌握集合与集合之间的关系 · 熟练掌握集合的运算 考点预测 · 集合的概念 · 集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作________，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作________，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 __________、__________、无序性 集合的表示方法 __________、__________、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类：________、有限集、________ 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（______）、___（有理数集）、R（______）、_____（正整数集） 要点提醒 （1） 空集是有限集，空集是集合，不含任何元素; （2）用描述法表示集合时，在花括号中画一条竖线，竖线的左侧是元素的一般形式，竖线右侧是元素所具备的特征性质。要注意数集和点集的一般形式区别。 （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的__________都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的_________； ②空集是任何集合的 ； ③若A⊆B，B⊆C，则_________. 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的 ，并且集合A中 不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的_________； ②若A⫋B，B⫋C，则_________. 相等 如果两个集合的元素 ，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 要点提醒 （1） 含有n个元素的集合，有_____个子集，_____个真子集，_____个非空子集，_____个非空真子集. （2） 解集合关系的题目要注意空集和两个集合相等的情况. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的交集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∩B=___________； ②A∩A=_______； ③A∩Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∩B=______. 并集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的并集记作 . （1）图示：（2）数学表达式： __________________________ ①A∪B=___________； ②A∪A=_______； ③A∪Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∪B=______; 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∪CUA= ； ②A∩CUA= ； ③CU(CUA)= ； ④CUU= ； ⑤CUØ= ； 要点提醒 （1） 若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解.若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心； （2） 记住一个重要的等价条件 （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 ，那么p是q的充要条件. 要点提醒 判断充分必要的方法除去定义法，还有集合关系法：根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断，抓住“以大推小”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决问题. 考点突破 考点1 元素与集合，集合与集合的关系 【例1】给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】若，则（        ） A． B． C． D． 【突破训练】 1、已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 2、满足的集合A共有 个． 考点2 集合中元素的特征及集合的表示方法 【例1】集合，，若，则的值为__________. 【例2】用列举法表示集合 . 【突破训练】 1、方程的解集为( ) . . . . 2、下列四组集合中表示同一集合的为（       ） A．， B．， C．， D．， 考点3 集合的运算 【例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2】若集合，则满足的集合的个数为____________ 【突破训练】 1、已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 2、已知集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 考点4 集合中含参数的问题 【例1】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】设集合，，若，则 . 【突破训练】 1、集合，，若，则的值为__________. 2、已知集合，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 考点5 充要条件的判定 【例1】设：，：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【突破训练】 1、“”是“”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 2、已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 模拟演练 一、选择题 1、给出下列4个结论： ①任意一个集合都有子集； ②Ø是任何集合的真子集； ③设A是非空集合，则A至少有一个真子集； ④任何一个非空集合与空集的交集都是空集. 其中正确的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、若集合，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3、“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、已知集合 ，，则 （ ） A、 B、 C、 D、 5、已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6、“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7、设集合，，则的真子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 8、设集合，，则（       ） A．⫋ B．⫋ C． D． 9、已知集合，则（ ） A． B． C． D． 10、已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11、若集合，则满足的集合的个数为____________ 12、设且，则“”是“”成立的 条件.（填：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 13、设全集，，，则 . 14、“”是“”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”） 15、已知集合，若集合A的子集有2个，则实数a的值为 ． 四、解答题 16、已知集合，，若，则实数的取值范围是． 17、已知集合， （1）若，求 （2）若，求实数m的取值范围. 18、已知，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 19、已知集合，. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 20、已知 ，． （1），求的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． $$专题01 集合与充要条件 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合与元素的概念，掌握元素与集合之间的关系及常用数集的字母表示，了解空集、有限集和无限集的含义 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 掌握集合与集合之间的关系 · 熟练掌握集合的运算 考点预测 · 集合的概念 · 集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 确定的 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 所有元素 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A ，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A ，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 确定性 、 互异性 、无序性 集合的表示方法 列举法 、 描述法 、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类： 空集 、有限集、 无限集 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N*或N+（正整数集） 要点提醒 （1） 空集是有限集，空集是集合，不含任何元素; （2） 用描述法表示集合时，在花括号中画一条竖线，竖线的左侧是元素的一般形式，竖线右侧是元素所具备的特征性质。要注意数集和点集的一般形式区别。 （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的任一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的 子集 ； ②空集是任何集合的 子集 ； ③若A⊆B，B⊆C，则 A⊆C . 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的 真子集 ； ②若A⫋B，B⫋C，则 A⫋C . 相等 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 要点提醒 （1） 含有n个元素的集合，有 2n 个子集， 2n-1个真子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集. （2） 解集合关系的题目要注意空集和两个集合相等的情况. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的相同元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B. （1）图示： （2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∩B= B∩A ； ②A∩A= A ； ③A∩Ø=Ø； ④如果A⊆B，那么A∩B= A . 并集 由集合A，B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集记作A∪B ． （1）图示：（2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∪B= B∪A ； ②A∪A= A ； ③A∪Ø= A ； ④如果A⊆B，那么A∪B= B . 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 不属于A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA． （1）图示： （2）数学表达式： CUA={x｜x∈U且 x∉A} ①A∪CUA= U ； ②A∩CUA=Ø； ③CU(CUA)= A ； ④CUU=Ø； ⑤CUØ= U ； 要点提醒 （1） 若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解.若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心； （2） 记住一个重要的等价条件 （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果p⇒q ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果q⇒p，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果p⇔q ，那么p是q的充要条件. 要点提醒 判断充分必要的方法除去定义法，还有集合关系法：根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断，抓住“以大推小”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决问题. 考点突破 考点1 元素与集合，集合与集合的关系 【例1】给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为是无理数，所以正确， 因为是有理数，所以不正确， 因为空集是集合，所以与不是属于关系，所以不正确， 因为是负整数，所以正确， 故选：C. 【例2】若，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以，其它选项不正确， 故选：C. 【突破训练】 1、已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 2、满足的集合A共有 个． 【答案】3 【解析】由题设，元素4、5至少有一个属于集合A， ∴时，， 时，， 时，， ∴集合A共有3个， 故答案为：3. 考点2 集合中元素的特征及集合的表示方法 【例1】集合，，若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】因为，所以，显然， 若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，则或（舍去），综上，， 故答案为：0． 【例2】用列举法表示集合 . 【答案】 【解析】因为，，而6的正的约数有1，2，3，6， 所以用列举法表示该集合为：， 故答案为：. 【突破训练】 1、方程的解集为( ) .... 【答案】B 【解析】本题考查集合列举法及集合中元素互异性， 解方程易知一元二次方程有两相等实数根3， 故选：B. 2、下列四组集合中表示同一集合的为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确， 故选：B． 考点3 集合的运算 【例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，则， 故选：B. 【例2】若集合，则满足的集合的个数为____________ 【答案】4 【解析】对于集合，由解得， 又∵，∴ 又∵， ∴满足条件的集合可能为，，，，共个． 故答案为：4 【突破训练】 1、已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意得：，则的子集个数为个， 故选：B. 2、已知集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∵，，∴.∴. 故选：C. 考点4 集合中含参数的问题 【例1】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，，因，所以， 故选：C． 【例2】设集合，，若，则 . 【答案】1 【解析】由，可得； 或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时不满足题意，故， 故答案为：1. 【突破训练】 1、集合，，若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】因为，所以，显然， 若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，则或（舍去），综上，， 故答案为：0． 2、已知集合，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因为，所以，所以或， 当时，即，则，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或，当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意，所以， 故选：D． 考点5 充要条件的判定 【例1】设：，：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由：得， ，，即：， 是成立的充分不必要条件， 故选：A. 【例2】设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设， ∵，则“”是“”的充要条件， 故选：C. 【突破训练】 1、“”是“”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 【答案】B 【解析】由题意，若，必有，故充分性成立； 反之若，比如时，有，故必要性不成立； 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：B. 2、已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由结合函数是上的增函数，可得， 由结合函数是上的减函数，可得， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 模拟演练 一、选择题 1、给出下列4个结论： ①任意一个集合都有子集； ②Ø是任何集合的真子集； ③设A是非空集合，则A至少有一个真子集； ④任何一个非空集合与空集的交集都是空集. 其中正确的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】空集是任何集合的子集，所以①正确； 空集是任何非空集合的真子集，所以②错误，③正确； 由集合的运算可得任何一个非空集合与空集的交集都是空集，所以④正确. 故选：C. 2、若集合，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为方程无实数根，所以， 故选：D. 3、“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若可知，但是时，例如能满足； 所以是充分不必要条件， 故选：A. 4、已知集合 ，，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 故选：A. 5、已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，. 要使，只需，解得：. 故选：A 6、“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由a>0⇒=a，但=|a|=， 故a>0是=a的充分不必要条件. 故选：A. 7、设集合，，则的真子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【解析】由题意得，，， 所以， 所以的真子集共有个， 故选： 8、设集合，，则（       ） A．⫋ B．⫋ C． D． 【答案】A 【解析】，所以， 所以， 所以，所以⫋， 故选：A. 9、已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得， 所以， 故选：C． 10、已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 当时，，即，满足题意； 当时，则或，解得或， 综上，实数a的取值范围为， 故选：D. 二、填空题 11、若集合，则满足的集合的个数为____________ 【答案】4 【解析】对于集合，由解得， 又∵，∴ 又∵， ∴满足条件的集合可能为，，，，共个． 故答案为：4 12、设且，则“”是“”成立的 条件.（填：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充要 【解析】由不等式的性质知，若，且，则成立， 若，且，则成立， 所以设且，则“”是“”成立的充要条件， 故答案为：充要. 13、设全集，，，则 . 【答案】 【解析】因为， 又，，所以， 所以， 故答案为：. 14、“”是“”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】由，可得， 由可推出，而由推不出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 15、已知集合，若集合A的子集有2个，则实数a的值为 ． 【答案】1 【解析】由题意得方程有两相等实数根， 则，解得， 故答案为：1. 四、解答题 16、已知集合，，若，则实数的取值范围是． 【答案】 【解析】 又，解得， 故实数的取值范围是 17、已知集合， （1）若，求 （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）， 若，则， . （2）若，则， 当时，，则； 当时，可得，解得， 综上所述，m的取值范围是． 18、已知，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）当时， ，. ∴ （2）,.且 实数的取值范围是. 19、已知集合，. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由，即，解得， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， （等号不同时取得），解得. （2）由题意可得， 当，即，解得，满足要求； 当，即时，则或，解得， 综上可得． 20、已知 ，． （1），求的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）因为，所以， 又因为，所以， 可知集合为非空集合，所以， 则有： 或，解得： 或， 所以若， 则的取值范围为： （2）由“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，所以由 ， 当时，满足题意， 当时，满足题意， 所以当“”是“”的必要不充分条件时，的取值范围为：． $$