四川省仁寿第一中学校（北校区）2025届高三上学期期中考试数学试题

1 仁寿一中北校区 2025 届高三半期测试数学试题答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求. 1. 已知集合  2, 1,0,1,2,3M    ，  2 1 0N x x   ，则M N  （ B ） A.  2,3 B.  1,2,3 C.  0,1,2,3 D.  2, 1,0,1, 2,3  2. 若 i是虚数单位，复数 2 1 i i    （ B ） A. 1 3 2 2 i B. 1 3 2 2 i C. 3 3 2 2 i D. 3 3 2 2 i 3．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 0e KD DI I  表示其总衰减规律，其 中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度， DI （单位：坎德拉）和 0I （单位：坎德拉）分别表示在 深度D处和海面的光强．已知某海域 6 米深处的光强是海面光强的 40%，则该海域消光系数K的值约为 （ C ）（参考数据： ln 2 0.7 ， ln 5 1.6 ） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 4. 若向量    2,1 , 3,4a b   ，则向量 a在向量b  上的投影向量为（ A ） A. 6 8, 5 5       B. 3 4, 5 5       C. 3 4, 5 5      D. 4 5 2 5, 5 5        5. 已知圆锥的母线长为 13，侧面积为65π，则该圆锥的内切球的表面积为（ C ） A. 100π 9 B. 4000π 81 C. 400π 9 D. 1000π 81 6. 在直角坐标系 xOy中，已知直线 1y kx  与圆 2 2 4x y  相交于 ,A B两点，则 AOBV 的面积的最大值 为（ D ） A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 3 7. 在 ABCV 中，已知 3, 1, 60BC AC ACB     ，点D是BC的中点，点E是线段AD上一点，且 1 3 AE AD ， 连接 CE并延长交边 AB于点 P，则线段 CP的长度为（ B ） A. 7 5 B. 37 5 C. 6 5 D. 35 5 【详解】 1 1 1 1 1 3 3 2 2 6 6 AE AD AB AC AP AC               , 2 因为点 , ,P E C三点共线，所以 1 1 6 6    ，得 5  ， 5AB AP   ， 4 1 5 5 CP CA CB     ，两边平方 2 2 216 1 8 25 25 25 CP CA CB CA CB         ， 16 9 8 1 741 3 25 25 25 2 50        ，所以 37 5 CP  . 8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点 E，H，G在 水平线 AC上，DE和 FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和 EH 都称为“表目距”，若 8DE FG  ， 30EG  ， 16EH  ， 26GC  ，则海岛的高为（ C ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.比亚迪将在 2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还 将发布1000V高压Sic平台，实现充电5 8 分钟续航 500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每 辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的 8台新能源电车进行续航系数测评，得 到下列一组样本数据：1,2,3,4,1,5,1,2，则（ AD ） A.这组数据的众数为 1 B.这组数据的极差为 3 C.这组数据的平均数为 2.5 D.这组数据的 40%分位数为 2 10. 已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，点 ,M N 分别是棱 1 1 1,CC C D 的中点，则（ ABD ） A. 直线MN与直线 1AD 的夹角为60o B. 直线MN与平面 1 1AB D 所成角的正弦值为 6 3 C. 点A到平面 1B MN 的距离为 6 3 D. 三棱锥 1 1C BMN 的外接球的半径为 6 2 11. 如图，由函数 e e 1xy    与  ln e 1y x   的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（ ACD ） A. Γ有对称轴 B. Γ的弦长的最大值为 2 2 C. 直线 x y t  被Γ截得弦长的最大值为  2 e 2 D. Γ的面积大于 2e 4 【答案】ACD【详解】由  e e 1 e e 1, ln e 1x xy y x y           ， e e 1xy    的反函数为  ln e 1y x   ，两者关于 y x 对称，故 A正确. e e 1 e e 1 x xy x y x          ，令    e e 1, e 1x xh x x h x      ℎ � 在  ,0 上单调递减； 0, + ∞ 上单调递增，注意到      12 0, 1 2 e 0 1 0 e h h h        ，  h x 在  2, 1  和有一个零点 0x ， 另一个零点为    0 01, 1,1 , ,A B x y ，  02 1 2 2AB x    ，故 B错误. x y t  与曲线Γ对称轴 AB 垂直，如图，只需考察曲线 e e 1xy    上 P到 y x 距离大最大值即可，找出过 P与曲线相切且与 AB平 行的点 0P 即可，令   e e 1xf x    ，令   e 1 0xf x x    ，此时  0 00,2 e ,P P 到 y x 的距离 e 2 2 d  ，直线 x y t  被Γ截得弦长最大值为  2 e 2 ，故C正确. 4         0Γ 0 12 2 e 2 e 2 1 2 e 2 2P AB A B S S x x x           ， 02 1x   （ ，故 D正确. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形面积，通常将三角形分成两个底位于坐标轴上的小三角形，如本 题中 0 0 0 0 1 2P AB P OB P OA A B S S S OP x x       . 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 62x x      展开式中的常数项为______．160 13. 记 nS 为等差数列 na 的前 n项和．已知 1 3 4 10a a a    ，则 nS 的最小值为________． 30 14. 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1: 2，其内切球的半径为 1，则该正四棱台的体积为 ______. 28 3 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为 2x，则下底面边长为 4x， 则 , 2CM CF x BM BE x    ， 1 1, 2 2 CIM MIF BIM MIE      , 故 1 ( ) 90 2 CIB CIM BIM MIE MIF        ,在Rt CIB 中， IM CB ,则由射影定理， 2IM CM BM  得 22 1x  ，解得 2 2 x  ，于是棱台的上底面面积为 2(2 ) 2x  ，下底面面积为 2(4 ) 8x  ， 高为 2，故该正四棱台的体积为： 1 282 (2 2 8 8) 3 3 V        .故答案为： 28 3 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， 1 3PA AB BC PC   ， ． (1)求证：BC 平面 PAB；(2)求二面角 A PC B  的大小． 5 【解析】（1）因为 PA 平面 ,ABC BC 平面 ABC，所以 PA BC ，同理PA AB ， 所以 PAB 为直角三角形，又因为 2 2 2PB PA AB   ， 1, 3BC PC  ， 所以 2 2 2PB BC PC  ，则 PBC 为直角三角形，故 BC PB ，又因为BC PA ， PA PB P ， 所以BC 平面 PAB . （2）由（1）BC 平面 PAB，又 AB 平面 PAB，则 BC AB ， 以A为原点， AB为 x轴，过A且与 BC平行的直线为 y轴， AP为 z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 (0, 0, 0), (0, 0,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)A P C B ，所以 (0,0,1), (1,1,0), (0,1,0), (1,1, 1)AP AC BC PC         ， 设平面 PAC的法向量为  1 1 1, ,m x y z  ，则 0 0 m AP m AC         ，即 1 1 1 0, 0, z x y     令 1 1x  ，则 1 1y   ，所以 (1, 1,0)m    ， 设平面 PBC的法向量为  2 2 2, ,xn y z  ，则 0 0 n BC n PC         ，即 2 2 2 2 0 0 y x y z      ， 令 2 1x  ，则 2 1z  ，所以 (1,0,1)n   ，所以 1 1cos , 22 2 m nm n m n           ， 又因为二面角 A PC B  为锐二面角，所以二面角 A PC B  的大小为 π 3 . 16. 在 ABCV 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且    sin 2 cos sinab ac C c b A c A   ． （1）求 A的大小； （2）若 ABCV 的外接圆半径为 4，且 3cos cos 8 B C   ，求 ABCV 的面积． 【小问 1详解】    sin 2 cos sinab ac C c b A c A   根据正弦定理的变形公式可得    2 cosab ac c c b A c a   ， 6 因为 0ac  ，所以 2 cosb c b A c   ，即 2 cosb b A ， 因为 0b  ，所以1 2cos A ，则 1cos 2 A  ，即 π 3 A  ； 【小问 2详解】因为 π 3 A  ，所以 2π 3 B C  ， 则   1cos 2 B C   ，即 1cos cos sin sin 2 B C B C   ， 又 3cos cos 8 B C   ，所以 1sin sin 8 B C  ，因为 ABCV 的外接圆半径为 4R  ， 所以由正弦定理可得 2 1sin sin 2 2 4 8 b c bcB C R R R     ， 所以 8bc  ，所以 1 1 3sin 8 2 3 2 2 2ABC S bc A    △ . 17．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投 篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5． (1)求第 2次投篮的人是乙的概率； (2)求第 i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量 iX 服从两点分布，且    1 1 0 , 1,2, ,i i iP X P X q i n         ，则 1 1 n n i i i i E X q           ．记 前 n次（即从第 1次到第 n次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求  E Y ． 【解析】（1）记“第 i次投篮的人是甲”为事件 iA，“第 i次投篮的人是乙”为事件 iB， 所以，              2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1| |P B P AB P B B P A P B A P B P B B     0.5 1 0.6 0.5 0.8 0.6      . （2）设  i iP A p ，依题可知，   1i iP B p  ，则              1 1 1 1 1| |i i i i i i i i i i iP A P A A P B A P A P A A P B P A B        ， 即    1 0.6 1 0.8 1 0.4 0.2i i i ip p p p        ，构造等比数列 ip  ， 设  1 2 5i i p p     ，解得 1 3    ，则 1 1 2 1 3 5 3i i p p        ， 又 1 1 1 1 1, 2 3 6 p p   ，所以 1 3i p     是首项为 1 6 ，公比为 2 5 的等比数列， 即 1 11 1 2 1 2 1, 3 6 5 6 5 3 i i i ip p                   ． 7 （3）因为 11 2 1 6 5 3 i ip         ， 1,2, ,i n   ，所以当 *Nn 时，   1 2 21 1 5 25 126 3 18 5 31 5 n n n n nE Y p p p                         ，故 5 2( ) 1 18 5 3 n nE Y            ． 18.已知 ( 1,0)A  ， (1,0)B ，平面上有动点 P，且直线 AP的斜率与直线 BP的斜率之积为 1. （Ⅰ） 求动点 P的轨迹的方程. （Ⅱ）过点 A的直线与交于点M （M 在第一象限），过点 B的直线与交于点 N（ N在第三象限）， 记直线 AM ， BN 的斜率分别为 1k ， 2k ，且 1 24k k .试判断 AMN△ 与 BMN△ 的面积之比是否为定值，若 为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． （Ⅰ）解：设  ,P x y ， 2 2 11 1 1AP BP y y yk k x x x         ， 故求动点P的轨迹方程.为 2 2 1x y  ． ( 1)x   ..................5分 （Ⅱ） 1AM BMk k  ， 4AM BNk k ，即 1 4BN BM k k  ， ......7分 设直线MN 的方程为 x my t  ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， (1,0)B ， ( 1,0)A  ， 联立 2 2 1 x my t x y      ，得  2 2 21 2 1 0m y mty t     ， 2 1m  ， 0  ， ..................10分 且 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 mty y m ty y m           ..................11分 ∴     2 1 1 2 2 1 1 2 4 1 1 1 1 1BN BM y y y yk k x x my t my t            ， .................13分 代入可得∴ 3 5 t   ， ..................14分 ∴直线MN 方程为 3 5 x my  ，即直线MN 过定点 3T( ,0) 5  ..................15分 此时 1 | | | | 2AMN M N S AT y y   ， 1 | | | | 2BMN M N S BT y y    ∴ | | 1 | | 4 AMN BMN S AT S BT    ． ..................17分 19. 对于一个给定的数列  na ，令 1n n nb a a   ，则数列  nb 称为数列  na 的一阶和数列，再令 1n n nc b b   ，则数列 nc 是数列 na 的二阶和数列，以此类推，可得数列 na 的 p阶和数列. 8 （1）若 na 的二阶和数列是等比数列，且 1 0a  ， 2 1a  ， 3 0a  ， 4 3a  ，求 7a ； （2）若 na n ，求 na 的二阶和数列的前 n项和； （3）若 na 是首项为 1的等差数列， nb 是 na 的一阶和数列，且 1 13 2k ka b  ， 1 2 1000ka a a    ，求正整数 k的最大值，以及 k取最大值时 na 的公差. 【答案】（1）12（2） 22 6n n （3）k的最大值是 1999，此时公差为 1 1999  【小问 1详解】由题意，得 1 1 2 1b a a   ， 2 2 3 1b a a   ， 3 3 4 3b a a   ， 所以 1 1 2 2c b b   ， 2 2 3 4c b b   ，因为 nc 是等比数列，所以公比为 2 1 2c c  ，由此得 3 8c  ， 4 16c  ， 5 32c  ，所以 4 3 3 8 3 5b c b     ， 5 4 4 16 5 11b c b     ， 6 5 5 32 11 21b c b     ， 所以 5 4 4 5 3 2a b a     ， 6 5 5 11 2 9a b a     ， 7 6 6 21 9 12a b a     . 【小问 2详解】设 na 的二阶和数列的前 n项和为 nS ， 由题意，得 1 1 2 1n n nb a a n n n       ，  1 2 1 2 1 1 4 4n n nc b b n n n         ， 所以   2 1 2 8 4 4 8 12 4 4 2 6 2n n n n S c c c n n n                . 【小问 3详解】因为 1 13 2k ka b ≤ ，所以  1 12k k ka a a  ≤ ，解得 1 1 2 k k a a ≤ . 设数列 na 的公差为 d，则     1 1 2 1 1 2 k d k d     ≤ ，得 1 1d k  ≥ ≥ ， 又因为 1 2 1000ka a a    ， 所以     1 1 1 1000 2 2 k k k k ka d k d          1 1 1 2 2 k k kk k          ≥ ，得 1999k  ， 所以 k的最大值是 1999，此时公差为   2000 2 1 1 1999 kd k k      . 仁寿一中北校区2025届高三半期测试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 3．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：，） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 4. 若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布高压平台，实现充电分钟续航500公里．已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据：，则（ ） A.这组数据的众数为1 B.这组数据的极差为3 C.这组数据的平均数为2.5 D.这组数据的分位数为2 10. 已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ） A. 直线与直线的夹角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的半径为 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 13. 记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为________． 14. 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小． 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小；（2）若外接圆半径为4，且，求的面积． 17．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则． 记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 18.已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1， （Ⅰ）求动点的轨迹的方程. （Ⅱ）过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 19．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前n项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$