精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级第一次质量调研检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年巴黎奥运会完美闭幕，以下四个奥运项目图标分别表示艺术体操、游泳、羽毛球、乒乓球，请你找出符合轴对称的图标（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，老师在讲解三角形时，用手掌遮住了一个三角形的一部分，已知三角形的一边长为9，则另两边的长不可能的是（ ） A. 4，5 B. 3，9 C. 5，6 D. 7，7 6. 若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 小李家有一个六边形置物架已经变形，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固木条数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由的取值而定 9. 如图，是等边三角形，点是边上的一个点，点关于边，的对称点分别为，，连接，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 12. 如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是________． 13. 如图，已知，，，则________． 14. 若的积中不含的一次项，则________． 15. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为________． 16. 已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号) 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，于点，于点，求证：． 20. 在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点的坐标为． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； （2）直接写出三点的坐标： ． （3）若在轴上有一点，使得的值最小，请画出点的位置． 21. 如图，在中，是边上的高，，， （1）若是的角平分线，求的度数； （2）若是的中线，的周长比的周长大1且，，求的长度． 22. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 23. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： （1）观察图2，写出图2中所表示的等式 ； （2）已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； （3）如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 24. 如图，在中，将的边绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图①，若为直角三角形，以直角顶点为原点，直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，已知点，，且，则 ，点坐标为 ； （2）如图②，若为等腰三角形，，，连接，请用含的式子表示的面积； （3）在（1）的条件下，点沿着轴负方向运动至点，求点运动路径的长度． 25. 【特例探究】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明想到了其中一种解题思路是：延长到，使，连接，先证明，再证明．即可得出结论：．小明在证明时用到的全等判定定理是 ；在证明时用到的全等判定定理是 ． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形中，已知，，，且，，求的长． 【实践运用】 （3）2024年10月13日，中国人民解放军东部战区组织四大军种在台湾岛四周开展“联合利剑—”军演，以震慑“台独”分裂势力谋“独”行径．如图③，在这次军事演习中，西宁舰在台湾岛（处）北偏西的处，无锡舰在台湾岛南偏东的处，并且两舰艇到台湾岛的距离相等，接到行动指令后，西宁舰向正东方向以80海里/小时的速度前进，4小时后，无锡舰沿南偏西的方向以80海里/小时的速度前进，再过1小时后，西宁舰、无锡舰分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为 海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次质量调研检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年巴黎奥运会完美闭幕，以下四个奥运项目图标分别表示艺术体操、游泳、羽毛球、乒乓球，请你找出符合轴对称的图标（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键根据运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，符合题意；        B．，故原计算不正确，不符合题意；        C．与不是同类项，不能合并，故原计算不正确，不符合题意；    D．，故原计算不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边AC上的高，如图： 故选D． 4. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意． C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 如图，老师在讲解三角形时，用手掌遮住了一个三角形的一部分，已知三角形的一边长为9，则另两边的长不可能的是（ ） A. 4，5 B. 3，9 C. 5，6 D. 7，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：由三角形的一边长为9， A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故符合题意； B、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意； C、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意； D、，符合三角形三边关系，能构成三角形，故不符合题意； 故选：A． 6. 若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 7. 小李家有一个六边形置物架已经变形，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固木条数量为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性以及多边形对角线分三角形的个数问题：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了． 三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解；依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固木条数量为条． 故选：B． 8. 若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，是等边三角形，点是边上的一个点，点关于边，的对称点分别为，，连接，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定，关键是根据轴对称的性质得出解答．连接，根据轴对称的性质得出，进而利用等边三角形的内角解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， 由轴对称可知，， ， ， 故选：B． 10. 圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的圆周率所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 12. 如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 13. 如图，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的性质及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，，推出，进而求出，由三角形内角和定理结合平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 14. 若的积中不含的一次项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，据此先得到展开式，结合“不含的一次项”，得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 因为的展开式中不含的一次项， 所以， 则， 故答案为：． 15. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出垂直且平分是解题的关键．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴， 故答案为：10． 16. 已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】易证△ABD≌△EBC,可得可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得，即，根据可求得④正确. 【详解】①BD为△ABC的角平分线, 在△ABD和△EBC中，， △ABD≌△EBC， ①正确； ②BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， △ABD≌△EBC， ②正确； ③∵ ∴ 为等腰三角形， ∵△ABD≌△EBC， ∵BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC， ③错误；④正确. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键. 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用，积的乘方的逆运算，零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值．主要考查完全平方公式，平方差公式和单项式除单项式，能分别计算是解题关键． 先分别利用完全平方公式、平方差公式和单项式除单项式计算后合并同类项，再将x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，，，于点，于点，求证：． 【答案】 证明:∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴在和中，， ． ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的判定，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明，得到，即可得出结论． 【详解】略 20. 在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点的坐标为． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； （2）直接写出三点的坐标： ． （3）若在轴上有一点，使得的值最小，请画出点的位置． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2），， （3）如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）如图，连接交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，，，． 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，是边上的高，，， （1）若是的角平分线，求的度数； （2）若是的中线，的周长比的周长大1且，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，三角形内角和为． （1）先根据三角形内角和得到，由角平分线的定义求出，再根据，求出，即可求解； （2）由中线得，再由的周长比的周长大1，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的高， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵已知的周长比的周长大1，即， ∴， ∵， ∴； ∵，，，，， ∴， 即， ∴． 22. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， 又， ∴， ∴． 23. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： （1）观察图2，写出图2中所表示的等式 ； （2）已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； （3）如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）由图形面积很容易得出； （2）直接套用（1）中结论即可得解； （3）由图形可发现，再将边长代入，然后利用完全平方公式变形即可得解． 【小问1详解】 解：由图形可得等式：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，，，且， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 解： ， ∵，， ∴． 24. 如图，在中，将的边绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图①，若为直角三角形，以直角顶点为原点，直角边，所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，已知点，，且，则 ，点坐标为 ； （2）如图②，若为等腰三角形，，，连接，请用含的式子表示的面积； （3）在（1）的条件下，点沿着轴负方向运动至点，求点运动路径的长度． 【答案】（1）； （2） （3）点运动路径的长度为6 【解析】 【分析】（1）由非负性可求a，b的值，可得，由“”可证，可得，即可求解； （2）过点作于点，延长，过点作于点，由“”可证，可得，由三角形的面积公式可求解； （3）在上任取点，连接，过点作，且，连接，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点A，点B都在y轴和x轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图①，过点C作于H， ∵将的边绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴为的中线， ∵， ∴， 延长，过点作于点， ∴， 根据旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在上任取点，连接，过点作，且，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径为平行轴的一条线段， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 【特例探究】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明想到了其中一种解题思路是：延长到，使，连接，先证明，再证明．即可得出结论：．小明在证明时用到的全等判定定理是 ；在证明时用到的全等判定定理是 ． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形中，已知，，，且，，求的长． 【实践运用】 （3）2024年10月13日，中国人民解放军东部战区组织四大军种在台湾岛四周开展“联合利剑—”军演，以震慑“台独”分裂势力谋“独”行径．如图③，在这次军事演习中，西宁舰在台湾岛（处）北偏西的处，无锡舰在台湾岛南偏东的处，并且两舰艇到台湾岛的距离相等，接到行动指令后，西宁舰向正东方向以80海里/小时的速度前进，4小时后，无锡舰沿南偏西的方向以80海里/小时的速度前进，再过1小时后，西宁舰、无锡舰分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为 海里． 【答案】（1）；；（2）；（3）320 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到M，使，连接，求证，即可推出的数量关系，进而得出答案； （2）延长到点G，使，连接可证得，得出，再证得，即可求得答案； （3）在上截取，连接，可证得，得出，再证得，即可求得答案． 【详解】解：（1）延长到M，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；． （2）如图2，延长到点G，使，连接 ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图③，在上截取，连接， 由题意得，（海里），（海里）， ， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴（海里）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $