专题04 数列（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题04 数列 一、题型归纳 二、经典基础题 题型一：数列的概念 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】B 【详解】数列可以表示为，，，，，…，则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项.故选：B. 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】运用裂项相消法求解即可.因为，所以.故答案为：. 3（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】结合题意：由，可得，，，，所以数列是周期为3的周期数列，因为，所以.故选：B. 4．（23-24高二上·广西贵港市·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，，取倒数得：，则是以为首项，为公差的等差数列． 所以，所以；由于，故．故选：C. 5．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列满足，，则 （    ） A． B．2 C．12 D．33 【答案】A 【详解】由递推公式代入计算可得；可得数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A. 题型二：等差数列和等比数列 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等比数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】等比数列中，，解得.故选：A. 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】在等差数列中，，所以，所以公差.故选：A. 3．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（    ） A．48 B．56 C．81 D．100 【答案】C 【详解】设数列首项和公差分别为和，，，.故选C. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）在等比数列中，，，则 . 【答案】2 【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，因为，所以，解得，所以.故答案为：2. 5．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 【答案】ACD 【详解】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD 6．（23-24高二上·广西三新联考·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【详解】由题意，，设公比为q，，.故选:D. 7（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 【答案】D 【详解】易知，为等比数列，，代入数据可得，解得或（舍）所以.故选D. 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，，则 【答案】BC 【详解】对于A，，，，所以，，因为，不符合上式，所以，不是等差数列，A错误； 对于B，，，，，，因为，符合上式，所以，是等比数列，B正确； 对于C，是等差数列，有，故C正确； 对于D，，，， 所以，D错误. 故选：BC 9．（23-24高二上·广西贵港市·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 . 【答案】24 【详解】由题可知，则，这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，解得，则，故，若是等差中项，则，解得，则.故.故答案为：24 10．（23-24高二上·广西南宁市·期末）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ． 【答案】1296 【详解】依题意，故当时，，当时，， 两式相减可得，，则，因为当时，也满足，所以，，故；因为，，是等比数列的前三项，所以，则，化简得，，解得或（舍去）,所以，，所以等比数列的公比，通项公式，故.故答案为：1296 题型三：数列的函数特征 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 【答案】BCD 【详解】因为，当时，，当时，，满足，故数列的通项公式为，易得，故数列为首项，公差的等差数列. 对于选项A,B:因为公差，所以数列是递减数列,且数列有最大项，无最小项，故选项A错误，选项B正确；对于选项C:因为，所以因为数列是递减数列，故当时，，故选项C正确；对于选项D: 由，,结合二次函数知识可知,当或时，取得最大值,故选项D正确.故选：BCD. 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】由数列的前项和为，当时，，又由，适合上式，所以数列的通项公式为， 对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，当时，，所以C正确； 对于D中，因为的对称轴为，开口向下，又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意数列是等差数列，设公差为，若，得，， ，所以选项A正确；， 如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误；，得，所以选项C正确；，所以选项D错误.故选：AC. 三、优选能力题 题型一：数列实际应用 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故答案为： 2．（23-24高二上·广西贵港市·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.设最小的正三角形的边长为米，则，则，即，得，故最小的正三角形的边长为米.故选：B. 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列，可得， 所以，则.故选：C. 题型二：解答题 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 若选择条件①，由题可得，解得， 若选择条件②，由题可得，解得， . （2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有，则， 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）在等比数列中.(1)已知，，求前4项和；(2)已知公比，前6项和，求. 【详解】（1）设公比为q，由，，得，所以， 所以；（2）由得，. 3．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和. 【详解】（1）∵，∴，，解得，∴； （2）由题可知，∴， ∴， 4．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，当时，由，得， 则，因为，所以； （2）由（1）可知，，则， 则，则 ， 所以． 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，.(1)求数列，的通项公式；(2)已知数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①， 由可得：，即②， 联立①②解得：或，因，故， 于是，. （2）由（1）得：，，则， 故 . 6．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）结合题意：当时，，解得， 当时，可得，两式相减可得， 即，整理得， 所以数列是以首项，公比为的等比数列. 所以，故的通项公式为. （2）结合（1）问可知，所以， 所以，即, 所以， 由可得，即， 所以，整理得：. 故数列的前项和. 7．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.(1)求出的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 【详解】（1）∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴， ∴当时，， 即，∴，∴. 又也满足上式，∴数列的通项公式为； （2）由（1），可得， ∴①，②， 由①-②，得， ∴， ∴不等式可化为，即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为.又，所以， 综上，λ的取值范围是. 8．（23-24高二上·广西玉林市·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为，且数列为“数列”，所以， 即，所以是以首项为，公差的等差数列，所以； （2）由数列是“（2）数列”，得，所以， 即，，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故. 假设存在正整数，使得，则， 由，可知，所以， 又因为为正整数，所以，又， 所以.，， .故存在满足条件的正整数，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列 一、题型归纳 二、经典基础题 题型一：数列的概念 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）数列的前项和为，若，则 . 3（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高二上·广西贵港市·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列满足，，则 （    ） A． B．2 C．12 D．33 题型二：等差数列和等比数列 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等比数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（    ） A．48 B．56 C．81 D．100 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）在等比数列中，，，则 . 5．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 6．（23-24高二上·广西三新联考·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 7（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，，则 9．（23-24高二上·广西贵港市·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 . 10．（23-24高二上·广西南宁市·期末）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ． 题型三：数列的函数特征 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 3．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 三、优选能力题 题型一：数列实际应用 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 2．（23-24高二上·广西贵港市·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 题型二：解答题 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）在等比数列中.(1)已知，，求前4项和；(2)已知公比，前6项和，求. 3．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和. 4．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，.(1)求数列，的通项公式；(2)已知数列满足，求数列的前项和. 6．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 7．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且.(1)求出的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 8．（23-24高二上·广西玉林市·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$