专题05 几何图形初步（考题猜想，易错必刷23题8种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版2024）

专题05 几何图形初步（易错必刷23题8种题型专项训练） 目录 【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题） 1 【题型二】线段上动点求定值问题（共4题） 3 【题型三】线段上动点求时间问题（共3题） 9 【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题） 13 【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题） 16 【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题） 24 【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题） 29 【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题） 35 【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题） 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【题型二】线段上动点求定值问题（共4题） 3．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 5．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 6．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【题型三】线段上动点求时间问题（共3题） 7．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 8．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，直线上有A，B，，四个点，，，．    (1)线段 ______ (2)动点P，Q分别从A点，点同时出发，点P沿线段以/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点Q沿线段以/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒） ①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值； ②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离． 9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动． 设点的运动时间为秒． (1)线段的长为______． (2)当点与点相遇时，求的值． (3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题） 10．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止． ①当t为何值时，P、Q重合？ ②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 11．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题） 12．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 13．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）将一副三角板（含有角的直角三角板和含有角的直角三角板）按如图﹣1摆放在直线上，平分，平分．    (1)求的度数； (2)如图﹣2，将三角板绕着点B以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，平分． ①在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； ②在旋转过程中，是否存在某个时刻，与中，其中一个角是另一个角的两倍？若存在，求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 14．（23-24七年级上·广西百色·期末）【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． 【动手操作】 （1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______； 【类比操作】 （2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； （3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数． 15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 16．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，；三角尺中，，分别作的平分线．试求出的度数．为了便于同学们探究，特别进行了以下活动： [初步探究] 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）图2中的度数为________，图3中的度数为________． [深入探究] （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为__________．如果设，请求出图1中的度数．    【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题） 17．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 18．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题） 19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 20．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 21．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． (2)若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题） 22．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 23．（22-23七年级上·四川成都·期末）定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）． (1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值； (2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值． $$专题05 几何图形初步（易错必刷23题8种题型专项训练） 目录 【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题） 1 【题型二】线段上动点求定值问题（共4题） 3 【题型三】线段上动点求时间问题（共3题） 9 【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题） 13 【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题） 16 【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题） 24 【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题） 29 【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题） 35 【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题） 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型二】线段上动点求定值问题（共4题） 3．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 5．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 6．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用代数式表示式，线段的和差以及线段中点的有关计算，根据情况分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8； （2）由（1）分析可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，； （3）设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 【题型三】线段上动点求时间问题（共3题） 7．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并建立方程是解题的关键． （1）利用，结合已知条件计算线段的长度，根据中点的定义计算线段的长度，再利用计算线段的长； （2）①点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，分别列方程求解即可； ②分四种情况：动点相遇前，动点第一次相遇后反向运动，动点第一次相遇后同向运动，动点第二次相遇后同向运动，分别根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①由题意可知，，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时， 当点向左运动时，．解得． 当点向右运动时，．解得． 答：当或时，点与点重合． ②当动点没有相遇时，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得； 当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得． 综上所述，满足条件的有：或或或． 8．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，直线上有A，B，，四个点，，，．    (1)线段 ______ (2)动点P，Q分别从A点，点同时出发，点P沿线段以/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点Q沿线段以/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒） ①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值； ②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离． 【答案】(1) (2)8、20 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】（1）先根据题意算出，再根据即可解答，掌握线段的和差倍分是解题的关键； （2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是的长列方程求解即可；②根据P，Q两点第二次相遇时，P 点所走的路程与的差以及Q所走的路程与的差相等列方程即可求解；根据线段的和差列出方程是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴． 故线段的长为． （2）解：①P，Q两点第一次相遇时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为t， 根据题意可知：P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是，即，解得： 秒 故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒； ②P，Q两点第二次相遇时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为t， 由（1）得 , 根据题意可知：P，Q两点第二次相遇时，P 点所走的路程与的差以及Q所走的路程与的差相等，即：，解得： 秒, ∴, ∴． 故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是． 9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动． 设点的运动时间为秒． (1)线段的长为______． (2)当点与点相遇时，求的值． (3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (4) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】（1）根据即可求解； （2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 故答案为：． （2）解：依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （4）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题） 10．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止． ①当t为何值时，P、Q重合？ ②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 【答案】(1)中点是这条线段“巧点”． (2)①时，P、Q重合；②或，Q为“巧点” 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的实际应用． （1）根据中点平分线段，得到，即可得出结论； （2）①根据两点的路程和为15，列出方程进行求解即可； ②分为的中点，和，三种情况进行讨论求解即可． 掌握“巧点”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）因为点C是线段的中点， 所以， 所以中点是这条线段“巧点”． （2）①由题意，得：， 解得：； ②当为中点（）时，， ；（运动终止） 当时，， ； 当时，， （舍去） 综上所述：或，Q为 “巧点”． 11．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题） 12．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的计算和角平分线的定义等内容，熟练掌握角的和差计算方式是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再用即可得解； （2）已知，要求，可以先求，利用已知条件很容易求出，再用即可得解． 【详解】（1）是的角平分线，， ， ． （2）不变，理由如下， ，， ， ，， ，， ， ． 13．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）将一副三角板（含有角的直角三角板和含有角的直角三角板）按如图﹣1摆放在直线上，平分，平分．    (1)求的度数； (2)如图﹣2，将三角板绕着点B以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，平分． ①在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； ②在旋转过程中，是否存在某个时刻，与中，其中一个角是另一个角的两倍？若存在，求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①不发生改变，  ②t的值为或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键． （1）利用角平分线定义得到，，然后根据解题即可； （2）①根据角平分线的定义得到，，然后利用计算解题； ②表示出和的度数，然后分和两种情况列方程解题即可． 【详解】（1）解：如图，，， 则，， 又∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）①解：不发生改变，理由为 在旋转过程中，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②解：存在， 在运动过程中，在的左侧， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，则)， 解得：； 当时，则， 解得：； 综上所述：t的值为或． 14．（23-24七年级上·广西百色·期末）【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． 【动手操作】 （1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______； 【类比操作】 （2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； （3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量． （1）根据余角进行计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，即可得到结论； （3）设，则，求出，即可计算得到结论． 【详解】解：（1），， ； （2），平分， ， ， ； （3）设，则， ， ， ， ， ．    15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 16．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，；三角尺中，，分别作的平分线．试求出的度数．为了便于同学们探究，特别进行了以下活动： [初步探究] 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）图2中的度数为________，图3中的度数为________． [深入探究] （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为__________．如果设，请求出图1中的度数．    【答案】（1）；（2）， 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，旨在考查学生的举一反三能力，掌握各角度之间的和差关系是解题关键． （1）图2中：根据、即可求解；图3中：根据、即可求解；（2）图1中可得，，根据即可求解； 【详解】解：（1）图2中：∵是的平分线，, ∴ ∴； 图3中：, ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴； 故答案为：； （2）图1中：, ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴． 【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题） 17．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 18．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题） 19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 20．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含， ，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）． (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t= 时，边平分； (2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转． ①当t为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21 (2)①；②存在，或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查三角板有关的角度计算，一元一次方程与几何动点问题； （1）画出边平分时图形，根据角度关系求解即可． （2）①画出边平分时图形，根据角度关系求解即可；②画出时图形，根据角度关系求解即可，注意分类讨论． 【详解】（1）如图， ∵平分，， ∴, ∴边旋转的度数为， 解得， 故答案为：； （2）①如图， ∵平分，， ∴, 由题意可得，，， ∵， ∴， 解得； ②时，，， 如图，，相遇之前，，相遇之前，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 如图，，相遇之前，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 如图，，相遇之后，，相遇之后，此时， 此时，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，在旋转过程中，存在某一时刻使，或 21．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． (2)若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 【答案】(1) (2)①存在，的值为或或；②的值为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查平角的定义、角平分线的定义、一元一次方程的应用；学会用分类讨论的思想是解决本题的关键； （1）根据平角的定义及得，再根据平分即可得； （2）①分三种情况讨论：平分时，；平分时，；平分时，；每种情况分别列出关于t的方程求解即可；②根据题意用分别表示出和，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 因为， 所以，， 因为平分，所以， 所以， 故答案为∶； （2）①存在； 理由如下：当平分时，，即，解得， 当平分时，，即，解得， 当平分时，，即．解得， 综上所述，的值为或或； ②因为，， 所以， 所以的值为． 【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题） 22．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 23．（22-23七年级上·四川成都·期末）定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）． (1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值； (2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)存在，4或8 (3)5或7 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据半径是扇形的“弧中线”列方程求解即可； （2）分当时和当时两种情况求解； （3）分当，时和当时三种情况求解； 【详解】（1）当是扇形的“弧中线”时，． ∴． 解得． （2）存在，理由如下： ①如图，当时． ． ∵， ∴． ∴． 解得． ②如图，当时， ，． ∵， ∴． ∴． 解得． ∴当或8时，半径是扇形的“弧中线”． （3）如图，当时， 由题意得，，， ∴． ∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴（不合题意，舍去）． 如图，当时， 由题意得，，， ∴． ∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 如图，当时， 由题意得，，， ∴． ∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 综上可知，当时，t的值为5或7． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． $$