专题03 整式及其加减（考题猜想，易错必刷35题6种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版2024）

专题03 整式及其加减（易错必刷35题7种题型专项训练） 目录 【题型一】已知字母的值，求代数式的值（共5 题） 1 【题型二】已知式子的值，求代数式的值（共5 题） 3 【题型三】整式加减中的无关型问题（共5 题） 6 【题型四】整式的加减运算与应用（共5 题） 10 【题型五】与单项式有关的规律探究问题（共5 题） 16 【题型六】与图形有关的规律探究问题（共5 题） 18 【题型七】与数字有关的规律探究问题（共5 题） 24 【题型一】已知字母的值，求代数式的值（共5 题） 1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）若与是同类项，则 ． 2．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）已知，则的值为 ． 3．（22-23七年级上·重庆·期末）当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）当时，代数式的值为2024，当时，代数式的值为 ． 5．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）若都是有理数，且，则的值是 ． 【题型二】已知式子的值，求代数式的值（共5 题） 6．（23-24七年级上·湖北随州·期末）若，则 ． 7．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则 ． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则代数式的值是 ． 9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【题型三】整式加减中的无关型问题（共5 题） 11．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知多项式． (1)当时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 12．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知． (1)计算； (2)若的值与的取值无关，求的值． 13．（23-24七年级上·广东潮州·期末）已知：，； (1)若，求的值；的值． (2)当a取任何数值，的值是一个定值时，求b的值． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 15．（24-25七年级上·全国·期末）（1）若多项式的值与的取值无关，求的值； （2）如图1的小长方形，长为，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出的值． 【题型四】整式的加减运算与应用（共5 题） 16．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 17．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 18．（23-24七年级下·广西贺州·期末）如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 19．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了锻炼同学们的动手操作能力，李老师要求同学们做了两种型号长方体纸盒，尺寸（单位：厘米）如下： 长 宽 高 甲型纸盒 a c 乙型纸盒 (1)做两种型号纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ (2)已知都为正整数），萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，求此时共用料最少为多少平方厘米？ 20．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中1，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，面积分别为． (1)若，，，求长方形的面积； (2)若长方形的周长为18，长方形的周长为15，能求出中的哪些值？ (3)若，， ，求（结果用含，，的代数式表示）． 【题型五】与单项式有关的规律探究问题（共5 题） 21．（23-24七年级上·云南文山·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是 ． 22．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 23．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 24．（23-24七年级上·江西抚州·期末）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第2024个单项式是 ． 25．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【题型六】与图形有关的规律探究问题（共5 题） 26．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： (1)当有5张桌子时，可以坐 人； (2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 27．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 28．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 29．（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 30．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 【题型七】与数字有关的规律探究问题（共5 题） 31．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 32．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 33．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 34．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 35．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． $$专题03 整式及其加减（易错必刷35题7种题型专项训练） 目录 【题型一】已知字母的值，求代数式的值（共5 题） 1 【题型二】已知式子的值，求代数式的值（共5 题） 3 【题型三】整式加减中的无关型问题（共5 题） 6 【题型四】整式的加减运算与应用（共5 题） 10 【题型五】与单项式有关的规律探究问题（共5 题） 16 【题型六】与图形有关的规律探究问题（共5 题） 18 【题型七】与数字有关的规律探究问题（共5 题） 24 【题型一】已知字母的值，求代数式的值（共5 题） 1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）若与是同类项，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的知识，以及代数式求值，掌握同类项中的两个相同是关键，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出、的值，代入可得出答案． 【详解】解：与是同类项， ，， ， 故答案为：． 2．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，理解绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出、的值是解决问题的关键．根据偶次方，绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，而，， ，， 解得，， ， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·重庆·期末）当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体思想求解代数式的值是解题的关键． 把代入整式可得，然后把代入整式得，再把整体代入即可． 【详解】解：把代入整式可得， ， ∴把代入整式可得：； 故答案为：10． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）当时，代数式的值为2024，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体思想求值即可． 【详解】∵当时，代数式的值为2024， ∴ ∴， ∴当时，代数式， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）若都是有理数，且，则的值是 ． 【答案】3或/或3 【知识点】化简绝对值、有理数加法运算、有理数的除法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义，有理数的除法法则，分类讨论是解题的关键．由变形可得：，从而原式可化为：；再由可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， ∵， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式， 当y为负时，原式， 当z为负时，原式， 故答案为：3或． 【题型二】已知式子的值，求代数式的值（共5 题） 6．（23-24七年级上·湖北随州·期末）若，则 ． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的值．正确变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 7．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据已知，将所求代数式恒等变形，得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法，整体代入是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】2038 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，将代数式化为，再将代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：2038． 9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、合并同类项 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 【题型三】整式加减中的无关型问题（共5 题） 11．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知多项式． (1)当时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了代数式求值、整式的加减运算及整式加减运算中的无关型问题： （1）根据整式的加减运算法则得，再将代入原式即可求解； （2）由（1）得，根据的值与的值无关可得，进而可求解； 熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 把代入原式得：． （2）由（1）得：， 的值与的值无关， ， 解得：． 12．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知． (1)计算； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将A，B代入，然后去括号合并同类项可得的最简结果； （2）根据的值与y的取值无关得到，即可得出答案． 【详解】（1） ． （2）， 因为的值与的取值无关， 所以， 解得． 13．（23-24七年级上·广东潮州·期末）已知：，； (1)若，求的值；的值． (2)当a取任何数值，的值是一个定值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、绝对值非负性 【分析】本题主要考查整式的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则等知识． （1）利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，再去括号、合并同类项化简，最后计算即可； （2）根据，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ，，， ，， ，， 原式； （2）解： ， 当时，无论取何值，的值总是一个定值1． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减于化简求值； （1）根据去括号，合并同类项进行计算即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算，即可求解； （3）根据题意，（1）中代数式的系数为，得出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． （2）当，时，原式． （3）原式， 因为的取值与无关，所以， 所以． 15．（24-25七年级上·全国·期末）（1）若多项式的值与的取值无关，求的值； （2）如图1的小长方形，长为，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】（1）    （2） 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查合并同类项，代数式求值，关键是掌握合并同类项的法则． （1）把多项式合并同类项得，由题意得到，进而可求出的值； （2）设，进而得到，，根据的值始终保持不变来求解． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）设， 由题意得：，， ∴ ∵的值始终保持不变，， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【题型四】整式的加减运算与应用（共5 题） 16．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 17．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)窗户的面积是，窗户的外框的总长是： 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）窗户的面积等于四个小正方形的面积与半圆的面积之和即可得； （2）大正方形的的三条边长加上圆的周长的一半即可得； （3）把代入（1）（2）中所列代数式求值即可． 本题考查了整式加法的应用及化简求值，熟练掌握正方形与圆的周长和面积公式是解题关键． 【详解】（1）窗户的面积是：； （2）窗户的外框的总长是：； （3）当时，窗户的面积是： 窗户的外框的总长是：． 18．（23-24七年级下·广西贺州·期末）如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)平方米 (3)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）将代入（1）中的结果进行求解即可； （3）用单价乘以总面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：； （2）解：当时：， 故该走道的总面积为：平方米； （3）解：（元）． 19．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了锻炼同学们的动手操作能力，李老师要求同学们做了两种型号长方体纸盒，尺寸（单位：厘米）如下： 长 宽 高 甲型纸盒 a c 乙型纸盒 (1)做两种型号纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ (2)已知都为正整数），萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，求此时共用料最少为多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，长方体的表面积，整式的加减运算． （1）根据长方体表面积公式列式计算即可； （2）根据题意得到，计算得到，再由都为正整数），求出可能的情况，比较即可． 【详解】（1）解：甲型纸盒用料：． 乙型纸盒用料：． 两个纸盒共用料： ； （2）解：根据题意，得， 解得． ， ． 都为正整数， 当时，． 此时共用料 当时，． 此时共用料 萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，此时共用料最少为． 20．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中1，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，面积分别为． (1)若，，，求长方形的面积； (2)若长方形的周长为18，长方形的周长为15，能求出中的哪些值？ (3)若，， ，求（结果用含，，的代数式表示）． 【答案】(1)长方形的面积为24； (2)能求出的值； (3)． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查根据长方形和正方形的边长，表示周长和面积，解题的关键是代数式的变换和代入．根据三个边长，，的正方形，分别表示四个长方形的长和宽，进而表示出四个长方形的周长和面积，进而作答． （1）根据题意分别列出长方形的长和长方形的宽，将，，代入即可求出； （2）用含，，的式子表示出长方形的周长和长方形的周长，得出，，代入即可； （3）由题意得出，，，将其代入即可． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， 将，，代入得 面积为： ， ∴长方形的面积为24； （2）长方形的周长为18， 即， ①， 同理，长方形的周长为15， 即， ②， 得， 如图，， ， ， ， ∴能求出的值； （3）， ， ， ， ， ． 【题型五】与单项式有关的规律探究问题（共5 题） 21．（23-24七年级上·云南文山·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案． 【详解】解：，，，， 单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数， 第个代数式是：． 故答案为： 22．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 【答案】/ 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．根据每个单项式的系数为分数，且分数的分子与单项式的个数相同，分母多1；再根据每个单项式的字母为a，且指数是1，2，3重复出现；最后再根据一正一负的规律写出答案． 【详解】解：， ， ， ∴第2024个单项式为， 故答案为：． 23．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律题，分别找到单项式的系数和字母指数的变化规律求解即可． 【详解】解：观察所给前几个单项式的系数和指数，发现第n个单项式的系数为，字母指数为n， ∴这列单项式中的第9个为， 故答案为：． 24．（23-24七年级上·江西抚州·期末）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 第个单项式为： ； 故答案：． 25．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、单项式规律题 【分析】本题考查了单项式，数字的变化规律；判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 【题型六】与图形有关的规律探究问题（共5 题） 26．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： (1)当有5张桌子时，可以坐 人； (2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 【答案】(1)14 (2)需要23张餐桌 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律性问题，总结规律即可得出答案． （1）总人数等于桌子的数量乘2再加4人，从而得出5张桌子的人数； （2）根据第（1）小题得出的规律，从而计算出50人用的桌子的数量． 【详解】（1）解：由图可得1张桌子时，有把椅子； 2张桌子时，有把椅子； 3张桌子时，有把椅子； 4张桌子时，有把椅子； ∴5张桌子时，有把椅子； 故答案为：14 （2）由（1）可得出n张桌子时，有把椅子． 当， 解得：， 某班恰好有50人，需要23张餐桌． 27．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 28．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 29．（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 30．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）分析所给的等式，不难得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：第3个等式为：， 故答案为：； （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ， 第个等式：， 故答案为：； （3）草垛的最底端有2024支小正方形草束， ． 【题型七】与数字有关的规律探究问题（共5 题） 31．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，数字规律的运用， （1）根据材料提示的运算法则，数字规律，代入计算即可； （2）根据上述运算，总结规律即可． 【详解】（1）解：第①个等式，， 第②个等式，， 第③个等式，， 第④个等式，， ∴第⑩个等式，， ∴第⑩个等式，； （2）解：根据（1）中的计算可得，第个等式为：， 检验：等式左边 右边， ∴第个等式是． 32．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 33．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 34．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、数字类规律探索 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 35．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】此题主要考查等式的规律探索，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． （1）设，则，根据即可求出结果； （2）设，将等式两边同时乘以2，得，将以上两式相减得：，即可得出； （3）设，将等式两边同时乘以5得出，将以上两式相减得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得：， ∴； （2）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得： ， 即， ∴； （3）解：设， 将等式两边同时乘以5，得： ， 将以上两式相减，得： ， 则， 即， ∴． $$