专题02 一次函数（考题猜想，易错必刷40题8种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题02 一次函数（易错必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型一】利用一次函数的定义求参数（共5题） 1 【题型二】根据一次函数的图象和性质求参数（共5题） 3 【题型三】含参数的一次函数的图象和性质（共5题） 5 【题型四】一次函数图象的共存问题（共5题） 10 【题型五】利用一次函数的性质解决分配方案问题（共5题） 15 【题型六】利用一函数的性质解决最大利润问题（共5题） 21 【题型七】利用一次函数的性质解决行程问题（共5题） 28 【题型八】利用一次函数的性质解决几何问题（共5题） 34 【题型一】利用一次函数的定义求参数（共5题） 1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知是y关于x的一次函数，则 ． 5．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【题型二】根据一次函数的图象和性质求参数（共5题） 6．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 7．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 10．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【题型三】含参数的一次函数的图象和性质（共5题） 11．（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 12．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 14．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（m、n为常数，且）的图象经过点，且与y轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（    ） A．该一次函数的图象不经过第三象限 B．该一次函数的图象与轴交于正半轴 C．图象与坐标轴围成的三角形面积可能为3 D．随的增大而减小 15．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）． 【题型四】一次函数图象的共存问题（共5题） 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C．D． 19．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型五】利用一次函数的性质解决分配方案问题（共5题） 21．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 22．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 23．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 24．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 25．（23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【题型六】利用一函数的性质解决最大利润问题（共5题） 26．（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 27．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 28．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 29．（23-24八年级下·全国·期末）某商场计划一次性购进A、B两种型号的电脑共120台，每台的销售利润分别为A型100元、B型150元．其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这120台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商场购进A 型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大? (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商场最多购进A型电脑70台，若商场保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息设计出使这120台电脑销售总利润最大的进货方案． 30．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【题型七】利用一次函数的性质解决行程问题（共5题） 31．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 32．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 33．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 34．（23-24八年级下·河南信阳·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)说出图中函数的图象交点表示的实际意义； (2)求关于的函数解析式； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择______品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”） 35．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； (2)求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【题型八】利用一次函数的性质解决几何问题（共5题） 36．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 37．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 38．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 39．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D、E，直线：分别交x轴、y轴于点C、． (1)求点A的坐标和的面积． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M、N．若，求m的值． 40．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． $$专题02 一次函数（易错必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型一】利用一次函数的定义求参数（共5题） 1 【题型二】根据一次函数的图象和性质求参数（共5题） 3 【题型三】含参数的一次函数的图象和性质（共5题） 5 【题型四】一次函数图象的共存问题（共5题） 10 【题型五】利用一次函数的性质解决分配方案问题（共5题） 15 【题型六】利用一函数的性质解决最大利润问题（共5题） 21 【题型七】利用一次函数的性质解决行程问题（共5题） 28 【题型八】利用一次函数的性质解决几何问题（共5题） 34 【题型一】利用一次函数的定义求参数（共5题） 1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数，一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知是y关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如为常数）的函数为一次函数． 根据定义得： 且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数 ∴且 解得且 ∴． 故答案为： 5．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的性质．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 【题型二】根据一次函数的图象和性质求参数（共5题） 6．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 7．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题． 根据一次函数的性质，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 10．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【答案】（或） 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 【题型三】含参数的一次函数的图象和性质（共5题） 11．（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 13．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 14．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（m、n为常数，且）的图象经过点，且与y轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（    ） A．该一次函数的图象不经过第三象限 B．该一次函数的图象与轴交于正半轴 C．图象与坐标轴围成的三角形面积可能为3 D．随的增大而减小 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 先求出一次函数的解析式，然后再运用一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数（m、n为常数，且）的图象经过点，且与y轴的交点坐标为， ∴，解得：， ∴函数解析式为：， A.由，则该一次函数的图象不经过第三象限，故A选项正确，不符合题意； B. 由，则该一次函数的图象不经过第二、一、四象限，即该一次函数的图象与轴交于正半轴，故B选项正确，不符合题意； C.由，则与x轴、y轴的交点坐标为，，所以图象与坐标轴围成的三角形面积，故C选项不正确，符合题意； D. 由，则随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 15．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【知识点】比较一次函数值的大小、根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系——判断即可. 【详解】解：当时, ∴图象过定点, 故①正确, ∵一次函数 图象与函数 的图象平行， ， ，故②正确， ， ∴随的增大而减小， ， 故③错误， ∵函数图象与轴的交点在正半轴， 令，则 或， 或，故④正确， 故答案为：①②④. 【题型四】一次函数图象的共存问题（共5题） 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据判定正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据一次函数，得到与y轴交点为，与x轴的交点为，结合，判断即交点位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 19．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 20．（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数图像的知识，解题的关键在根据一次函数的图像得出和的符号． 根据k和b的符号分情况讨论直线和经过的象限，据此即可得出答案． 【详解】解：①当，时，直线：在第一、三、四象限，直线：在第一、二、三象限； ②当，时，直线：在第一、二、三象限，直线：在第一、二、四象限； ③当，时，直线：在第二、三、四象限，直线：在第二、三、四象限； ④当，时，直线：在第一、二、四象限，直线：在第一、三、四象限； 综上所述，D选项符合③． 故选：D 【题型五】利用一次函数的性质解决分配方案问题（共5题） 21．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 22．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元 (2)，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 23．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人 (2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题． （1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人； （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 24．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 25．（23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键， （1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围； （2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 由题意得：， 即与的函数解析式为：， 由题意得：，解得：， 即自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数） ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最小， 最低为（元）， 答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元． 【题型六】利用一函数的性质解决最大利润问题（共5题） 26．（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【答案】(1)购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元 (2)有四种购买方案 (3)购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；若购买种树苗5棵，种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据“种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得； （3）设种植工钱为，得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元； （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：， 故有四种购买方案； （3）解：设种植工钱为，由已知得：， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为2500元； 故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元． 27．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)260 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）解：设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 28．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支 (2)文具店共有3种进货方案 (3)当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，依题意得：，据此即可求解； （2）设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支，依题意得：，据此即可求解； （3）根据获利即可求解； 【详解】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支， 依题意，得：， 解得. 答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支. （2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支， 依题意得：， 解得：. ∵为整数， ∴a可被2整除， ∴ ∴文具店共有3种进货方案. （3）解：获利， ∵随着的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为元. 此时 ∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 29．（23-24八年级下·全国·期末）某商场计划一次性购进A、B两种型号的电脑共120台，每台的销售利润分别为A型100元、B型150元．其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这120台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商场购进A 型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大? (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商场最多购进A型电脑70台，若商场保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息设计出使这120台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1) (2)购进A型电脑40台、B型电脑80台 (3)详见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据题意，再由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，求出x的取值范围； （2）根据（1）中的函数判断函数的增减性和x的取值范围，即可解答； （3）根据题意得，分三种情况讨论，①当时，y随x的增大而减小；②当时，，；③当时，，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 由， 解得， y关于x的函数关系式为； （2）由（1）知y随x的增大而减小， 当时，y有最大值，则， 该商场购进A型电脑40台、B型电脑80台，才能使销售总利润最大； （3）根据题意得， 即， ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y取最大值，此时， 当时，商场购进40台A型电脑和80台B型电脑时销售利润最大， ②当时，，， 当时，商场购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当时，，y随x的增大而增大， 当时，y取得最大值，此时， 当时，商场购进70台A型电脑和50台 B型电脑时销售利润最大． 30．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 (2)①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 【题型七】利用一次函数的性质解决行程问题（共5题） 31．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 【答案】(1)； (2)小时 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∵图象经过、两点， ∴， 解得， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米． 32．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从函数图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明家离体育场的距离为，跑步的平均速度为：； 故答案为：； （2）当时，设， 把代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （3）当时，； 当时，，解得：； 答：当小明离家时，他离开家所用的时间为或． 33．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【答案】(1)； (2)3小时 (3)或4 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 34．（23-24八年级下·河南信阳·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)说出图中函数的图象交点表示的实际意义； (2)求关于的函数解析式； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择______品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”） 【答案】(1)点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样 (2)，， (3)B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质与运用，理解图象，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据图示信息，一次函数交点的意义即可求解； （2）根据题意，可得点，，运用待定系数法即可求解； （3）先计算出所需的时间，把时间代入（2）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样； （2）解：根据题意，，， 设， ∴， 解得，， ∴， 设， 当时，， 当时，， 解得，，则， ∴； （3）解：， ∴， 当选择A品牌时，（元）； 当选择B品牌时， ∵， ∴（元）； ∵， ∴选择B品牌共享电动车更省钱， 故答案为：B． 35．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； (2)求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【答案】(1)甲船的速度为，，两港之间的路程为 (2) (3)乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要漏解． （1）从图中可以计算出结论即可； （2）设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行解答即可． 【详解】（1）从图中可以得出甲船的速度为：， ，两港之间的路程为， 故答案为：120； （2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为：， ， 设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为， ，解得：， 甲船从港到港的过程中与的函数关系式为； （3）乙船的速度为：， 设乙船行驶小时两船相距的路程为15千米， 甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 综上所述，乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 【题型八】利用一次函数的性质解决几何问题（共5题） 36．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值是2或6 【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，在网格中表示出，代值求解即可得到答案； （3）设点的纵坐标为，由题中，先求出、，得到面积，从而得到，解出，由点在直线上，点的横坐标为，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，，即； （2）解：点在直线上，点的横坐标为， 当时，， 由（1）知， ∴； （3）解：设点的纵坐标为， 直线与轴、轴交于点， 、， ∵， ∴， ∴，， 点在直线上，点的横坐标为， 当时，，； 当时，，； 综上满足条件的的值是2或6． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、已知自变量求函数值、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 37．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 【答案】(1)，的解析式为： (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、坐标与图形 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，求一次函数解析式，坐标与图形． （1）将代入，即可求出n的值，在利用待定系数法即可求出的解析式； （2）根据题意得，，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， ， 将，代入，则， 解得：， 的解析式为：； （2）解：∵点为直线上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∵轴，在直线上， ∴， ∵， ∴ 解得：或． 38．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 39．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D、E，直线：分别交x轴、y轴于点C、． (1)求点A的坐标和的面积． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M、N．若，求m的值． 【答案】(1)，的面积是 (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、绝对值方程 【分析】本题考查一次函数的几何应用，一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据点在直线上，求出直线的解析式，联立和即可求出点；求出，，，再根据即可求解； （2）根据点在线段上，点在直线上，即可得出，根据的取值范围即可求出最大值； （3）根据点，得出，，根据，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的解析式， 联立和可得，解得：， 故点； 在：中，令，则，故， 令，则，故， 在直线：中，令，则，故， ∴； （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ， ， ， ∴当时，有最大值， （3）解：∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 40．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、一次函数与特殊三角形问题，掌握待定系数法以及分类讨论的数学思想是解题关键． （1）设直线的解析式为，由A、D即可求解；由可得，设直线的解析式为：，将点A代入即可求解； （2）由（1）可求点，由题意设点P；根据题意可求得，即可求解； （3）分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ ∴ ∴设直线的解析式为：， 将点A代入可得：， 解得： ∴直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：中可得： ∴点 由题意设点P ∵轴， ∴ ∵点E在上， ∴ 解得： ∴ （3）解：时， 则， 解得： ∴ 时， 则 解得： ∴ ∴ 时， 则 ∵轴， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述：或或 $$