专题01 平面直角坐标系（考题猜想，易错必刷26题5种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题01 平面直角坐标系（易错必刷26题5种题型专项训练） 目录 【题型一】平面直角坐标系中点的特征（共5题） 1 【题型二】平面直角坐标系中的新定义型问题（共5题） 6 【题型三】平面直角坐标系中的动点面积问题（共5题） 12 【题型四】平面直角坐标系中点的规律探究问题（共6题） 25 【题型五】平面直角坐标系中的平移综合问题（共5题） 30 【题型一】平面直角坐标系中点的特征（共5题） 1．（23-24七年级下·吉林·期末）已知点．分别根据下列条件．求点P的坐标． (1)点P在x轴上，求P点坐标； (2)点Q的坐标是，且轴，求P点坐标． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为． (1)当时，　　； (2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求的值及点的坐标； (2)若点到轴的距离是，直接写出点的坐标． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)试根据下列条件分别求出点的坐标： ①点在轴上； ②点到轴的距离为3． (2)点的横坐标不大于纵坐标，求出满足条件的正整数． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______； (2)若，且轴，则点的坐标为______； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【题型二】平面直角坐标系中的新定义型问题（共5题） 6．（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 7．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 8．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 9．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． (1)如果线段与轴有公共点，求的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； (3)若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 10．（23-24七年级下·广西河池·期末）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【题型三】平面直角坐标系中的动点面积问题（共5题） 11．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 12．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 13．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段，连接，得到长方形，点M是边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，当点P不与点C重合时，连接，设三角形的面积为S，点P运动的时间为(秒)． (1)点M的坐标为______，点D的坐标为______． (2)当时，求点P的坐标； (3)用含t的式子表示三角形的面积S； (4)当三角形PMC的面积恰好为长方形的面积的时，直接写出t的值． 14．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 15．（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 【题型四】平面直角坐标系中点的规律探究问题（共6题） 16．（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“浙开线”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·湖北随州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ． 19．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 20．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． (1)依次写出的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 21．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【题型五】平面直角坐标系中的平移综合问题（共5题） 22．（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1) ______；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 23．（23-24七年级下·天津南开·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 24．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接． (1)求的值． (2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明． (3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 25．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，已知，将线段向上平移4个单位，再向左平移，使点A的对应点在轴上．    (1)直接写出和点B的对应点的坐标　　　； (2)若将四边形向下平移2个单位，、、、对应点分别为E、F、G、H，又知图中阴影部分的面积是，求与轴的交点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，是否存在一点P，使的面积与四边形的面积相等?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 26．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； (3)在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． $$专题01 平面直角坐标系（易错必刷26题5种题型专项训练） 目录 【题型一】平面直角坐标系中点的特征（共5题） 1 【题型二】平面直角坐标系中的新定义型问题（共5题） 6 【题型三】平面直角坐标系中的动点面积问题（共5题） 12 【题型四】平面直角坐标系中点的规律探究问题（共6题） 25 【题型五】平面直角坐标系中的平移综合问题（共5题） 30 【题型一】平面直角坐标系中点的特征（共5题） 1．（23-24七年级下·吉林·期末）已知点．分别根据下列条件．求点P的坐标． (1)点P在x轴上，求P点坐标； (2)点Q的坐标是，且轴，求P点坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标性质，掌握点在x轴上纵坐标为0，及平行坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）利用点在x轴上纵坐标为0，即可求出答案． （2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等即可得出答案． 【详解】（1）解：在x轴上， ， ． ， ． （2），Q的坐标是， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为． (1)当时，　　； (2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键； （1）由可求P点坐标，从而可得，，代入计算即可求解； （2）由平面直角坐标系的性质可得，，根据点P在第一象限，进而计算求解即可； 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴． 故答案为：5． （2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ，， ∵， ∴． ∵点P在第一象限， ∴ 当时，，解得， ∴． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求的值及点的坐标； (2)若点到轴的距离是，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平面坐标系内的点，掌握平面坐标系内点的特点是解题的关键． （1）根据点在轴上，可得，求出值，即可求解； （2）根据点到轴的距离是，可得，求出值，即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标是； （2）点到轴的距离是， ，即或， 解得：或， 或， 点的坐标是或． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)试根据下列条件分别求出点的坐标： ①点在轴上； ②点到轴的距离为3． (2)点的横坐标不大于纵坐标，求出满足条件的正整数． 【答案】(1)①；②或 (2)1，2，3，4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键， （1）①根据x轴上点的纵坐标为列方程求出的值，再求解即可； ②根据到y轴的距离等于，列方程求出的值，再求解即可； （2）根据横坐标比纵坐标大，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①点在轴上，， ， 解得：． ， 点的坐标为：． ②点到轴的距离为3，， ， 解得：或． 当时，，， 当时，， 点的坐标为：或． （2）由题意可得： 解得，． 取正整数 可取1，2，3，4． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______； (2)若，且轴，则点的坐标为______； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解此题的关键． （1）由点的坐标特点可知，点在轴上，即点P的纵坐标为0，即可求出a值，然后代入可求出点点P的横坐标． （2）根据轴，可得出点P的横坐标等于点Q的横坐标，即可求出a的值，进一步即可求出点P的纵坐标． （3）根据题意得出，求出a的值，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得： ∴， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （3）∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴， 解得：， 把代入． 【题型二】平面直角坐标系中的新定义型问题（共5题） 6．（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【答案】(1)点Q的坐标为 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可； （2）根据新定义列出式子，求出的值，即可求出． 【详解】（1）解：由定义可知： ∴点Q的坐标为 （2） 解得 ∴ 7．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)点M在第一象限 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算 【分析】（1）由，可得，，解得，，，由，满足，进而可知点是“直线点”； （2）由是“直线点”，可知，，解得，，，由，可得，解得，，即，然后判断点M所在的象限即可． 【详解】（1）解：点是“直线点”，理由如下： ∵， ∴，， 解得，，， ∵， ∴点是“直线点”； （2）解：∵是“直线点”， ∴，， 解得，，， ∵， ∴， 解得，， ∴，即点M在第一象限． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． 8．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 【知识点】加减消元法、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的方程组的解为， 关于，的方程组的“梦想点”为． 将代入得：， 解得：， 的值为，的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 9．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点作直线平行于轴． (1)如果线段与轴有公共点，求的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出的值； (3)若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点_____（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点、点、点分别对应点、点、点，点F刚好落在直线上，点E落在轴上且纵坐标为，如果的面积为4，过点A作直线平行于轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)①是；②不是，理由见解析． 【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了坐标与图形变化（平移），三角形的面积，“密接点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解． （1）根据线段与轴有公共点，得到点B在轴下方，点C在轴上方，据此列不等式求解即可； （2）根据线段通过平移能够与线段重合，得到，据此列式求解即可； （3）①根据“密接点”的定义求解；②根据平移变换的定值分别求出的值，可得结论． 【详解】（1）解：如果线段与轴有公共点，则点B在轴下方， ∴， 点C在轴上方， ∴，即， ∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即， 解得； （3）解：①∵点到直线的距离为 ∴点是直线的“密接点” 故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下： ∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为1， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 由题意可得：，解得， 点的纵坐标为： ∵的面积为， ∴ 解得或 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 10．（23-24七年级下·广西河池·期末）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【答案】(1)不是 (2) (3)点坐标为 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、坐标与图形 【分析】本题考查坐标与图形，掌握“恒等点”的定义是解题的关键． （1）根据“恒等点”的定义进行判断即可； （2）根据“恒等点”的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据“恒等点”的定义，求出的值，设，则，根据列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点不是“恒等点”； （2）过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点是“恒等点” ，解得 ； （3）点是“恒等点”，是正数 解得 点的坐标为 设，则 ， 解得 点坐标为 【题型三】平面直角坐标系中的动点面积问题（共5题） 11．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 12．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 13．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段，连接，得到长方形，点M是边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，当点P不与点C重合时，连接，设三角形的面积为S，点P运动的时间为(秒)． (1)点M的坐标为______，点D的坐标为______． (2)当时，求点P的坐标； (3)用含t的式子表示三角形的面积S； (4)当三角形PMC的面积恰好为长方形的面积的时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3)当时，；当时， (4)或10 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的几何应用，三角形面积的计算，分类讨论是解答本题的关键． （1）根据题意可得，根据点M是边的中点，即可得出结果； （2）根据可判断出点运动到的位置，，从而得出结果； （3）当点P在线段上时，和点P在上时，两种情况下列方程即可得到结论； （4）当点P在线段上时，，当点P在线段上时，，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段， ， 点M是边的中点， ， ，， 故答案为：，； （2），当时，点运动到的位置，， ， ， 故点P的坐标为； （3）在长方形中， ， ， ∵点M是边的中点， ， ， 当点P位于上时，， ， ，， ， 当点P位于上时，， ， ， ， 综上所述：当时，；当时，； （4）当点P在线段上时，， ， 解得：； 当点P在线段上时，， ， 解得：， 综上所述，当的面积恰好为长方形的面积的一时，t的值为或10． 14．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 【答案】(1)5，4，3 (2)点的坐标为或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了算术平方根的的非负性及面积的计算，熟练掌握分割面积求点的坐标是关键． （1）根据非负数的性质进行解答即可； （2）根据三角形的面积等于3，得，求解即可； （3）由（1）可知，，过点作轴，轴，根据，平分四边形的面积，可求得点E的坐标，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ，，， 故答案为：5，4，3． （2）由（1）可知，，    ∵三角形的面积等于3， ∴，则 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）由（1）可知，， 过点作轴，轴，则，，，， 则，， ∴ ，    ∵平分四边形的面积， ∴，即：， ∴，即：， ∵点为中点， ∴点的坐标为：， 即：点的坐标为． 15．（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示） (2)当时，三角形的面积为 ； (3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示） (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)2； (3)； (4) 【知识点】列代数式、坐标与图形 【分析】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． （1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）分为，和时，点P的位置计算即可； （4）根据可得点P在上，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点是的中点， ∴， 又∵是正方形，且点B在第一象限， ∴点B的坐标为； 点在线段上时，； 故答案为：，； （2）当时，点在线段上， ∴； （3）解：当时，点P在上， ； 当时，点P在上， ； 当时，点P在上，， ； 综上所述，； （4）解：∵， ∴点P在上，即，解得． 【题型四】平面直角坐标系中点的规律探究问题（共6题） 16．（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 17．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧．继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“浙开线”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现规律：点的横坐标分别为；点的纵坐标分别为：；根据这一规律即可得出点的坐标．本题考查了点的坐标规律．解题的关键是罗列出部分点的坐标找出规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键． 【详解】解：依题意，观察， ∴点的横坐标分别为； 点的纵坐标分别为：； ∵， ∴的坐标为， 故选：． 18．（23-24七年级下·湖北随州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ． 【答案】 且 【知识点】点坐标规律探索、求不等式组的解集 【分析】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可；再写出点的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可． 【详解】因为的坐标为，依题意可得，，，，…， 依此类推，每4个点为一个循环节依次循环． 因为余1， 所以点的坐标与的坐标相同，即为； 点的坐标为， ，，，，…， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 对于任意的正整数，点均在轴上方， ，， 解得，． 故答案为：；且． 19．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 20．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． (1)依次写出的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 【答案】(1)分别为1，，，3，3， (2)1 (3)1002 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可； （2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可； （3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果． 【详解】（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出： 、、、、、的值分别为：1，，，3，3，； （2）； ； ； （3）； ； ． 21．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 【题型五】平面直角坐标系中的平移综合问题（共5题） 22．（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1) ______；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【答案】(1)1， (2) (3)； (4) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程． （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为，可求出根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B， 点，即， 将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C， 点，即， 故答案为：； （3）解：设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴． （4）解：, 理由：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·天津南开·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)理由见解析． 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标、利用算术平方根的非负性解题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案； （2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可； （3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案． 【详解】（1）解： 又 解得： ∴； （2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G， ， ， ， 即， 解得： ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点 ∵点在线段上，其对应点为， ； （3）解：理由如下： 如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M， 设， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ． 24．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接． (1)求的值． (2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明． (3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析 (3)存在， 【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、平移的性质、坐标与图形等知识． （1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得； （2）过点P作，利用平行线的性质得到，则，即可得到答案； （3）求出点的坐标分、，则，，得到点R的坐标为，点S的坐标为，，四边形是平行四边形，则，作于点H，则，当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2），理由如下： 如图所示，过点P作， ∵ 则， ∴， ∴， ∴； （3）存在，点Q的坐标为，理由如下： 由（1）可知，点的坐标分、． ∴， ∵线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到， ∴点R的坐标为，点S的坐标为，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点H，则 ∵点Q是线段上的动点， ∴当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即， 此时，即的最大值为， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积最大值为， 此时点Q的坐标为； 25．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，已知，将线段向上平移4个单位，再向左平移，使点A的对应点在轴上．    (1)直接写出和点B的对应点的坐标　　　； (2)若将四边形向下平移2个单位，、、、对应点分别为E、F、G、H，又知图中阴影部分的面积是，求与轴的交点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，是否存在一点P，使的面积与四边形的面积相等?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M坐标为 (3)或 【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标 【分析】此题考查了坐标与图形，平移的性质，图形面积的计算方法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由线段向上平移4个单位，再向左平移，使点A的对应点在轴上，即可求解； （2）设点M坐标为，则，再由将四边形向下平移2个单位，、、、对应点分别为E、F、G、H，可得，，再由阴影部分的面积是，可得，再求解即可； （3）由（2）可得：四边形OHGM的面积为，从而得出的面积为，列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：线段向上平移4个单位，再向左平移，使点A的对应点在轴上， ， 故答案为：； （2）解：设点M坐标为，则， 将四边形向下平移2个单位，、、、对应点分别为E、F、G、H， ，， 阴影部分的面积是， ， 解得：， 点M坐标为； （3）解：由（2）可得：四边形的面积为， 的面积为， ， 解得：， 或． 26．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； (3)在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合． （1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标； （2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系； （3）由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设点， 由于平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， 所以点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，点D的坐标为， 由于，则， 解得：， 则点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由平移性质知：， ， ，， ； ， ， 即； （3）解：由（1）知，； ， ； ①当点P在x轴上方时，如图1， 由于， 解得：， ； ②当点P在x轴下方时，如图2， 由于， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． $$