4.3.2等比数列前n项的和公式应用第2课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和 公式应用 第2课时 1 展示学习目标 1.掌握等比数列前n 项和公式在几何中的应用.(重点) 2.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题.(难点) 3.能够利用递推公式解决一些实际问题.(难点) 环节一 复习提问，巩固旧知 上节课我们学习了等比数列前n项公式的应用，你能写出公式并说明需要注意的地方？ 环节二 例题练习，熟练应用 例10 如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 追问：从第一个正方形开始，后面的一个正方形和前一个正方形的面积存在怎样的关系？如何用数学符号表示你发现的这个关系？ 追问：第（1）小题求10个正方形面积之和，相当于一个什么样的数学问题？ 环节二 例题练习，熟练应用 例10 如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 追问3 如何理解，如果这个作图过程可以一直继续下去？请同学们给出第二问的解答。 (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和而== 随着的无限增大, 将趋近于0,将趋近于 50.所以,所有这些正方 形的面积之和将趋近于50. 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 环节二 例题练习，熟练应用 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 解：假设从今年起每年生活垃圾的总量{}，每年环保方式处理垃圾量{}， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ，则 =20, =6+1.5 = = 环节二 例题练习，熟练应用 = () 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式 处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 环节二 例题练习，熟练应用 变式 求下列数列的前n项和公式 追问：这个数列是等差数列还是等比数列？你能写出通项公式吗？ 追问：这个数列如何求前n项的和公式？ 环节二 例题练习，熟练应用 例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中, 为常数； （3）求=的值（精确到1）. 分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 环节二 例题练习，熟练应用 追问1 根据递推公式，能否直接算出（3）的结果？ 追问2 参照例11及其变式探究中处理“陌生”数列的一般思路，如何把 转化为我们熟悉的数列而继续研究呢？ 环节二 例题练习，熟练应用 根据（2）的结果，你该如何求出数列 的前n项的和？ 环节二 例题练习，熟练应用 环节三 课堂小结，反思升华 问题2 回顾本堂课的学习内容，回答下列问题： （1）用等比数列前n项解决实际问题时，基本方法是什么？ （2）在探究既不是等比数列也不是等差数列求和过程中，蕴含着前n项解决实际问题时，基本方法是什么？ 环节四 目标检测，检验效果 法1 环节四 目标检测，检验效果 环节四 目标检测，检验效果 环节四 作业布置，迁移应用 感谢聆听，再见！ (2) 将cn+1-k= r(cn-k)化为 ：cn+1=rcn-rk + k ② 比较①②的系数可得: 所以(1)中的递推公式可以化为: cn+1-1250=1.08( cn-1250) 解: (1)由题意, 得c1=1200, 并且 cn＋1＝1.08cn-100. ① 则 (c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+ … +(c10-1250) ∴ S10 = c1+c2+c3+…+c10 = (c1+c2+c3+…+c10)-10×1250 (3) 由(2)可知 {cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列， ≈ 1250×10-724.3 = 11775.7 ≈ 11776. 变式1.已知数列{an}的前n项和Sn,若Sn = 2an+1,求Sn. 1.已知数列{an}的前n项和Sn,若Sn = 2an+1,求an. ∴Sn+1 = 2(Sn+1 - Sn) +1 ∴2Sn =Sn+1 +1 则2Sn -2= Sn+1 -1 ∴2(Sn -1) = Sn+1 -1 ∴ =2 又∵S1 = 2 a1 +1 ∴ S1 = -1 ∴ S1-1 = -2 ， 则数列{ Sn -1}是以首项为-2,公比为2的等比数列 ∴ Sn -1=-2×2 n-1 则 Sn = -2 n+1 变式1.已知数列{an}的前n项和Sn,若Sn = 2an+1,求Sn. 法2:等比数列{an}的前n项和Sn, 当n≥2时, an = Sn- Sn-1 ∵Sn = 2an+1,∴Sn+1 = 2 an+1 +1 变式2.已知数列{an}的前n项和Sn,若 ,求Sn. $$