专题03 函数的概念及表示方法-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题03函数的概念及表示方法 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解用集合语言和对应关系定义的函数概念 · 熟练掌握函数定义域的求解 · 掌握函数值的求解 · 理解函数表示的解析法、列表法和图像法 · 理解分段函数的概念 考点预测 · 函数定义域的求解 · 函数值得求解 · 函数解析式的求解 · 函数值域的求解 要点自测 （一）函数的定义 函数的定义 设D是非空实数集合，如果对于D中的每一个___________值，按照某个对应法则, 都有唯一确定的实数___________与它对应，则称这个对应关系为集合D上的函数，记作，数集D 称作函数的___________. 当时，与相对应的值称为函数在点处的___________，记作.函数值的集合称为函数的___________. 要点提醒 1、解函数相关题目，要优先考虑函数定义域； 2、求具有解析式的函数定义域的几种类型：（1）表达式为整式，定义域为；（2）表达式为分式，分母不为零；（3）表达式为偶次根式，根式下式子不小于零；（4）对数的真数应该大于零；（5）函数解析式含有两种或两种以上的情况的，应求交集；（6）实际问题中，应结合变量的实际意义来确定. 3、定义域和值域结果都要表达成集合。 （二）函数的三要素 1、函数的三要素：____________、________、_________. 2、在三要素中，值域由定义域和对应法则决定，所以在判断两个函数是否是同一个函数时，只需判断函数的________与________是否都相同，相同的就是同一个函数. 3、要点提醒：（1）求函数解析式的题型有待定系数法、代入法、换元法、派生法等； （2）值域的求解关注有关二次函数的值域及含正弦、余弦的复合函数等. （三）函数的表示方法 1、函数的表示方法通常有三种：________、________和________； 2、要点提醒：（1）常见函数既有解析式还有图像，解决问题时，要注意数形结合的数学思想的应用； （2）函数图形除了有原来的直线、抛物线、双曲线外，还可以是点、线段，一段弧等. （四）分段函数 1、若函数自变量在不同范围内，需要用不同的解析式来表示，这样的函数称作________； 2、分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集，值域是自变量在各段不同取值范围的函数值集合的并集。分段函数在整个定义域上仍是一个函数，而不是几个函数； 3、要点提醒：求分段函数的函数值时，首先要判断所属的取值范围，然后再将代入相应的解析式中进行计算. 考点突破 考点1 函数定义域的求法 【例1】求下列函数的定义域： （1）（2）（3）（4） 【例2】已知函数定义域为，则函数定义域是 ( ) A． B． C． D． 【突破训练】1、函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2、已知的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 考点2 函数解析式的求法 【例3】（1）已知函数，求； （2）已知函数，求； （3）已知，求函数的表达式. 【例4】已知一次函数满足，求. 【突破训练】1、已知，求函数的表达式. 2、若二次函数满足，并且不等式的解集为，求出这个二次函数的解析式. 考点3 求函数值及值域求法 【例5】已知函数，则___________. 【例6】设函数，则函数值域为____________. 【突破训练】1、已知函数，则___________. 2、设函数，则函数值域为____________. 考点4 判断两个函数是否为同一个函数 【例7】下列各组函数中是同一函数的是（ ） （1）， （2） （3）， （4） A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(2)(4). 【突破训练】下列函数与为同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 考点5 分段函数的相关问题 【例8】已知函数，则____________. 【例9】根据函数图像，写出该函数解析式. 【突破训练】1、已知函数 , 则的定义域为_____________. 2、已知函数，则____________. 模拟演练 一、选择题 1.函数的图像为………………………………………………（ ） A. 一条直线 B. 一条射线 C. 线段 D. 几个点 2. 函数的定义域是…………………………………………………….……（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则………………………………………（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 4. 已知函数，，则函数的定义域是……………………………….（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，当时，的取值范围是……………………………..………（ ） A．[3,6] B．(3,6] C．[2,6] D．(2,6] 二、填空题 6. 函数的定义域是_______________； 7. 已知函数集合，则函数的解析式是_______________； 8. 函数对任意满足，成立，则______________； 9.函数的值域是_______________； 10.点B在函数的图像上，则实数_______________. 三、解答题 11. 求函数的定义域. 12. 已知函数，求. 13. 已知是二次函数，且，，求. 14. 已知函数的定义域为, 求函数的定义域. 15.已知函数 （1）当时，求的值域； （2）当时，求的值域. $$专题03函数的概念及表示方法 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解用集合语言和对应关系定义的函数概念 · 熟练掌握函数定义域的求解 · 掌握函数值的求解 · 理解函数表示的解析法、列表法和图像法 · 理解分段函数的概念 考点预测 · 函数定义域的求解 · 函数值得求解 · 函数解析式的求解 · 函数值域的求解 要点自测 （一）函数的定义 函数的定义 设D是非空实数集合，如果对于D中的每一个值，按照某个对应法则, 都有唯一确定的实数与它对应，则称这个对应关系为集合D上的函数，记作，数集D 称作函数的定义域. 当时，与相对应的值称为函数在点处的函数值，记作.函数值的集合称为函数的值域. 要点提醒 1、解函数相关题目，要优先考虑函数定义域； 2、求具有解析式的函数定义域的几种类型：（1）表达式为整式，定义域为；（2）表达式为分式，分母不为零；（3）表达式为偶次根式，根式下式子不小于零；（4）对数的真数应该大于零；（5）函数解析式含有两种或两种以上的情况的，应求交集；（6）实际问题中，应结合变量的实际意义来确定. 3、定义域和值域结果都要表达成集合。 （二）函数的三要素 1、函数的三要素：定义域、对应法则、值域. 2、在三要素中，值域由定义域和对应法则决定，所以在判断两个函数是否是同一个函数时，只需判断函数的定义域与对应法则是否都相同，相同的就是同一个函数. 3、要点提醒：（1）求函数解析式的题型有待定系数法、代入法、换元法、派生法等； （2）值域的求解关注有关二次函数的值域及含正弦、余弦的复合函数等. （三）函数的表示方法 1、函数的表示方法通常有三种：解析式、列表法和图像法； 2、要点提醒：（1）常见函数既有解析式还有图像，解决问题时，要注意数形结合的数学思想的应用； （2）函数图形除了有原来的直线、抛物线、双曲线外，还可以是点、线段，一段弧等. （四）分段函数 1、若函数自变量在不同范围内，需要用不同的解析式来表示，这样的函数称作分段函数； 2、分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集，值域是自变量在各段不同取值范围的函数值集合的并集。分段函数在整个定义域上仍是一个函数，而不是几个函数； 3、要点提醒：求分段函数的函数值时，首先要判断所属的取值范围，然后再将代入相应的解析式中进行计算. 考点突破 考点1 函数定义域的求法 【例1】求下列函数的定义域： （1）（2）（3）（4） 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）要使函数有意义，必须使，即，解得，所以函数的定义域为. （2）要使函数有意义，必须使，即，解得，所以函数的定义域为. （3）要使函数有意义，必须使，解得，所以函数的定义域为. （4）要使函数有意义，必须使，同解于不等式组，解得，所以函数的定义域为. 【例2】已知函数定义域为，则函数定义域是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，故选C 【突破训练】1、函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】要使函数有意义，必须使，解得，故选B. 2、已知的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，所以，故的定义域是故选A. 考点2 函数解析式的求法 【例3】（1）已知函数，求； （2）已知函数，求； （3）已知，求函数的表达式. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）（代入法）由，得 （2）（换元法）令，则，由，得，即 所以，即 （3）（派生法）因为函数满足， 所以， 所以，解得 【例4】已知一次函数满足，求. 【答案】或 【解析】依题设，所以，即 又因为，所以，解得或， 所以或. 【突破训练】1、已知，求函数的表达式. 【答案】 【解析】因为函数满足， 所以用替换得，， 所以，解得. 2、若二次函数满足，并且不等式的解集为，求出这个二次函数的解析式. 【答案】 【解析】由不等式的解集为可知且方程两根为， 所以二次函数，又因为，所以，所以，即. 考点3 求函数值及值域求法 【例5】已知函数，则___________. 【答案】 【解析】由题得. 【例6】设函数，则函数值域为____________. 【答案】 【解析】由指数函数的性质可知，所以，故函数的值域为. 【突破训练】1、已知函数，则___________. 【答案】 【解析】由得，所以. 2、设函数，则函数值域为____________. 【答案】 【解析】由可知其图像抛物线的对称轴为，且开口向下，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，，故值域为. 考点4 判断两个函数是否为同一个函数 【例7】下列各组函数中是同一函数的是（ ） （1）， （2） （3）， （4） A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(2)(4). 【答案】C 【解析】对于（1）（2）解析式化简，，所以都不是同一个函数。对于（3），且定义域相同，对于（4）虽然自变量的字母不同，但是它们的定义域和对应法则都是相同的，所以它们表示的是同一个函数．故选C. 【突破训练】下列函数与为同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，化简得且定义域为，所以选项A正确。对于B化简，对于C，D选项，因为它们与函数定义域不同，故选A. 考点5 分段函数的相关问题 【例8】已知函数，则____________. 【答案】3 【解析】当时，，所以，当时，，所以. 【例9】根据函数图像，写出该函数解析式. 【答案】 【解析】由图可看出当时，依据射线经过点可求得，当时，依据射线经过点可求得，所以 . 【突破训练】1、已知函数 , 则的定义域为_____________. 【答案】 【解析】因为，所以该函数的定义域为. 2、已知函数，则____________. 【答案】0 【解析】当时，，所以，当时，，所以 模拟演练 一、选择题 1.函数的图像为………………………………………………（ ） A. 一条直线 B. 一条射线 C. 线段 D. 几个点 【答案】D 【解析】因为，所以，因此图像就是点，，，故选D. 2. 函数的定义域是…………………………………………………….……（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】要使函数有意义，必须使，解得，所以函数的定义域为，故选C. 3. 已知函数，则………………………………………（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】当时，，所以，当时，，所以，故选C. 4. 已知函数，，则函数的定义域是……………………………….（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】要使函数有意义，必须使，解得，所以函数的定义域为，再由，得，得到函数的定义域为，故选D. 5. 设函数，当时，的取值范围是……………………………..………（ ） A．[3,6] B．(3,6] C．[2,6] D．(2,6] 【答案】C 【解析】由可知其图像抛物线的对称轴为，且开口向上，所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以，，故值域为，故选C. 二、填空题 6. 函数的定义域是_______________； 【答案】 【解析】要使函数有意义，必须使，解得，所以函数的定义域为.. 7. 已知函数集合，则函数的解析式是_______________； 【答案】 【解析】令，则，所以，所以，即，又，所以. 8. 函数对任意满足，成立，则______________； 【答案】 【解析】此题考查赋值法，令代入得所以，如果将代入得，所以 . 9.函数的值域是_______________； 【答案】 【解析】因为，所以，所以 ，故的值域是. 10.点B在函数的图像上，则实数_______________. 【答案】 【解析】由题可得，解得. 三、解答题 11. 求函数的定义域. 【答案】 【解析】要使函数有意义，必须使， 即，可变形为 解得， 所以函数的定义域为. 12. 已知函数，求. 【答案】 【解析】将代入得，即 将代入，得，即.， 两式联立解得 13. 已知是二次函数，且，，求. 【答案】 【解析】设， 因为，所以， 又因为， 所以，， 即 所以，解得， 故. 14. 已知函数的定义域为, 求函数的定义域. 【答案】 【解析】∵函数的定义域为， 的定义域为 由，得= 函数的定义域为. 15.已知函数 （1）当时，求的值域； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由可得，因为函数的图像是开口向上的抛物线且，所以。所以函数的值域为 （2）由可知其图像抛物线的对称轴为，且开口向上，所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以，，故值域为. $$