5.3实际问题与一元一次方程 同步训练 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程 同步训练 一．选择题（共5小题） 1．一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（　　） A．5 折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折 2．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1﹣9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元（　　） A．5（x+420）＝7450 B．5（x﹣420）＝7450 C．5x+420＝7450 D．5x﹣420＝7450 4．幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则（　　） 4 1 15 a A．5 B．7 C．9 D．12 5．元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走4km，下山时按原路返回，结果上山比下山多花小时，可列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生　 　． 7．2024年3月12日，是我国的第46个植树节．校团委刘书记组织学校一、二、三中队共植树200棵，二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵，则一中队植树　 　棵． 8．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有5人无法安排，则空出5个床位，求有多少间宿舍？设有x间宿舍　 　． 9．有理数都可以表示为（p≠0且p，q不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，即0.3333⋯＝x，则3.3333⋯＝10x，可得，即，则＝　 　． 10．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米　 　分钟开出一辆电车． 三．解答题（共4小题） 11．先阅读材料：如图（1），在数轴上点A示的数为a，B点表示的数为b，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a． 解决问题：如图（2），数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b（b﹣2）2＝0，点C表示的数是6． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）若点A以每秒个单位长度的速度向左运动到A′，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到B′，假设t秒钟过后，若点A′与点B′之间的距离表示为A′B′，点B′与点C′之间的距离表示为B′C′． ①则点A′表示的数是 　 　，B′C′＝ 　 　（用含t的式子表示）． ②请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，请求其值． （3）若点A点C分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后A、C两点相距2个单位长度？ 12．【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为|a﹣b|． 利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发（t＞0）． （1）填空：A、B两点间的距离AB＝ 　 　，线段PQ的中点表示的代数式为 　 　； （2）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，在运动过程中，； （3）点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数，请说明理由． 13．如图，已知数轴上A，B两点分别位于原点O两侧，且AB＝12． （1）点A对应的数是 　 　； （2）动点P，Q分别同时从A，B出发，M为AP的中点，N点在BQ上，且（t＞0）． ①当点M，N重合时，求t的值； ②在P，Q运动的过程中，探究，请求出它的值；若会变化 14．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，然后再向右移动3cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上标出A，B，C三点的位置，并写出A，B； （2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝　 　cm，AC＝　 　cm； （3）若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（　　） A．5 折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折 【分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，利用价格列出方程即可求解． 【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折 x+0.5x＝3x•， 解得：y＝7.5 即相当于这两件商品共打了4.5折． 故选：D． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键． 2．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1﹣9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是15，如图所示幻方中（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【解答】解：由题意可得：第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝6， ∴m＝15﹣8﹣3＝5． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加减运用，数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． 3．甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元（　　） A．5（x+420）＝7450 B．5（x﹣420）＝7450 C．5x+420＝7450 D．5x﹣420＝7450 【分析】根据甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 5x+420＝7450， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则（　　） 4 1 15 a A．5 B．7 C．9 D．12 【分析】由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为19﹣a，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵第三行和第三列上的数字和相等， ∴左下角的数字为19﹣a，如图所示． 根据题意得：4+19﹣a＝1+15， 解得：a＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走4km，下山时按原路返回，结果上山比下山多花小时，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据上山和下山的路程相等，列出方程即可． 【解答】解：设下山所用时间为x小时，则上山的时间为，由题意 ； 故选：B． 【点评】本题考查根据实际问题列一元一次方程，找到等量关系是关键． 二．填空题（共5小题） 6．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生　x（x﹣1）+x＝2304　． 【分析】设班级有x名学生，根据题意列出方程x（x﹣1）+x＝2304即可． 【解答】解：∵每位同学间也互赠了一张签名卡， ∴同学间互赠了x（x﹣1）张签名卡， ∵王老师向每位同学赠送了一张签名卡， ∴x（x﹣1）+x＝2304， 故答案为：x（x﹣3）+x＝2304． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 7．2024年3月12日，是我国的第46个植树节．校团委刘书记组织学校一、二、三中队共植树200棵，二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵，则一中队植树　31　棵． 【分析】设一中队植树x棵，则二中队植树（2x+5）棵，三中队植树（x+2x+5+4）棵，根据“三个中队共植树200棵”列方程求解即可． 【解答】解：一、二、三中队共植树200棵，三中队植树的棵数比一，设一中队植树x棵 x+2x+5+x+7x+5+4＝200， 解得x＝31， 故答案为：31． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程． 8．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有5人无法安排，则空出5个床位，求有多少间宿舍？设有x间宿舍　8x+5＝10x﹣5　． 【分析】根据人数相等得出关于x的一元一次方程求解即可． 【解答】解：根据两种情况的人数相等，得8x+5＝10x﹣4， 故答案为：8x+5＝10x﹣8． 【点评】本题考查了根据实际问题列出一元一次方程，列出正确的一元一次方程并求解是解题的关键． 9．有理数都可以表示为（p≠0且p，q不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，即0.3333⋯＝x，则3.3333⋯＝10x，可得，即，则＝　　． 【分析】设，则，根据题中所给方法列出方程即可求解． 【解答】解：设，则， ∴47+x＝100x， ∴99x＝47， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 10．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米　14　分钟开出一辆电车． 【分析】设电车的速度为x米/分，然后根据前后两车的距离不变，利用相遇问题与追击问题列一元一次方程求出速度，然后再列代数式计算即可． 【解答】解：设电车的速度为x米/分， 根据题意可得：20（x﹣60）＝10（x+80）， 解得：x＝200， 20（200﹣60）÷200＝14（分钟）． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程成为解题的关键． 三．解答题（共4小题） 11．先阅读材料：如图（1），在数轴上点A示的数为a，B点表示的数为b，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a． 解决问题：如图（2），数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b（b﹣2）2＝0，点C表示的数是6． （1）a＝ 　﹣4　，b＝ 　2　； （2）若点A以每秒个单位长度的速度向左运动到A′，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到B′，假设t秒钟过后，若点A′与点B′之间的距离表示为A′B′，点B′与点C′之间的距离表示为B′C′． ①则点A′表示的数是 　﹣4﹣t　，B′C′＝ 　4+t　（用含t的式子表示）． ②请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，请求其值． （3）若点A点C分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后A、C两点相距2个单位长度？ 【分析】（1）由绝对值与偶次方的非负数性质得出a＝﹣4，b＝2； （2）①点A'表示的数为﹣4﹣t，点B'表示的数为2+2t，点C'表示的数为6+3t，根据两点间的距离求出B'C'； ②求出A′B′，然后求出结论； （3）设t秒后A、C两点相距2个单位长度，由题意得|6﹣2t﹣（﹣4+4t）|＝2，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）∵|a+4|+（b﹣2）6＝0， ∴a+4＝3，b﹣2＝0， ∴a＝﹣2，b＝2． 故答案为：﹣4，8； （2）①由题意得：点A′表示的数为：﹣4﹣t，点B′表示的数为：2+2t， B′C′＝2+3t﹣（2+7t）＝4+t， 故答案为：﹣4﹣t，4+t； ②不变， ∵A′B′＝4+2t+（﹣4﹣t）＝6+t， ∴B′C′﹣A′B′＝t）＝10+t＝3， ∴B′C′﹣A′B′的值为2， ∴B′C′﹣A′B′的值不随着时间t的变化而改变； （3）设t秒后A、C两点相距8个单位长度， 由题意得：|6﹣2t﹣（﹣7+4t）|＝2， 即|10﹣6t|＝2， 解得t＝或t＝2， ∴秒或2秒后A． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用、绝对值与偶次方的非负数性质、两点间的距离等知识；正确理解题意，表示出两点间的距离是解题的关键． 12．【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为|a﹣b|． 利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发（t＞0）． （1）填空：A、B两点间的距离AB＝ 　12　，线段PQ的中点表示的代数式为 　　； （2）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，在运动过程中，； （3）点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数，请说明理由． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，可求出AB的值，当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，再用含t的代数式表示出线段PQ的中点即可； （2）当运动时间为t（t＞0）秒时，点M表示的数为，点N表示的数为10﹣t，根据MN＝AB，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点B及点P返回到点A所需时间，当0≤t≤4时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入（﹣2+3t）中，即可求出结论；当4＜t≤7时，点P表示的数为26﹣4t，点Q表示的数为10﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入（26﹣4t）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10， ∴AB＝|﹣2﹣10|＝12； ∵点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数为﹣5+3t， ∴线段PQ的中点表示的代数式为＝． 故答案为：12，； （2）∵点M为PA的中点，点N为QB的中点， ∴当运动时间为t（t＞0）秒时，点M表示的数为＝＝10﹣t． 根据题意得：|﹣（10﹣t）|＝， 即12﹣t＝2或， 解得：t＝或t＝． 答：当t为或时，MN＝； （3）12÷3＝4（秒），4+12÷4＝7（秒）． 当0≤t≤6时，点P表示的数为﹣2+3t， ∴|﹣3+3t﹣（10﹣2t）|＝5， 即12﹣5t＝2或2t﹣12＝2， 解得：t＝2或t＝， ∴﹣2+3t＝﹣2+3×2＝6或﹣2+3t＝﹣5+3×＝； 当4＜t≤7时，点P表示的数为10﹣2（t﹣4）＝26﹣4t， ∴|26﹣7t﹣（10﹣2t）|＝2， 即16﹣2t＝2或2t﹣16＝4， 解得：t＝7或t＝9（不符合题意，舍去）， ∴26﹣3t＝26﹣4×7＝﹣7． 答：在此运动过程中P、Q两点之间的距离能为2个单位或﹣5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）根据各点之间的关系，用含t的代数式表示出线段PQ的中点；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分0≤t≤4及4＜t≤7两种情况，列出一元一次方程． 13．如图，已知数轴上A，B两点分别位于原点O两侧，且AB＝12． （1）点A对应的数是 　﹣10　； （2）动点P，Q分别同时从A，B出发，M为AP的中点，N点在BQ上，且（t＞0）． ①当点M，N重合时，求t的值； ②在P，Q运动的过程中，探究，请求出它的值；若会变化 【分析】（1）根据“点A对应的数＝点B对应的数为2﹣A、B之间的距离”计算即可； （2）①根据“线段中点表示的数＝线段两个端点表示的数之和÷2”求出点M表示的数；根据“路程＝速度×时间”求出BQ，从而求出BN，进而求出点N表示的数，根据“当点M、N重合时，点M表示的数＝点N表示的数”列关于t的方程并求解即可； ②分别利用点M、N、Q表示的数求出MN、ON、MQ，将它们代入并化简，根据t的取值范围去绝对值符号讨论即可． 【解答】解：（1）2﹣12＝﹣10， ∴点A对应的数是﹣10， 故答案为：﹣10； （2）①点P表示的数是6t﹣10，点Q表示的数是3t+2， ∴点M表示的数是＝3t﹣10， ∵BQ＝3t， ∴BN＝BQ＝t， ∴点N表示的数是t+2， 当点M，N重合时， 解得t＝3， ∴当点M，N重合时； ②∵BN＝t， ∴点N表示的数是t+2， ∴ON＝t+2， ∵点M表示的数是7t﹣10， ∴MN＝|3t﹣10﹣（t+2）|＝|2t﹣12|， ∵Q表示的数是3t+2， ∴MQ＝7t+2﹣（3t﹣10）＝12， ∴＝＝． 当0＜t≤6时，＝＝； 当t＞6时，＝＝． 综上，当0＜t≤8时，，值是，的值会发生变化． 【点评】本题考查数轴，掌握求数轴上点表示的数的方法是解题的关键． 14．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，然后再向右移动3cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上标出A，B，C三点的位置，并写出A，B； （2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝　5　cm，AC＝　8　cm； （3）若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？ 【分析】（1）根据题意分别求得点A，B，C对应的数，再表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点表示的数，用右边的数减去左的数即可求解； （3）根据题意分类讨论，①当点A在点C的左侧时，②当点A在点C的右侧时，分别列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为﹣4，B点对应的数为1， 点A，B，C在数轴上表示如图： （2）∵A点对应的数为﹣2，B点对应的数为1， ∴AC＝4﹣（﹣4）＝8AB＝1﹣（﹣3）＝5． 故答案为：5，8． （3）①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：8﹣x＝2， 解得：x＝5． ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：x﹣2＝3， 解得：x＝11， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为8cm． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$