专题03 多边形与圆的初步认识重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题03 多边形与圆的初步认识重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 平面图形形状的识别 题型二 用七巧板拼图形 题型三 多边形的概念与分类 题型四 多边形的周长 题型五 网格中多边形面积比较 题型六 多边形对角线的条数问题 题型七 对角线分成的三角形个数问题 题型八 平面镶嵌 题型九 圆的基本概念辨析 题型十 求圆中弦的条数 题型十一 求过圆内一点的最长弦 题型十二 圆的周长和面积问题 题型十三 圆心角概念 知识点 1 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点2多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点3 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点4：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点5：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点6：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【经典例题一 平面图形形状的识别】 【例1】如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 【答案】A 【分析】本题可据数的奇偶性进行分析，如图从点到点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，点为6，是偶数，所以点处于水中，同理点B处于水中． 【详解】解：如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中．同理点B处于水中． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的分析判断能力，通过数的奇偶性判断位置，能读懂题，分析题目是解题的关键． 1．下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：①②④是平面图形，③⑤⑥是立体图形， 故选：A． 2．如图是小明同学在美术课上画的小动物简笔画，请你仔细观察，图中圆有 个，三角形有 个，四边形有 个． 【答案】 10 5 1 【分析】本题考查了多边形，根据圆、三角形、四边形的定义判断即可，熟练掌握圆、三角形、四边形的定义是解此题的关键． 【详解】解：观察图形可得，图中圆有10个，三角形有5个，四边形有1个， 故答案为：10，5，1． 3．将如图所示的四个正方形分别分割成可以剪下4个、7个、8个和9个正方形的图形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，直接将图形按要求分割得出答案． 【详解】解：如图所示： 【经典例题二 用七巧板拼图形】 【例2】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查七巧板的知识，根据七巧板各图形边长之间的关系解题即可． 【详解】设小正方形的边长为，则大直角三角形的边长为， ∴大正方形的面积为， 解得， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 1．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键． 【详解】解：由七巧板的规律可得： ，，， ∵左边图形中正方形的面积为32， ∴， 故选：A． 2．如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 【答案】 【分析】本题考查割补法求面积，熟练掌握割补法求面积是解题的关键； 根据题意利用割补法求面积即可求解； 【详解】解：从七巧板知正方形面积等于平方厘米， 按下图分割可知，长方形等于个正方形的面积， 平方厘米 故答案为： 3．剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键． （1）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法； （2）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】（1）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线剪刀，再将剪下的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形； （2）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线各剪刀，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形．    【经典例题三 多边形的概念与分类】 【例3】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 1．下列各选项中，说法正确的是（    ） A．直五棱柱有12个顶点 B．各边相等的多边形叫正多边形 C．用平面截一个圆柱，截面不可能是正方形 D．绕半圆的直径旋转一周得到的几何体是球体 【答案】D 【分析】本题主要考查了空间几何体的结构特征，利用空间几何体的结构特征，综合思考，逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：A. 直五棱柱有10个顶点，故选项A说法错误，不符合题意； B. 各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形，故选项B说法错误，不符合题意； C. 用平面截一个圆柱，截面可能是正方形, 故选项C说法错误，不符合题意； D. 绕半圆的直径旋转一周得到的几何体是球体，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 3．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【答案】(1)D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点， 即是完美观测点， 故选：D；    （2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；    （3）如图所示：阴影部分即为所求.    【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键． 【经典例题四 多边形的周长】 【例4】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是3或4或5， 故选：C． 1．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 【经典例题五 网格中多边形面积比较】 【例5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 2．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 3．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 4．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积 （1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值 （2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积 【答案】（1）S=9，k=；（2）图②：14，图③：9.5 【分析】（1）根据图像可直接计算出正方形面积，再数出a和b的值，代入公式即可计算k值； （2）分别得出图②和图③中a和b的值，再利用公式求出面积． 【详解】解：（1）由图可知：图①中正方形的边长为3， ∴面积为3×3=9， 在中，对应a=4，b=12， ∴9=4+12k-1， 解得：k=； （2）图②中，a=10，b=10， 则S=10+×10-1=14， 图③中，a=5，b=11， 则S=5+×11-1=9.5． 【点睛】本题考查了格点图形的面积的计算，一个单位长度的正方形网格纸中多边形面积的公式：的运用． 【经典例题六 多边形对角线的条数问题】 【例6】为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（   ）场比赛． A．30 B．45 C．105 D．210 【答案】C 【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 m（m-1）． 【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：×15×（15-1）=105． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答． 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是    （  ） A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形 【答案】B 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】设多边形有n条边， 则n−2=2011， 解得：n=2013. 所以这个多边形的边数是2013. 故选B. 【点睛】本题考查了多边形的知识点，解题的关键是熟练的掌握多边形对角线的性质与运用. 2．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ． 【答案】500 【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值． 【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条， ，，，； 则． 故答案为：500 【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条． 3．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】9 【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形，即可求解． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线， ∴该多边形的边数为8+3=11， ∴这些对角线将这个多边形分成11-2=9个三角形． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形是解题的关键． 4．探究归纳题：    (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1) 1 2 (2) 2 3 (3) (4) 【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1：    经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键． 【经典例题七 对角线分成的三角形个数问题】 【例7】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【答案】C 【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解． 【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键． 1．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误； ②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确； ③角的边越长，角越大，判断错误； ④一条射线就是一个周角，判断错误． 故选：A 【点睛】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键． 2．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】2020 【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形． 【详解】解：由题意可知：n-2=2018， 解得n=2020， 则这个多边形的边数为2020， 故答案为：2020． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n-2）个三角形． 3．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形． 【答案】 【分析】根据四边形可以条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引条对角线，被分成个三角形． 【详解】从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多边形的规律问题，掌握对角线和三角形的性质、多边形的规律是解题的关键． 4．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 【经典例题八 平面镶嵌】 【例8】一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可． 【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为． 1．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（       ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解． 【详解】解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面； 正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面； 正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面； 正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面． 故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解． 2．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．    【答案】150 【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴， 解得． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 3．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 种． 【答案】3 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．因为正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角分别为60°、90°、120°、135°，根据多边形镶嵌成平面图形的条件可知． 【详解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满； ②正三角形、正六边形，由于 60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能铺满； ③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； ④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； ⑤正方形、正八边形，由于90°+135°×2=360°，故能铺满； ⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． 故选择的方式有3种． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决本题的关键是掌握平面镶嵌定义．用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． 4．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）． 图图 (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【答案】(1) (2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十． 【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可； （）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况； 设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； 正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：； （2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形， 根据题意得：， ∴， ∵，为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形； 由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵，，为正整数， ∴应为正整数， 则或， 当时，，此时，无正整数解， 当时，，解得正整数解为：， 故答案为：十． 【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． 【经典例题九 圆的基本概念辨析】 【例9】下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧 C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，判断命题的真假，根据圆的有关概念进行排除即可，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 【详解】、直径是弦，但是弦不一定是直径，原选项说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，度数相等的弧不一定能完全重合，原选项说法错误，不符合题意； 、半圆是弧，但弧不一定是半圆，原选项说法正确，符合题意； 、平分弦的直径不一定等于弦，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 1．已知⊙O的半径为．则⊙O中最长的弦长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，的半径为． ∴中最长的弦长为， 故选：B. 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2．如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）半径有，； （2）直径有； （3）弦有，，； （4）劣弧 对应的优弧是； 故答案为：，；；，，； 3．如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数.    【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．    【经典例题十 求圆中弦的条数】 【例10】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 1．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 2．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题十一 求过圆内一点的最长弦】 【例11】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 1．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 2．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm 【答案】8cm． 【详解】试题分析：⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长． 试题解析：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm， ∴⊙O的半径为8cm． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题十二 圆的周长和面积问题】 【例12】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，      ∴设小圆的半径为，大圆的半径， ∵像素，， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键． 1．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解． 【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC， ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x， ∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2， ∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键． 2．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 3．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可; （2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可． 【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的周长为:（米）, 故答案为:． （2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成, ∴运动场的面积为:（平方米）, ∵塑胶跑道和草坪的面积比为, ∴塑胶跑道面积为：（平方米）, ∴草坪面积为：（平方米）, ∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高, ∴每平方米草坪的价格为:（元）, ∴总费用为:（元）, 故答案为:． 【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算． 【经典例题十三 圆心角概念】 【例13】如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC， ∴∠DOC＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠DOC＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键． 1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】观察图形，中间相当于一个圆心角被平分为六份，用一周角度数除以六. 【详解】解：. 故选：B. 【点睛】本题考查的对圆心角的概念的认识，将正六边形中心看作圆心角被平分是解答关键. 2．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，   直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 3．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 1．过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条时角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，根据过边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成个三角形分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）， 故选：B． 2．一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，关键是熟记多边形的对角线公式. 根据多边形的对角线公式进行计算即可得解． 【详解】解：n边形共有条对角线. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故选：C． 3．下列说法正确的是（  ） A．圆中的角所对的弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理的推论；理解垂径定理的推论，掌握圆的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A.的圆周角所对的弦是直径，结论错误，故不符合题意； B.平分弦(非直径)的直径垂直于弦, 结论错误，故不符合题意； C.在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，结论错误，故不符合题意； D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，结论正确，故符合题意； 故选：D． 4．如图，是工人师傅用边长均为的正六边形和正方形地砖围绕着点进行的铺设．若将另一块边长为的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） 如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠ABC处，则这块正多边形地砖的边 A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是：， 解得：， 故选：D． 5．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查七巧板的知识，根据七巧板各图形边长之间的关系解题即可． 【详解】设小正方形的边长为，则大直角三角形的边长为， ∴大正方形的面积为， 解得， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 6．如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是 ． 【答案】以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点 【分析】本题考查了圆的运动轨迹，三角形中线，设的中点为D，则，故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆，为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点，从而得出答案． 【详解】解：设的中点为D，则， 故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆， 因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点， 故答案为：以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点． 7．已知中最长的弦长为，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为, 中最长的弦，即直径的长为. 故答案为：5． 8．已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 9．（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【答案】 / 【分析】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 10．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    【答案】 圆周长的一半 半径 【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答． 【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径， 圆的面积近似长方形的面积长宽． 故答案为：圆周长的一半，半径，． 【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键． 11．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 12．如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角得到，再由，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 13．如图，①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应的数值，探究计数的方法并解答下面的问题． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数V 7 边数E 9 区域数F 3 (1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，将结果填入上表； (2)根据表格，猜想平面图形的顶点数、边数和区域数之间的关系； (3)如果一个平面图形有个顶点和个区域，那么这个平面图形有几条边？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)条边 【分析】本题考查了平面图形，图形的规律探究．根据图形推导一般性规律是解题的关键． （1）根据顶点，边长的定义，作答即可； （2）推导一般性规律即可； （3）根据，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，填表如下； 图形 ① ② ③ ④ 顶点数V 4 7 8 边数E 6 9 区域数F 3 3 5 6 （2）解：由题意知，；；； ∴可推导一般性规律为； （3）解：由题意知，， ∴， ∴这个平面图形有条边． 14．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 【答案】(1)A为正四边形，B为正三边形 (2)见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键． （1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据（1）所求答案画出图形即可． 【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为， ∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺， ∴， 解得：， ∴ ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）解：所画图形如下： 15．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 多边形与圆的初步认识重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 平面图形形状的识别 题型二 用七巧板拼图形 题型三 多边形的概念与分类 题型四 多边形的周长 题型五 网格中多边形面积比较 题型六 多边形对角线的条数问题 题型七 对角线分成的三角形个数问题 题型八 平面镶嵌 题型九 圆的基本概念辨析 题型十 求圆中弦的条数 题型十一 求过圆内一点的最长弦 题型十二 圆的周长和面积问题 题型十三 圆心角概念 知识点 1 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点2多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点3 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点4：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点5：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点6：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【经典例题一 平面图形形状的识别】 【例1】如图是一个浅湖的平面图，图中所有曲线都表示湖与岸边的分界线，如果P点在岸上，那么A点和B点分别在（    ） A．点A在水中，点B在水中 B．点A在水中，点B在岸上 C．点A在岸上，点B在水中 D．点A在岸上，点B在岸上 1．下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 2．如图是小明同学在美术课上画的小动物简笔画，请你仔细观察，图中圆有 个，三角形有 个，四边形有 个． 3．将如图所示的四个正方形分别分割成可以剪下4个、7个、8个和9个正方形的图形． 【经典例题二 用七巧板拼图形】 【例2】数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 1．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 3．剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【经典例题三 多边形的概念与分类】 【例3】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 1．下列各选项中，说法正确的是（    ） A．直五棱柱有12个顶点 B．各边相等的多边形叫正多边形 C．用平面截一个圆柱，截面不可能是正方形 D．绕半圆的直径旋转一周得到的几何体是球体 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 3．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【经典例题四 多边形的周长】 【例4】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 1．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 3．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【经典例题五 网格中多边形面积比较】 【例5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 3．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 4．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积 （1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值 （2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积 【经典例题六 多边形对角线的条数问题】 【例6】为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（   ）场比赛． A．30 B．45 C．105 D．210 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是    （  ） A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形 2．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ． 3．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 4．探究归纳题：    (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【经典例题七 对角线分成的三角形个数问题】 【例7】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 1．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ． 3．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形． 4．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【经典例题八 平面镶嵌】 【例8】一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（       ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度． 3．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 种． 4．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）． 图图 (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【经典例题九 圆的基本概念辨析】 【例9】下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧 C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦 1．已知⊙O的半径为．则⊙O中最长的弦长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 3．如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数.    【经典例题十 求圆中弦的条数】 【例10】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 2．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题十一 求过圆内一点的最长弦】 【例11】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 1．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【经典例题十二 圆的周长和面积问题】 【例12】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 1．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（    ） A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍 2．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 3．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．    (1)求这个运动场的周长是多少米? (2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元? 【经典例题十三 圆心角概念】 【例13】如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 3．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 1．过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条时角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 2．一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．下列说法正确的是（  ） A．圆中的角所对的弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 4．如图，是工人师傅用边长均为的正六边形和正方形地砖围绕着点进行的铺设．若将另一块边长为的正多边形地砖恰好能镶嵌在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） 如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠ABC处，则这块正多边形地砖的边 A．6 B．9 C．10 D．12 5．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是 ． 7．已知中最长的弦长为，则的半径为 ． 8．已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 9．（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 10．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    11．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 12．如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，求的度数． 13．如图，①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应的数值，探究计数的方法并解答下面的问题． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数V 7 边数E 9 区域数F 3 (1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，将结果填入上表； (2)根据表格，猜想平面图形的顶点数、边数和区域数之间的关系； (3)如果一个平面图形有个顶点和个区域，那么这个平面图形有几条边？ 14．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 15．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 学科网（北京）股份有限公司 $$