专项6 与实数有关的规律问题-华东师大版八年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 与实数有关的规律问题 答案解析 1．(1)见解析；（2）� � �2−1 = � + � �2−1 ，理由见解析 【详解】试题分析:(1)根据二次根式规律即可求解,(2)根据二次根式规律可写出等式. 试题解析: （1）猜想:6 6 35 = 6+ 6 35 , 验证:右边= 6 + 6 35 = 210+6 35 = 216 35 = 36×6 35 = 6 6 35 =左边, （2）第 n﹣1个等式: � � �2−1 = � + � �2−1 , 证明:右边= � + � �2−1 = � � 2−1 +� �2−1 = � 3−�+� �2−1 = � � �2−1 =左边. 2．(1) −1 ; (2)0 ; (3)261 个数的平方相加 【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每 6个数一个循环：1，−1， 2，− 2， 3， − 3，然后用 50 除以 6，根据余数的情况判断出第 50 个数是什么数即可； （2）首先用 2018 除以 6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数 乘以 1 + ( − 1) + 2 + ( − 2) + 3 + ( − 3) = 0，再加上剩下的数，求出把从第 1个数开始 的前 2018 个数相加，结果是多少即可； （3）首先求出 1，−1， 2，− 2， 3，− 3，六个数的平方和是多少；然后用 520 除以六 个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可． 【详解】（1）因为 50 ÷ 6 = 8⋯2. 所以第 50 个数与第 2个数相同，是−1. (2)因为 1 + ( − 1) + 2 + ( − 2) + 3 + ( − 3) = 0，1 + ( − 1) = 0，2018 ÷ 6 = 336⋯2， 所以从第 1个数开始的前 2018 个数相加，结果是 0. (3)因为12 + ( − 1)2 + ( 2)2 + ( − 2)2 + ( 3)2 + ( − 3)2 = 12，520 ÷ 12 = 43⋯4，12 + ( − 1)2 + ( 2)2 = 4，所以从第 1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为 520.则共 有 43 × 6 + 3 = 261（个）数的平方相加. 【点睛】此题考查算术平方根，规律型：数字的变化类，解题关键在于找到计算规律. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．(1)1011，1101 (2)①12，97 都与 23“模二相加不变”；②38 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）分别求出�2(12) = 10，�2(65) = 01，�2(97) = 11，�2(23) = 01，再求出�2(12) + �2(23) = 11，�2(65) + �2(23) = 10，�2(97) + �2(23) = 100， �2(12 + 23) = 11， �2(65 + 23) = 00，�2(97 + 23) = 100，即可求解； （3）根据模二结果数分别为 10，11，01，00 分别讨论可得答案． 【详解】（1）解：�2(9653) = 1011，�2 58 +�2 9653 = 10 + 1011 = 1101 故答案为：1011，1101； （2）①∵ �2(12) = 10，�2(65) = 01，�2(97) = 11，�2(23) = 01， �2(12) + �2(23) = 10 + 01 = 11，�2(65) + �2(23) = 01 + 01 = 10，�2(97) + �2(23) = 11 + 01 = 100， ∵ �2(12 + 23) = �2(35) = 11，�2(65 + 23) = �2(88) = 00，�2(97 + 23) = �2(120) = 100， ∴ �2(12) + �2(23) = �2(12 + 23)，�2(97) + �2(23) = �2(97 + 23)， ∴12，97 都与 23“模二相加不变”． ②模二结果是 10 有：12，32，52，72，92，14，34，54，74，94，16，36，56，76，96，18， 38，58，78，98，10，30，50，70，90 共 25 个， 它们与模二数的和是 11， ∴12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，10，30，50，70 满足题意； 模二结果是 11 的有：11，31，51，71，91，13，33，53，73，93，15，35，55，75，95，17， 37，57，77，97，19，39，59，79，99，共 25 个， 它们与模二数 23 的和是 100， ∴77，97，79，99 满足题意； 模二结果是 01 的有：21，23，25，27，29，41，43，45，47，49，61，63，65，67，69，81， 83，85，87，89 共 20 个， 它们与模二数 23 的和是 10， ∴27，29，47，49，67，69 满足题意； 模二结果是 00 的有：20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，80， 82，84，86，88，共 20 个， 它们与模二数 23 的和是 01， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66 满足题意； ∴共有 38 个． 故答案为：38． 【点睛】本题考查定义新运算，数字的变化规律，理解定义内容，能将定义与已学内容相结合 是解题的关键． 4．(1)9 (2)� = 4� + 5�或� =− 4� − 5� (3)� = � �2 + �2，� = � �2 + �2 【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则 是解题关键． （1）结合 5 × 74 = �2 + 172，� > 0，求解即可； （2）将� = 5� − 4�，� = �2 + �2代入 41� = �2 + �2，整理可得�2 = (4� + 5�)2，即可获得 答案； （3）根据题意，可得�� = (�2 + �2)(�2 + �2) = �2�2 + �2�2 + �2�2 + �2�2，结合�� = �2 + �2， 可令�2 = �2�2 + �2�2，�2 = �2�2 + �2�2，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵5 × 74 = �2 + 172， ∴�2 = 5 × 74 − 172 = 370 − 289 = 81， ∴� =± 9， ∵� > 0， ∴� = 9． 故答案为：9； （2）解：根据题意，41� = �2 + �2，� = 5� − 4�，� = �2 + �2， ∴41(�2 + �2) = (5� − 4�)2 + �2， ∴41�2 + 41�2 = 25�2 − 40�� + 16�2 + �2 ∴�2 = 16�2 + 40�� + 25�2 = (4� + 5�)2， ∴� = 4� + 5�或� =− 4� − 5�； （3）解：∵� = �2 + �2，� = �2 + �2， ∴�� = (�2 + �2)(�2 + �2) = �2�2 + �2�2 + �2�2 + �2�2， 又∵�� = �2 + �2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 令�2 = �2�2 + �2�2，�2 = �2�2 + �2�2， 此时可有一组解� = �2�2 + �2�2，� = �2�2 + �2�2， 即� = � �2 + �2，� = � �2 + �2． 5．(1) 4,5 (2) −3, − 2 (3) 6,7 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并 灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出 19的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到 7b   ，进一步求出�的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到 2� + 3� = �, 3� + 4� = 2�， � + � = 41，求出�, �, �的值，进而求出 �的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵ 16 < 19 < 25， ∴4 < 19 < 5， 即：无理数 19的“麓外区间”是 4,5 ； 故答案为： 4,5 ； （2）∵� = � − 2 + 2 − � − 7， ∴� − 2 ≥ 0,2 − � ≥ 0， ∴� = 2， ∴ 7b   ， ∵ 4 < 7 < 9， ∴2 < 7 < 3， ∴ 3 7 2     ， ∴�的“麓外区间”为 −3, − 2 ； （3）∵ 2� + 3� − � + 3� + 4� − 2� = � + � − 41 + 41 − � − �， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴� + � − 41 ≥ 0,41 − � − � ≥ 0， ∴� + � = 41， ∴ 2� + 3� − � + 3� + 4� − 2� = 0， ∴2� + 3� − � = 0,3� + 4� − 2� = 0， 联立： � + � = 41 2� + 3� − � = 0 3� + 4� − 2� = 0 ， 解得： � = 82 � =− 41 � = 41 ， ∴�的算术平方根为 41， ∵ 36 < 41 < 49， ∴6 < 41 < 7； ∴�的算术平方根的“麓外区间”为 6,7 ． 6．(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为 1，详见解析 (4)15，详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得22 = 4，62 = 36，72 = 49，则 6 < 37 < 7，即可得； （2）根据[ �] = 1，12 = 1，22 = 4，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：[ 400] = 20；第二次：[ 20] = 4；第三次：[ 4] 2 ，第四次：[ 2] = 1， 即可得； （4）由（2）得，进行 1次求根整数运算后结果为 1的正整数最大为 3，进行 1次求根整数运 算后结果为 3的正整数最大为 15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵22 = 4，62 = 36，72 = 49， ∴6 < 37 < 7， ∴[ 4] 2 ，[ 37] = 6， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 故答案为：2，6； （2）∵[ �] = 1，12 = 1，22 = 4，x为正整数， ∴� = 1或� = 2或� = 3， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：[ 400] = 20， 第二次：[ 20] = 4， 第三次：[ 4] 2 ， 第四次：[ 2] = 1， ∴第四次之后结果为 1； （4）（4）最大的是 15，理由如下， 由（2）得，进行 1次求根整数运算后结果为 1的正整数最大为 3， ∵[ 15] = 3，[ 16] = 4， ∴进行 1次求根整数运算后结果为 3的正整数最大为 15， ∴只对一个正整数进行 2次连续求根整数运算后结果为 1，则这个正整数最大值是 15， 故答案为：15． 7．(1)①②④⑤ (2)� = 10或� = 9.5 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的 关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得� + � = 10，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： 3 = 3 − 3 = 0，故①正确； � = � − � ，由于� − 1 < � ≤ �，∴ 0 ≤ � < 1，故②正确； ∵ {� + 1}表示� + 1的小数部分，∴ � + 1 = � ，故③错误； [ ]x 表示�的整数部分，∴ [� + 1] = [�] + 1，故④正确； ∵ [�] = �(�为整数），∴ � ≤ � < � + 1，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （2）解：∵ � ≥ 0， ∴ 2 � + 2 + � = 2 � + 2 + � = 2 � + 4 + � = 2� − � + 4， ∴ 3� − 6 = 2� − � + 4， ∴ � + � = 10， ∵ � 是�的小数部分， 当 � = 0时，� = 10； 当 � ≠ 0时， � = 9， ∴ � + � = � + 2 � = 9 + 2 � = 10， 可得 � = 0.5， ∴ � = 9 + 0.5 = 9.5， 综上可得� = 10或� = 9.5． 8．（1）1+ 3；（2） 5 − 2. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵4 + 2 3 = 12 + 2 3 + ( 3)2 = (1 + 3)2， ∴ 4 + 2 3 = (1 + 3)2 = 1 + 3； （2）∵7 − 2 10 = ( 5)2 − 2 5 ⋅ 2 + ( 2)2 = ( 5 − 2)2， ∴ 7 − 2 10 = ( 5 − 2)2 = 5 − 2. 9．（1） 1 2 ，4；（2）C；（3） 1 ��−2 �；（4）−19 【分析】（1）根据除方的定义，将原式变形求解； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的定义逐一判断即可； （3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式； （4）根据（3）中通项式将原式每一项展开，然后根据有理数混合运算的运算法则求解即可． 【详解】（1）2 ③ =2÷2÷2= 1 2 ， ( − 1 2 )④= − 1 2 ÷ − 1 2 ÷ − 1 2 ÷ − 1 2 = 1 2 × 2 × 2 × 2=4 故答案为 1 2 ，4； （2）A、任何非零数的圈 2次方就是两个相同数相除，所以都等于 1； 所以选项 A正确； B、因为多少个 1相除都是 1，所以对于任何正整数 n，1ⓝ都等于 1； 所以选项 B正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 C、3 ④ =3÷3÷3÷3= 1 9 ，4 ③ =4÷4÷4= 1 4 则 3 ④ ≠4 ③ ； 所以选项 C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于 偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项 D正确； 故选 C； （3）aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷a n﹣2 = 1 ��−2 ． （4）由（3）得：( − 1 3 )④= 1 −13 4−2 = 9，( − 1 2 )③= 1 −12 3−2 =− 2，( − 1 3 ) = 1 −13 8−2 = 36 故，原式=9 × −2 − 36 ÷ 36 =− 18 − 1 =− 19． 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘 除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负 数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法 运算，要注意运算顺序． 10．(1)248 不是“对偶数”，933 是“对偶数”，理由见详解 (2)224 或 514 【分析】（1）根据“对偶数”的定义直接判断即可； （2）先表示出�(�)，进而得出�(�) = � + � + 4，即可得出 18�(�) + 2(� − 4) = 7(2� + 2� + 9) + 6� + 4� + 1，进而得出(6� + 4� + 1)是 7的倍数，可推导 6� + 4� + 1 =21 或 35 或 49， 最后分类讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：248 不是“对偶数”，933 是“对偶数”，理由如下： ∵对于 248，2 + 4 + 8 = 14，14 不能被 4整除， ∴248 不是“对偶数”， ∵对于 933，9 + 3 + 3 = 15，15 能被 3整除， ∴933 是“对偶数”； （2）∵� = 100� + 10� + 4， ∴�1 = �4� = 100� + 40 + �，�2 = 4�� = 400 + 10� + �， ∴�(�) = �+�1+�2111 = 100� + 10� + 4 + 100� + 40 + � + 400 + 10� + � 111 = � + � + 4， ∴18�(�) + 2(� − 4) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 = 18(� + � + 4) + 2(� − 4) = 20� + 18� + 64 = 7(2� + 2� + 9) + 6� + 4� + 1， ∵18� � + 2 � − 4 能被 7整除， ∴(6� + 4� + 1)是 7的倍数， ∵1 ≤ � + � ≤ 9，且 a、b为整数， ∴1 ≤ � ≤ 8，1 ≤ � ≤ 8， ∴11 ≤ 6� + 4� + 1 ≤ 53， ∴6� + 4� + 1 =14 或 21 或 28 或 35 或 42 或 49， ∵6� + 4� = 2(3� + 2�)，即为偶数， ∴6� + 4� + 1是奇数， ∴6� + 4� + 1 =21 或 35 或 49， ①当 6� + 4� + 1 = 21时，� = 5 − 3 2 �， ∵a、b为整数， ∴� = 2， 2b  ， ∴� = 224， ∵ 2 2 4 8   ，8 能被 2整除， ∴224 是“对偶数”，符合题意； ②当 6� + 4� + 1 = 35时，� = 17−3� 2 ， ∵a、b为整数， ∴� = 1，� = 7或� = 3，� = 4或 5a  ，� = 1， 当� = 1，� = 7时，� = 174，1 + 7 + 4 = 12，12 不能被 7整除，故 174 不是“对偶数”， 不符合题意； 当� = 3，� = 4时，� = 344，3 4 4 11   ，11 不能被 4整除，故 344 不是“对偶数”，不符 合题意； 当 5a  ，� = 1时，� = 514，5 + 1 + 4 = 10，10 能被 1整除，故 514 是“对偶数”，符合题 意； ③当 6� + 4� + 1 = 49时，� = 12 − 3 2 �， ∵a、b为整数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴� = 4，� = 6或� = 6，� = 3， 当� = 4，� = 6时，� = 464，4 + 6 + 4 = 14，14 不能被 6整除，故 464 不是“对偶数”， 不符合题意； 当� = 6，� = 3时，� = 634，6 3 4 13   ，13 能被 3整除，故 634 不是“对偶数”，不符合题 意； 综上所述，所以满足条件的 n为 224 或 514． 【点睛】本题主要考查了整除问题以及新定义“对偶数”，正确理解新定义“对偶数”以及运 用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 11．(1)612； (2)见解析； (3)3417． 【分析】（1）依据“生成数”的定义求出“生成数”，再代入求出另外四个三位数，从而解 决问题， （2）设 m的百位数字、十位数字、个位数字分别为 a，b，c（都是整数），由题意得 2 ≤ � + � ≤ 18， 当 2 ≤ � + � ≤ 9和 10 ≤ � + � ≤ 18时，依据“生成数”的定义分别求出“生成数”，再代 入求出另外四个三位数即� � 可解决问题， （3）由题意，m的百位数字和十位数字和为� + � + 1，由� + � ≥ 9，求出 m的“生成数”是 17 59� + 6� + 61 − 2� − � + 4，结合题意分析得到� = 8，� = 5，从而解决问题． 【详解】（1）解：依题意 123的“生成数”为 1233， 得另四个三位数：233，133，123，123， ∴� 123 = 233 + 13 + 123 + 123 = 612； （2）设 m的百位数字、十位数字、个位数字分别为 a，b，c（都是整数）， 由题意得 2 ≤ � + � ≤ 18， 当 2 ≤ � + � ≤ 9时， 由 m的“生成数”得到四个三位数为 100� + 10� + � + �，100� + 10� + � + �，100� + 10� + � + �，100� + 10� + �， ∴� � = 303� + 1236 + 21� = 3 101� + 41� + 7� ， 即� � 能被 3整除， 当 10 ≤ � + � ≤ 18时，由 m的“生成数”得到四个三位数为 100� + 10� + � + � − 10，100� + 10� + � + � − 10，100� + 10� + � + � − 10，100� + 10� + �， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴� � = 303� + 123� + 21� − 30 即� � = 3 101� + 41� + 7� − 10 ， ∴� � 也能被 3整除， 综上所述� � 一定能被 3整除； （3）由题意，m的百位数字和十位数字和为� + � + 1， ∵� + � ≥ 9， ∴m的“生成数”是 1000 � + 1 + 100� + 50 + � + � + 1 − 10 = 1001� + 101� + 1041 = 17 59� + 6� + 61 − 2� − � + 4， 由题意则必有 2� + � − 4能被 17整除， 要使� � 最大，则 x取最大， ∵� + 1是千位数字， ∴� + 1 ≤ 9， ∴� ≤ 8， ∴� = 8， ∴2� + � − 4 = 12 + �能被 17整除， 而 1 ≤ � ≤ � ≤ 9， ∴� = 5， ∴m的最大值为 955，则 m的“生成数”为 9554， ∴� � 的最大值为 554 + 954 + 954 + 955 = 3417． 【点睛】本题考查了新定义下的实数、整式加减的相关运算；理解新定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 与实数有关的规律问题 1．观察，猜想，证明． 观察下列的等式 ①2 2 3 = 2+ 2 3 ；②3 3 8 = 3+ 3 8 ；③4 4 15 = 4+ 4 15 … （1）发现上述 3个等式的规律，猜想第 5个等式并进行验证； （2）写出含字母 n（n为任意自然数，且 n≥2）表示的等式，并写出证明过程． 2．现有一组有规律排列的数：1，−1， 2，− 2， 3，− 3，1，−1， 2，− 2， 3，− 3，… 其中，1，−1， 2，− 2， 3，− 3这六个数按此规律重复出现，问： (1)第 50 个数是什么数？ (2)把从第 1个数开始的前 2018 个数相加，结果是多少？ (3)从第 1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为 520，则共有多少个数的平方相 加？ 3．给定一个十进制下的自然数 x，对于 x每个数位上的数，求出它除以 2的余数，再把每一 个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数 x的“模二数”，记 为�2 � ．如�2 735 = 111，�2 561 = 101．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位 对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与 0相加得 0；0与 1相加得 1；1 与 1相加得 0，并向左边一位进 1．如 735、561 的“模二数”111、101 相加的运算过程如图 所示． ​ 1​​​1​​​1 + 1​​​0​​​1 1​ 1​​​0​​ 0 根据以上材料，解决下列问题： (1)�2 9653 的值为______，�2 58 +�2 9653 的值为______； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二 相加不变”． ①判断 12，65，97 这三个数中哪些与 23“模二相加不变”，并说明理由； ②与 23“模二相加不变”的两位数有______个． 4．阅读材料： 如果整数�，�满足� = �2 + �2，� = �2 + �2，其中�，�，�，�都是整数，那么一定存在整数�， �，使得�� = �2 + �2．例如，25 = 32 + 42， 2 240 2 6  ，25 × 40 = 302 + ( − 10)2或 25 × 40 = 182 + 262，…… 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知 5 = 12 + 22，74 = 52 + 72，5 × 74 = 192 + 32或 5 × 74 = �2 + 172，……若� > 0， 则� = ； (2)已知 41 = 42 + 52，� = �2 + �2（�，�为整数），41� = �2 + �2．若� = 5� − 4�，求� （用含�，�的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的�，�可以用含�，�，�，�的式子表示，请直接写出一组满足条件的 �，�（用含�，�，�，�的式子表示）． 5．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数� ∶ � < � < �，（其中�为满足 不等式的最大整数，�为满足不等式的最小整数），则称无理数�的“麓外区间”为 �, � ，如 1 < 2 < 2，所以 2的麓外区间为  1,2 ． (1)无理数 19的“麓外区间”是 ； (2)若� = � − 2 + 2 − � − 7，求�的“麓外区间”； (3)实数�，�，�满足 2� + 3� − � + 3� + 4� − 2� = � + � − 41 + 41 − � − �，求�的算 术平方根的“麓外区间”． 6．对于实数�，我们规定：用符号 � 表示不大于 �的最大整数，称 � 为�的根整数，例如： 9 = 3， 10 = 3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)仿照以上方法计算： 4 =________； 37 =________； (2)若 � = 1，写出满足题意的正整数�的值_________； (3)如果我们对�连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次， 10 = 3 → 3 = 1，这时候结果为 1．那么对 400 连续求根整数，多少次之后结果为 1？请写出你的求 解过程． (4)只需进行 2次连续求根整数运算后结果为 1的所有正整数中，最大的是_________． 7．规定：对任意的非负实数 n，用 � 表示不大于 n的最大整数，称为 n的整数部分，用 � 表示� − � 的值，称为 n的小数部分.例如： 1.3 = 1， 1.3 = 0.3， 5.4 = 5， 5.4 = 0.4； 请回答下列问题： (1)当� ≥ 0时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ① 3 = 0；②0 ≤ � < 1；③ � + 1 = � + 1；④ � + 1 = � + 1；⑤若 � = �（a为整数）， 则� ≤ � < � + 1 (2)当� ≥ 0时，解关于 x的方程 3� − 6 = 2 � + 2 + � 8．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将 � + 2 �化简，若你能找到两个数 m和 n，使 m 2 +n 2 =a 且 mn= �，则 a+2 � 可变为 m 2 +n 2 +2mn，即变成（m+n） 2 ，从而使得 � + 2 �化简． 例如：∵5+2 6=3+2+2 6=（ 3）2+（ 2）2+2 6=（ 3 + 2）2 ∴ 5 + 2 6= 3 + 2 2= 3 + 2 请你仿照上例将下列各式化简 （1） 4 + 2 3，（2） 7 − 2 10． 9．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2， （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2记作 2 ③ ，读 作“2的圈 3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3） ④ ，读作“﹣3的圈 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 4 次方”，一般地，把 � ÷ � ÷ � ÷ ⋯÷ � �个� （a≠0）记作 aⓝ，读作“a的圈 n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：2 ③ ＝ ，( − 1 2 )④＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈 2次方都等于 1； B．对于任何正整数 n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运 算有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：将一个非零有理数 a的圈 n次方写成幂的形式等于 ； （4）算一算： ( − 1 3 )④×( − 1 2 )③－( − 1 3 )⑧÷36． 10．对于各位数字均不为零的三位自然数 m abc，若�满足各位数字之和能被十位数字整除， 则称�为“对偶数”．例如� = 327，∵3 + 2 + 7 = 12，12 ÷ 2 = 6，∴327 是“对偶数”； 又如� = 136，∵1 + 3 + 6 = 10，10 不能被 3整除，∴136 不是“对偶数”．将�的百位数字 放在其个位数字后得�1 = ���，再将�1的百位数字放在其个位数字后得�2 = ���．记� � = �+�1+�2 111 ． (1)判断 248，933 是否是“对偶数”，并说明理由； (2)已知“对偶数”� = 100� + 10� + 4（其中 1 ≤ � + � ≤ 9），若 18� � + 2 � − 4 能被 7 整除，求出所有满足条件的�． 11．一个十位数字不为 0的三位数 m，若将 m的百位数字与十位数字相加，所得和的个位数字 放在 m的个位数字右边，与 m一起组成一个新的四位数，则把这个新四位数称为 m的“生成 数”．若再将 m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉，可以得到四个三位数，则把这四 个三位数之和记为� � ．例如：� = 558，∵5 + 5 = 10，∴558的“生成数”是 5580，将 5580 的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：580、580、550、558，则� � = 580 + 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 580 + 550 + 558 = 2268． (1)写出 123的“生成数”，并求� 123 的值； (2)说明� � 一定能被 3整除； (3)设� = 100� + 10� + 105（x，y为整数，1 ≤ � ≤ � ≤ 9且� + � ≥ 9），若 m的“生成数” 能被 17整除，求� � 的最大值．