专项6 与实数有关的规律问题-华东师大版八年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学华东师大版(2012)八年级上册
年级 八年级
章节 第11章 数的开方
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.41 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/49052542.html
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 6 与实数有关的规律问题 答案解析 1.(1)见解析;(2)� � �2−1 = � + � �2−1 ,理由见解析 【详解】试题分析:(1)根据二次根式规律即可求解,(2)根据二次根式规律可写出等式. 试题解析: (1)猜想:6 6 35 = 6+ 6 35 , 验证:右边= 6 + 6 35 = 210+6 35 = 216 35 = 36×6 35 = 6 6 35 =左边, (2)第 n﹣1个等式: � � �2−1 = � + � �2−1 , 证明:右边= � + � �2−1 = � � 2−1 +� �2−1 = � 3−�+� �2−1 = � � �2−1 =左边. 2.(1) −1 ; (2)0 ; (3)261 个数的平方相加 【分析】(1)首先根据这列数的排列规律,可得每 6个数一个循环:1,−1, 2,− 2, 3, − 3,然后用 50 除以 6,根据余数的情况判断出第 50 个数是什么数即可; (2)首先用 2018 除以 6,求出一共有多少个循环,以及剩下的数是多少;然后用循环的个数 乘以 1 + ( − 1) + 2 + ( − 2) + 3 + ( − 3) = 0,再加上剩下的数,求出把从第 1个数开始 的前 2018 个数相加,结果是多少即可; (3)首先求出 1,−1, 2,− 2, 3,− 3,六个数的平方和是多少;然后用 520 除以六 个数的平方和,根据商和余数的情况,判断出一共有多少个数的平方相加即可. 【详解】(1)因为 50 ÷ 6 = 8⋯2. 所以第 50 个数与第 2个数相同,是−1. (2)因为 1 + ( − 1) + 2 + ( − 2) + 3 + ( − 3) = 0,1 + ( − 1) = 0,2018 ÷ 6 = 336⋯2, 所以从第 1个数开始的前 2018 个数相加,结果是 0. (3)因为12 + ( − 1)2 + ( 2)2 + ( − 2)2 + ( 3)2 + ( − 3)2 = 12,520 ÷ 12 = 43⋯4,12 + ( − 1)2 + ( 2)2 = 4,所以从第 1个数起,把连续若干个数的平方加起来,如果和为 520.则共 有 43 × 6 + 3 = 261(个)数的平方相加. 【点睛】此题考查算术平方根,规律型:数字的变化类,解题关键在于找到计算规律. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 3.(1)1011,1101 (2)①12,97 都与 23“模二相加不变”;②38 【分析】(1)根据新定义运算即可; (2)分别求出�2(12) = 10,�2(65) = 01,�2(97) = 11,�2(23) = 01,再求出�2(12) + �2(23) = 11,�2(65) + �2(23) = 10,�2(97) + �2(23) = 100, �2(12 + 23) = 11, �2(65 + 23) = 00,�2(97 + 23) = 100,即可求解; (3)根据模二结果数分别为 10,11,01,00 分别讨论可得答案. 【详解】(1)解:�2(9653) = 1011,�2 58 +�2 9653 = 10 + 1011 = 1101 故答案为:1011,1101; (2)①∵ �2(12) = 10,�2(65) = 01,�2(97) = 11,�2(23) = 01, �2(12) + �2(23) = 10 + 01 = 11,�2(65) + �2(23) = 01 + 01 = 10,�2(97) + �2(23) = 11 + 01 = 100, ∵ �2(12 + 23) = �2(35) = 11,�2(65 + 23) = �2(88) = 00,�2(97 + 23) = �2(120) = 100, ∴ �2(12) + �2(23) = �2(12 + 23),�2(97) + �2(23) = �2(97 + 23), ∴12,97 都与 23“模二相加不变”. ②模二结果是 10 有:12,32,52,72,92,14,34,54,74,94,16,36,56,76,96,18, 38,58,78,98,10,30,50,70,90 共 25 个, 它们与模二数的和是 11, ∴12,32,52,72,14,34,54,74,16,36,56,76,10,30,50,70 满足题意; 模二结果是 11 的有:11,31,51,71,91,13,33,53,73,93,15,35,55,75,95,17, 37,57,77,97,19,39,59,79,99,共 25 个, 它们与模二数 23 的和是 100, ∴77,97,79,99 满足题意; 模二结果是 01 的有:21,23,25,27,29,41,43,45,47,49,61,63,65,67,69,81, 83,85,87,89 共 20 个, 它们与模二数 23 的和是 10, ∴27,29,47,49,67,69 满足题意; 模二结果是 00 的有:20,22,24,26,28,40,42,44,46,48,60,62,64,66,68,80, 82,84,86,88,共 20 个, 它们与模二数 23 的和是 01, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 ∴20,22,24,26,40,42,44,46,60,62,64,66 满足题意; ∴共有 38 个. 故答案为:38. 【点睛】本题考查定义新运算,数字的变化规律,理解定义内容,能将定义与已学内容相结合 是解题的关键. 4.(1)9 (2)� = 4� + 5�或� =− 4� − 5� (3)� = � �2 + �2,� = � �2 + �2 【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识,熟练掌握相关运算法则 是解题关键. (1)结合 5 × 74 = �2 + 172,� > 0,求解即可; (2)将� = 5� − 4�,� = �2 + �2代入 41� = �2 + �2,整理可得�2 = (4� + 5�)2,即可获得 答案; (3)根据题意,可得�� = (�2 + �2)(�2 + �2) = �2�2 + �2�2 + �2�2 + �2�2,结合�� = �2 + �2, 可令�2 = �2�2 + �2�2,�2 = �2�2 + �2�2,即可获得答案. 【详解】(1)解:∵5 × 74 = �2 + 172, ∴�2 = 5 × 74 − 172 = 370 − 289 = 81, ∴� =± 9, ∵� > 0, ∴� = 9. 故答案为:9; (2)解:根据题意,41� = �2 + �2,� = 5� − 4�,� = �2 + �2, ∴41(�2 + �2) = (5� − 4�)2 + �2, ∴41�2 + 41�2 = 25�2 − 40�� + 16�2 + �2 ∴�2 = 16�2 + 40�� + 25�2 = (4� + 5�)2, ∴� = 4� + 5�或� =− 4� − 5�; (3)解:∵� = �2 + �2,� = �2 + �2, ∴�� = (�2 + �2)(�2 + �2) = �2�2 + �2�2 + �2�2 + �2�2, 又∵�� = �2 + �2, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 令�2 = �2�2 + �2�2,�2 = �2�2 + �2�2, 此时可有一组解� = �2�2 + �2�2,� = �2�2 + �2�2, 即� = � �2 + �2,� = � �2 + �2. 5.(1) 4,5 (2) −3, − 2 (3) 6,7 【分析】本题考查无理数的估算,二次根式有意义的条件,非负性.熟练掌握相关知识点,并 灵活运用,是解题的关键. (1)夹逼法求出 19的取值范围,即可得出结果; (2)根据二次根式有意义的条件,得到 7b   ,进一步求出�的取值范围即可; (3)根据二次根式有意义的条件,结合算术平方根的非负性,得到 2� + 3� = �, 3� + 4� = 2�, � + � = 41,求出�, �, �的值,进而求出 �的“麓外区间”即可. 【详解】(1)解:∵ 16 < 19 < 25, ∴4 < 19 < 5, 即:无理数 19的“麓外区间”是 4,5 ; 故答案为: 4,5 ; (2)∵� = � − 2 + 2 − � − 7, ∴� − 2 ≥ 0,2 − � ≥ 0, ∴� = 2, ∴ 7b   , ∵ 4 < 7 < 9, ∴2 < 7 < 3, ∴ 3 7 2     , ∴�的“麓外区间”为 −3, − 2 ; (3)∵ 2� + 3� − � + 3� + 4� − 2� = � + � − 41 + 41 − � − �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∴� + � − 41 ≥ 0,41 − � − � ≥ 0, ∴� + � = 41, ∴ 2� + 3� − � + 3� + 4� − 2� = 0, ∴2� + 3� − � = 0,3� + 4� − 2� = 0, 联立: � + � = 41 2� + 3� − � = 0 3� + 4� − 2� = 0 , 解得: � = 82 � =− 41 � = 41 , ∴�的算术平方根为 41, ∵ 36 < 41 < 49, ∴6 < 41 < 7; ∴�的算术平方根的“麓外区间”为 6,7 . 6.(1)2,6; (2)1,2,3 (3)四次之后结果为 1,详见解析 (4)15,详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点, (1)根据题意得22 = 4,62 = 36,72 = 49,则 6 < 37 < 7,即可得; (2)根据[ �] = 1,12 = 1,22 = 4,x为正整数,即可得; (3)根据题意得,第一次:[ 400] = 20;第二次:[ 20] = 4;第三次:[ 4] 2 ,第四次:[ 2] = 1, 即可得; (4)由(2)得,进行 1次求根整数运算后结果为 1的正整数最大为 3,进行 1次求根整数运 算后结果为 3的正整数最大为 15,即可得; 解题的关键是理解题意,掌握无理数的估算. 【详解】(1)∵22 = 4,62 = 36,72 = 49, ∴6 < 37 < 7, ∴[ 4] 2 ,[ 37] = 6, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 故答案为:2,6; (2)∵[ �] = 1,12 = 1,22 = 4,x为正整数, ∴� = 1或� = 2或� = 3, 故答案为:1,2,3; (3)∵第一次:[ 400] = 20, 第二次:[ 20] = 4, 第三次:[ 4] 2 , 第四次:[ 2] = 1, ∴第四次之后结果为 1; (4)(4)最大的是 15,理由如下, 由(2)得,进行 1次求根整数运算后结果为 1的正整数最大为 3, ∵[ 15] = 3,[ 16] = 4, ∴进行 1次求根整数运算后结果为 3的正整数最大为 15, ∴只对一个正整数进行 2次连续求根整数运算后结果为 1,则这个正整数最大值是 15, 故答案为:15. 7.(1)①②④⑤ (2)� = 10或� = 9.5 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算,熟练掌握无理数估算的方法是解题的 关键. (1)根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案; (2)先根据题目中的规定对原方程进行整理得� + � = 10,再进行分类讨论,求解即可. 【详解】(1)解: 3 = 3 − 3 = 0,故①正确; � = � − � ,由于� − 1 < � ≤ �,∴ 0 ≤ � < 1,故②正确; ∵ {� + 1}表示� + 1的小数部分,∴ � + 1 = � ,故③错误; [ ]x 表示�的整数部分,∴ [� + 1] = [�] + 1,故④正确; ∵ [�] = �(�为整数),∴ � ≤ � < � + 1,故⑤正确, 故五个命题中为真命题的是①②④⑤, 故答案为:①②④⑤; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 (2)解:∵ � ≥ 0, ∴ 2 � + 2 + � = 2 � + 2 + � = 2 � + 4 + � = 2� − � + 4, ∴ 3� − 6 = 2� − � + 4, ∴ � + � = 10, ∵ � 是�的小数部分, 当 � = 0时,� = 10; 当 � ≠ 0时, � = 9, ∴ � + � = � + 2 � = 9 + 2 � = 10, 可得 � = 0.5, ∴ � = 9 + 0.5 = 9.5, 综上可得� = 10或� = 9.5. 8.(1)1+ 3;(2) 5 − 2. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解:(1)∵4 + 2 3 = 12 + 2 3 + ( 3)2 = (1 + 3)2, ∴ 4 + 2 3 = (1 + 3)2 = 1 + 3; (2)∵7 − 2 10 = ( 5)2 − 2 5 ⋅ 2 + ( 2)2 = ( 5 − 2)2, ∴ 7 − 2 10 = ( 5 − 2)2 = 5 − 2. 9.(1) 1 2 ,4;(2)C;(3) 1 ��−2 �;(4)−19 【分析】(1)根据除方的定义,将原式变形求解; (2)根据除方的定义,结合有理数除法的定义逐一判断即可; (3)根据除方定义展开,然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式; (4)根据(3)中通项式将原式每一项展开,然后根据有理数混合运算的运算法则求解即可. 【详解】(1)2 ③ =2÷2÷2= 1 2 , ( − 1 2 )④= − 1 2 ÷ − 1 2 ÷ − 1 2 ÷ − 1 2 = 1 2 × 2 × 2 × 2=4 故答案为 1 2 ,4; (2)A、任何非零数的圈 2次方就是两个相同数相除,所以都等于 1; 所以选项 A正确; B、因为多少个 1相除都是 1,所以对于任何正整数 n,1ⓝ都等于 1; 所以选项 B正确; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 C、3 ④ =3÷3÷3÷3= 1 9 ,4 ③ =4÷4÷4= 1 4 则 3 ④ ≠4 ③ ; 所以选项 C错误; D、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于 偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项 D正确; 故选 C; (3)aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷a n﹣2 = 1 ��−2 . (4)由(3)得:( − 1 3 )④= 1 −13 4−2 = 9,( − 1 2 )③= 1 −12 3−2 =− 2,( − 1 3 ) = 1 −13 8−2 = 36 故,原式=9 × −2 − 36 ÷ 36 =− 18 − 1 =− 19. 【点睛】本题是有理数的混合运算,也是一个新定义的理解与运用;一方面考查了有理数的乘 除法及乘方运算,另一方面也考查了学生的阅读理解能力;注意:负数的奇数次方为负数,负 数的偶数次方为正数,同时也要注意分数的乘方要加括号,对新定义,其实就是多个数的除法 运算,要注意运算顺序. 10.(1)248 不是“对偶数”,933 是“对偶数”,理由见详解 (2)224 或 514 【分析】(1)根据“对偶数”的定义直接判断即可; (2)先表示出�(�),进而得出�(�) = � + � + 4,即可得出 18�(�) + 2(� − 4) = 7(2� + 2� + 9) + 6� + 4� + 1,进而得出(6� + 4� + 1)是 7的倍数,可推导 6� + 4� + 1 =21 或 35 或 49, 最后分类讨论即可求出答案. 【详解】(1)解:248 不是“对偶数”,933 是“对偶数”,理由如下: ∵对于 248,2 + 4 + 8 = 14,14 不能被 4整除, ∴248 不是“对偶数”, ∵对于 933,9 + 3 + 3 = 15,15 能被 3整除, ∴933 是“对偶数”; (2)∵� = 100� + 10� + 4, ∴�1 = �4� = 100� + 40 + �,�2 = 4�� = 400 + 10� + �, ∴�(�) = �+�1+�2111 = 100� + 10� + 4 + 100� + 40 + � + 400 + 10� + � 111 = � + � + 4, ∴18�(�) + 2(� − 4) 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 = 18(� + � + 4) + 2(� − 4) = 20� + 18� + 64 = 7(2� + 2� + 9) + 6� + 4� + 1, ∵18� � + 2 � − 4 能被 7整除, ∴(6� + 4� + 1)是 7的倍数, ∵1 ≤ � + � ≤ 9,且 a、b为整数, ∴1 ≤ � ≤ 8,1 ≤ � ≤ 8, ∴11 ≤ 6� + 4� + 1 ≤ 53, ∴6� + 4� + 1 =14 或 21 或 28 或 35 或 42 或 49, ∵6� + 4� = 2(3� + 2�),即为偶数, ∴6� + 4� + 1是奇数, ∴6� + 4� + 1 =21 或 35 或 49, ①当 6� + 4� + 1 = 21时,� = 5 − 3 2 �, ∵a、b为整数, ∴� = 2, 2b  , ∴� = 224, ∵ 2 2 4 8   ,8 能被 2整除, ∴224 是“对偶数”,符合题意; ②当 6� + 4� + 1 = 35时,� = 17−3� 2 , ∵a、b为整数, ∴� = 1,� = 7或� = 3,� = 4或 5a  ,� = 1, 当� = 1,� = 7时,� = 174,1 + 7 + 4 = 12,12 不能被 7整除,故 174 不是“对偶数”, 不符合题意; 当� = 3,� = 4时,� = 344,3 4 4 11   ,11 不能被 4整除,故 344 不是“对偶数”,不符 合题意; 当 5a  ,� = 1时,� = 514,5 + 1 + 4 = 10,10 能被 1整除,故 514 是“对偶数”,符合题 意; ③当 6� + 4� + 1 = 49时,� = 12 − 3 2 �, ∵a、b为整数, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 ∴� = 4,� = 6或� = 6,� = 3, 当� = 4,� = 6时,� = 464,4 + 6 + 4 = 14,14 不能被 6整除,故 464 不是“对偶数”, 不符合题意; 当� = 6,� = 3时,� = 634,6 3 4 13   ,13 能被 3整除,故 634 不是“对偶数”,不符合题 意; 综上所述,所以满足条件的 n为 224 或 514. 【点睛】本题主要考查了整除问题以及新定义“对偶数”,正确理解新定义“对偶数”以及运 用分类讨论的思想分析问题是解题的关键. 11.(1)612; (2)见解析; (3)3417. 【分析】(1)依据“生成数”的定义求出“生成数”,再代入求出另外四个三位数,从而解 决问题, (2)设 m的百位数字、十位数字、个位数字分别为 a,b,c(都是整数),由题意得 2 ≤ � + � ≤ 18, 当 2 ≤ � + � ≤ 9和 10 ≤ � + � ≤ 18时,依据“生成数”的定义分别求出“生成数”,再代 入求出另外四个三位数即� � 可解决问题, (3)由题意,m的百位数字和十位数字和为� + � + 1,由� + � ≥ 9,求出 m的“生成数”是 17 59� + 6� + 61 − 2� − � + 4,结合题意分析得到� = 8,� = 5,从而解决问题. 【详解】(1)解:依题意 123的“生成数”为 1233, 得另四个三位数:233,133,123,123, ∴� 123 = 233 + 13 + 123 + 123 = 612; (2)设 m的百位数字、十位数字、个位数字分别为 a,b,c(都是整数), 由题意得 2 ≤ � + � ≤ 18, 当 2 ≤ � + � ≤ 9时, 由 m的“生成数”得到四个三位数为 100� + 10� + � + �,100� + 10� + � + �,100� + 10� + � + �,100� + 10� + �, ∴� � = 303� + 1236 + 21� = 3 101� + 41� + 7� , 即� � 能被 3整除, 当 10 ≤ � + � ≤ 18时,由 m的“生成数”得到四个三位数为 100� + 10� + � + � − 10,100� + 10� + � + � − 10,100� + 10� + � + � − 10,100� + 10� + �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 ∴� � = 303� + 123� + 21� − 30 即� � = 3 101� + 41� + 7� − 10 , ∴� � 也能被 3整除, 综上所述� � 一定能被 3整除; (3)由题意,m的百位数字和十位数字和为� + � + 1, ∵� + � ≥ 9, ∴m的“生成数”是 1000 � + 1 + 100� + 50 + � + � + 1 − 10 = 1001� + 101� + 1041 = 17 59� + 6� + 61 − 2� − � + 4, 由题意则必有 2� + � − 4能被 17整除, 要使� � 最大,则 x取最大, ∵� + 1是千位数字, ∴� + 1 ≤ 9, ∴� ≤ 8, ∴� = 8, ∴2� + � − 4 = 12 + �能被 17整除, 而 1 ≤ � ≤ � ≤ 9, ∴� = 5, ∴m的最大值为 955,则 m的“生成数”为 9554, ∴� � 的最大值为 554 + 954 + 954 + 955 = 3417. 【点睛】本题考查了新定义下的实数、整式加减的相关运算;理解新定义是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 6 与实数有关的规律问题 1.观察,猜想,证明. 观察下列的等式 ①2 2 3 = 2+ 2 3 ;②3 3 8 = 3+ 3 8 ;③4 4 15 = 4+ 4 15 … (1)发现上述 3个等式的规律,猜想第 5个等式并进行验证; (2)写出含字母 n(n为任意自然数,且 n≥2)表示的等式,并写出证明过程. 2.现有一组有规律排列的数:1,−1, 2,− 2, 3,− 3,1,−1, 2,− 2, 3,− 3,… 其中,1,−1, 2,− 2, 3,− 3这六个数按此规律重复出现,问: (1)第 50 个数是什么数? (2)把从第 1个数开始的前 2018 个数相加,结果是多少? (3)从第 1个数起,把连续若干个数的平方加起来,如果和为 520,则共有多少个数的平方相 加? 3.给定一个十进制下的自然数 x,对于 x每个数位上的数,求出它除以 2的余数,再把每一 个余数按照原来的数位顺序排列,得到一个新的数,定义这个新数为原数 x的“模二数”,记 为�2 � .如�2 735 = 111,�2 561 = 101.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位 对齐,从右往左依次将相应数位上的数分别相加,规定:0与 0相加得 0;0与 1相加得 1;1 与 1相加得 0,并向左边一位进 1.如 735、561 的“模二数”111、101 相加的运算过程如图 所示. ​ 1​​​1​​​1 + 1​​​0​​​1 1​ 1​​​0​​ 0 根据以上材料,解决下列问题: (1)�2 9653 的值为______,�2 58 +�2 9653 的值为______; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 (2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等,则称这两个数为“模二 相加不变”. ①判断 12,65,97 这三个数中哪些与 23“模二相加不变”,并说明理由; ②与 23“模二相加不变”的两位数有______个. 4.阅读材料: 如果整数�,�满足� = �2 + �2,� = �2 + �2,其中�,�,�,�都是整数,那么一定存在整数�, �,使得�� = �2 + �2.例如,25 = 32 + 42, 2 240 2 6  ,25 × 40 = 302 + ( − 10)2或 25 × 40 = 182 + 262,…… 根据上述材料,解决下列问题: (1)已知 5 = 12 + 22,74 = 52 + 72,5 × 74 = 192 + 32或 5 × 74 = �2 + 172,……若� > 0, 则� = ; (2)已知 41 = 42 + 52,� = �2 + �2(�,�为整数),41� = �2 + �2.若� = 5� − 4�,求� (用含�,�的式子表示); (3)一般地,上述材料中的�,�可以用含�,�,�,�的式子表示,请直接写出一组满足条件的 �,�(用含�,�,�,�的式子表示). 5.任意一个无理数介于两个整数之间,我们定义,若无理数� ∶ � < � < �,(其中�为满足 不等式的最大整数,�为满足不等式的最小整数),则称无理数�的“麓外区间”为 �, � ,如 1 < 2 < 2,所以 2的麓外区间为  1,2 . (1)无理数 19的“麓外区间”是 ; (2)若� = � − 2 + 2 − � − 7,求�的“麓外区间”; (3)实数�,�,�满足 2� + 3� − � + 3� + 4� − 2� = � + � − 41 + 41 − � − �,求�的算 术平方根的“麓外区间”. 6.对于实数�,我们规定:用符号 � 表示不大于 �的最大整数,称 � 为�的根整数,例如: 9 = 3, 10 = 3. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 (1)仿照以上方法计算: 4 =________; 37 =________; (2)若 � = 1,写出满足题意的正整数�的值_________; (3)如果我们对�连续求根整数,直到结果为1停止.例如:对10连续求根整数2次, 10 = 3 → 3 = 1,这时候结果为 1.那么对 400 连续求根整数,多少次之后结果为 1?请写出你的求 解过程. (4)只需进行 2次连续求根整数运算后结果为 1的所有正整数中,最大的是_________. 7.规定:对任意的非负实数 n,用 � 表示不大于 n的最大整数,称为 n的整数部分,用 � 表示� − � 的值,称为 n的小数部分.例如: 1.3 = 1, 1.3 = 0.3, 5.4 = 5, 5.4 = 0.4; 请回答下列问题: (1)当� ≥ 0时,以下五个命题中为真命题的是 (填序号) ① 3 = 0;②0 ≤ � < 1;③ � + 1 = � + 1;④ � + 1 = � + 1;⑤若 � = �(a为整数), 则� ≤ � < � + 1 (2)当� ≥ 0时,解关于 x的方程 3� − 6 = 2 � + 2 + � 8.阅读下面的解答过程,然后作答: 有这样一类题目:将 � + 2 �化简,若你能找到两个数 m和 n,使 m 2 +n 2 =a 且 mn= �,则 a+2 � 可变为 m 2 +n 2 +2mn,即变成(m+n) 2 ,从而使得 � + 2 �化简. 例如:∵5+2 6=3+2+2 6=( 3)2+( 2)2+2 6=( 3 + 2)2 ∴ 5 + 2 6= 3 + 2 2= 3 + 2 请你仿照上例将下列各式化简 (1) 4 + 2 3,(2) 7 − 2 10. 9.【概念学习】规定:求若干个相同的有理数(均不等于 0)的除法运算叫做除方,如 2÷2÷2, (﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把 2÷2÷2记作 2 ③ ,读 作“2的圈 3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3) ④ ,读作“﹣3的圈 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 4 次方”,一般地,把 � ÷ � ÷ � ÷ ⋯÷ � �个� (a≠0)记作 aⓝ,读作“a的圈 n次方”. 【初步探究】(1)直接写出计算结果:2 ③ = ,( − 1 2 )④= ; (2)关于除方,下列说法错误的是 A.任何非零数的圈 2次方都等于 1; B.对于任何正整数 n,1ⓝ=1; C.3④=4③ D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数. 【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运 算有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? (3)想一想:将一个非零有理数 a的圈 n次方写成幂的形式等于 ; (4)算一算: ( − 1 3 )④×( − 1 2 )③-( − 1 3 )⑧÷36. 10.对于各位数字均不为零的三位自然数 m abc,若�满足各位数字之和能被十位数字整除, 则称�为“对偶数”.例如� = 327,∵3 + 2 + 7 = 12,12 ÷ 2 = 6,∴327 是“对偶数”; 又如� = 136,∵1 + 3 + 6 = 10,10 不能被 3整除,∴136 不是“对偶数”.将�的百位数字 放在其个位数字后得�1 = ���,再将�1的百位数字放在其个位数字后得�2 = ���.记� � = �+�1+�2 111 . (1)判断 248,933 是否是“对偶数”,并说明理由; (2)已知“对偶数”� = 100� + 10� + 4(其中 1 ≤ � + � ≤ 9),若 18� � + 2 � − 4 能被 7 整除,求出所有满足条件的�. 11.一个十位数字不为 0的三位数 m,若将 m的百位数字与十位数字相加,所得和的个位数字 放在 m的个位数字右边,与 m一起组成一个新的四位数,则把这个新四位数称为 m的“生成 数”.若再将 m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉,可以得到四个三位数,则把这四 个三位数之和记为� � .例如:� = 558,∵5 + 5 = 10,∴558的“生成数”是 5580,将 5580 的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是:580、580、550、558,则� � = 580 + 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 580 + 550 + 558 = 2268. (1)写出 123的“生成数”,并求� 123 的值; (2)说明� � 一定能被 3整除; (3)设� = 100� + 10� + 105(x,y为整数,1 ≤ � ≤ � ≤ 9且� + � ≥ 9),若 m的“生成数” 能被 17整除,求� � 的最大值.

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专项6 与实数有关的规律问题-华东师大版八年级上册期末专项(初中数学)
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