专项7 数轴的折叠问题-华东师大版七年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 数轴的折叠问题 1．如图，在长方形纸片上有一条数轴，其中 A点表示的数为−2，B点表示的数为 2，点 C表 示的数为 1.5，若先将纸条关于 B点对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点 A与点 B重 合，经过两次折叠后数轴上与点 C重合的点所表示的数是 x，当� > 2时，x的值为 ． 2．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： （1）已知点�，�，�表示的数分别为 1，− 5 2 ，-3．观察数轴，与点�的距离为 3 的点表示的数 是____，�，�两点之间的距离为_____． （2）数轴上，点�关于点�的对称点表示的数是_____． （3）若将数轴折叠，使得�点与�点重合，则与�点重合的点表示的数是_____；若此数轴上�， �两点之间的距离为 2019(�在�的左侧)，且当�点与�点重合时，�点与�点也恰好重合，则点 �表示的数是_____，点�表示的数是_____； （4）若数轴上�，�两点间的距离为� (�在�左侧)，表示数�的点到�，�两点的距离相等，将 数轴折叠，当�点与�点重合时，点�表示的数是_____，点�表示的数是_____(用含�，�的式子 表示这两个数)． 3．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数 与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴， 进行如下操作探究： (1)操作 1：折叠纸带，若数轴上表示 1 的点与表示 5 的点重合，则与表示 10的点重合的点表 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 示的数是______．此时表示数 a的点与表示数______的点重合． (2)操作 2：若点 A、B表示的数分别是−1、4，点 P从点 A出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度 的速度向左匀速运动；同时，点 Q从点 B出发，沿数轴以每秒 4个单位长度的速度向左匀速 运动．设运动时间为 t秒，在运动过程中，当 t为何值时，点 P与点 Q之间的距离为 2； (3)操作 3：在数轴上剪下 6 个单位长度（从−1到 5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左 对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为 1: 2: 3， 则折痕处对应的点表示的数可能是______． 4．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数-1的点与表示数 5 的点重合， 请你回答以下问题： (1)表示数−2的点与表示数 的点重合；表示数 7的点与表示数 的点重合． (2)若数轴上点 A在点 B的左侧，A，B两点之间的距离为 12，且 A，B两点按小明的方法折叠 后重合，则点 A表示的数是 ，点 B表示的数是 ； (3)已知数轴上的点 M分别到（2）中 A，B两点的距离之比为 2：1，求 M表示的数是多少？ 5．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点�，�，�表示的数分别为 1，− 5 2 ，−3.观察数轴，与点�的距离为 3 的点表示的数是 ______，�，�两点之间的距离为______． (2)数轴上，点�关于点�的对称点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得�点与�点重合，则与�点重合的点表示的数是______；若此数轴上�， �两点之间的距离为 2021（�在�的左侧），且当�点与�点重合时，�点与�点也恰好重合， 则点�表示的数是______，点�表示的数是______． (4)若数轴上�，�两点间的距离为�（�在�左侧），表示数�的点到�，�两点的距离相等，将 数轴折叠，当�点与�点重合时，点�表示的数是______，点�表示的数是______（用含�，� 的式子表示这两个数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6．【阅读】 |3 − 1|表示 3与 1 差的绝对值，也可理解为 3 与 1 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； |3 + 1|可以看作|3 − ( − 1)|，表示 3 与−1的差的绝对值也可理解为 3 与−1两数在数轴上所对 应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示 4 和-2的两点之间的距离是____ （2）①若|� − ( − 1)| = 3，则 x= ②若使 x所表示的点到表示 3和-2 的点的距离之和为 5，所有符合条件的整数 x的和为____ 【折叠】 小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若 1 表示的点和-1表示的点重合，则 3 表示的点与____表示的点重合． （4）折叠纸面，若 3 表示的点和-5表示的点重合，则 ①10 表示的点和____表示的点重合； ②这时如果 A，B（A在 B的左侧）两点之间的距离为 2022且 A，B两点经折叠后重合，则点 A表示的数是___，点 B表示的数是__； ③若点 A表示的数为 a，点 B表示的数为 b，且 A，B两点经折叠后重合，试求 a与 b 之间的 数量关系． 7．【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我 们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴， 可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动 如图 1，数轴上的一点�向右移动 4 个单位长度，再向左移动 1个单位长度到达点�． ①� =______（用含�的代数式表示）； ②将点�沿着数轴先向右移动 ( 5 2)b a  个单位长度，再向左移动(1 − 3�)个单位长度得到点�， 求点�表示的数； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ③一机器人从原点�开始，第 1 次向左移动 1个单位，紧接着第 2 次向右移动 2个单位，第 3 次向左移动 3个单位，第 4 次向右移动 4个单位，…，以此规律，当它移动 2023次时，所在 数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换 ①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点�与点�恰好重合，则点�与点�表示的数e、 �满足关系：______； ②若以表示−1的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示−987的点重合的点在数轴上表 示的数是______； ③如图 2，一条数轴上有点�、�、�，其中点�、�表示的数分别是−20、8，现以点�为折点， 将数轴向右对折重合，若点�、�对应重合的点分别为点�'、�'，点�'与点�相距 2个单位长 度，请直接写出点�表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 8．已知多项式 2�2�4 − 3�� − 2的次数为�，项数为�，常数项为�．如图，在数轴上�点表示 数�，�点表示数�，�点表示数�，�点表示数�（� ≠ 3）． (1)� =______，� =______，� =______． (2)若将数轴对折，使得对折后．．．�点与�点重合，此时点�与点�也重合，求点�所表示的数�； (3)若将数轴从点�处对折，使得对折后．．．�� = 2��，求点�所表示的数�． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 数轴的折叠问题 答案解析 1．5.5 【分析】本题考查了数轴的应用、线段中点的有关计算、二次根式的加减运算，熟练掌握线段 中点的计算以及二次根式的加减运算是解题的关键． 先求出第一次对折后与 C重合的点为 2.5，再计算出第二次的折痕点 4，再根据线段中点进行 计算即可． 【详解】解：∵折痕点为对应点所连线段的中点， 第一次对折的折痕点为：B， ∴第一次对折后与 C重合的点为：2.5， ∴第一次对折后与 A重合的点是 6， ∴第二次折痕点表示的数为： 6 + 2 ÷ 2 = 4， ∴第二次对折后与 C重合的点表示的数为：� = 4 × 2 − 2.5 = 5.5． 2．（1）-2或 4；7 2 ；（2）9 2 ；（3）1 2 ；−1010.5；1008.5；（3）� − � 2； � + � 2 【分析】（1）根据数轴即可求出与点�的距离为 3 的点表示的数，然后根据数轴上两点之间 的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点的中点公式计算即可； （3）根据数轴上两点的中点公式即可求出对称中心所表示的数，从而求出结论； （4）设点�表示的数是 p，则点 Q 表示的数为 p＋a，再根据中点公式列出等式即可求出结论． 【详解】解：（1）由数轴可知：点�的距离为 3 的点表示的数是-2或 4；�，�两点之间的距 离为 1－ − 5 2 =7 2 故答案为：-2或 4；7 2 ； （2）点�关于点�的对称点表示的数是 2×1－ − 5 2 =9 2 故答案为： 9 2 ； （3）若将数轴折叠，使得�点与�点重合，则此时对称中心所表示的数为−3+1 2 =− 1 则与�点重合的点表示的数是 2×（-1）－ − 5 2 =1 2 ； ∵此数轴上�，�两点之间的距离为 2019(�在�的左侧)， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴设 M点所表示的数为 m，则 N点所表示是数为 m＋2019 ∵当�点与�点重合时，�点与�点也恰好重合， ∴ �+ �+2019 2 =− 1 解得：m=−1010.5 ∴M点所表示的数为−1010.5，则 N点所表示是数为 m＋2019=1008.5 故答案为： 1 2 ；−1010.5；1008.5 （4）∵数轴上�，�两点间的距离为� (�在�左侧)， ∴设点�表示的数是 p，则点 Q 表示的数为 p＋a ∵表示数�的点到�，�两点的距离相等， ∴ �+ �+� 2 = � 解得：p=� − � 2，即点�表示的数是� − � 2 ∴点 Q 表示的数为� − � 2 + � = � + � 2． 故答案为：� − � 2； � + � 2． 【点睛】此题考查的是数轴的相关运算，掌握数轴上两点之间的距离公式和中点公式是解决此 题的关键． 3．(1)−4，6 − � (2)� = 1.5秒或 3.5秒时，点�与点�之间的距离为 2 (3)1或 1.5或 2.5或 3 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应 用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数 差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为 3，根据两点间的距离可得答案； （2）分两种情况：点�在点 Q左边； 点 P在点 Q右边； 分别根据行程问题列出方程解答便 可； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为 1: 2: 3列式求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上表示 1 的点与表示 5的点重合， ∴折痕点表示的数是 5+1 2 = 3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴表示数 10的点与它重合的点重表示的数为：3 2 10 4    ， 表示数 a的点与它重合的点重表示的数为：3 × 2 − � = 6 − �， 故答案为∶−4，6 − �； （2）当点 P在点�左边时，则 2� + 5 = 4� + 2，解得， 当点 P在点 Q的右边时，则2 5 2 4t t   ，解得� = 3.5， 综上，当� = 1.5秒或 3.5秒时，点�与点�之间的距离为 2； （3）解：设表示−1的点是�， 表示 5 的是�， ∴ �� = 6． ∴ 6 1+2+3 = 1， 当三条线段的比值为时 1: 2: 3时，−1+ 1 = 0，5 3 2  ，则0+2 2 = 1； 当三条线段的比值为 1: 3: 2时，−1+ 1 = 0，5 − 2 = 3，则0+3 2 = 1.5； 当三条线段的比值为 2: 1: 3时，−1+ 2 = 1，5 3 2  ，则1+2 2 = 1.5； 当三条线段的比值为 2: 3: 1时，−1+ 2 = 1，5 − 1 = 4，则1+4 2 = 2.5； 当三条线段的比值为 3: 1: 2时，−1+ 3 = 2，5 − 2 = 3，则2+3 2 = 2.5； 当三条线段的比值为 3: 2: 1时，−1+ 3 = 2，5 − 1 = 4，则2+4 2 = 3； 故答案为∶1或 1.5或 2.5或 3． 4．(1)6, − 3 (2)−4,8 (3)4，20． 【分析】（1）求出折叠点所表示的数，再根据两数到折叠点的距离相等可得答案； （2）根据题意得出� − � = 12，� + � = 4，求出 a、b即可； （3）根据��：�� = 2：1分类讨论，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）折叠数轴，当数轴上表示数-1的点与表示数 5的点重合时，折叠点所表示的数 为 1 2 −1+ 5 = 2， 设表示数−2的点与表示数 x的点重合， 则 1 2 −2+ � = 2，解得�=6， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 设表示数 7的点与表示数 y的点重合， 则 1 2 7 + � = 2，解得� =− 3， 故答案为：6，− 3； （2）设点 A所表示的数分别为 a，由于点 A在点 B的左侧，A，B两点之间的距离为 12，则 点�表示的数为� + 12 而 A，B两点按小明的方法折叠后重合，则1 2 � + � + 12 = 2， 解得：� =− 4， 则点�表示的数为−4+ 12 = 8， 即点 A所表示的数是−4，点 B所表示的数是 8； （3）设点 M所表示的数为 m， 当��：�� = 2：1时，①点�在��之间， 即 ( 4) : (8 ) 2 :1m m   解得 m=4， ②点�在�点右边， (� + 4): (� − 8) = 2: 1 解得 m=20， 所以点 M所表示的数为 4，20． 【点睛】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法，理解数轴上两点之间距离的计算方法是解决 问题的前提． 5．(1)4 或-2，3.5 (2)4.5 (3)0.5，-1011.5，1009.5 (4)n- � 2，n+ � 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）根据对称的性质可得对称点的坐标； （3）根据 A与 C重合表示对称点，可得与 B点重合的点表示的数；同理根据折叠后点 A与点 C重合，点 M与点 N也重合，即可求解； （4）根据数轴上的点左减，右加，即可求表示数 n的点到 P、Q两点的距离相等的算式． 【详解】（1）解：（1）观察数轴可知： 与点 A的距离为 3的点表示的数是 1+3=4 或 1-3=-2， A、B两点之间的距离为 1-(-5 2 )=3.5． 故答案为：4或-2，3.5； （2）解：点 B关于点 A的对称点表示的数是：1-(-5 2 )+1=4.5， 故答案为：4.5； （3）解：∵将数轴折叠，使得 A点与 C点重合， ∴对称点表示的数为：-1， ∴与点 B重合的点表示的数是：-1+[-1-(-2.5)]=0.5； M表示的数是：-1-2021 2 =-1011.5， N表示的数是：-1+2021 2 =1009.5， 故答案为：0.5，-1011.5，1009.5； （4）解：根据题意，得 P表示的数为：n- � 2，Q表示的数为：n+ � 2． 故答案为：n- � 2，n+ � 2． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，折叠的性质，列代数式等知识，解决本题的关键是 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． 6．（1）6；（2）①-4或 2②3；（3）-3；（4）①-12；②-1012；1010；③-2 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程 1 3x   或� + 1 =− 3，求出�的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知−2⩽�⩽3时，|� − 3| + |� + 2| = 5，求出符合条件的整数�即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ②设�点表示的数是�，则�点表示的数是� + 2022，根据中点坐标公式求出�，即可求解； ③根据①②结合中点坐标公式可求� + � =− 2． 【详解】（1）表示 4 和−2两点之间的距离是 | 4 ( 2) | 6   ， 故答案为：6； （2）① | ( 1) | 3x    ， 1 3x   或� + 1 =− 3， 解得� = 2或� =− 4， 故答案为：2或−4； ②∵使�所表示的点到表示 3 和−2的点的距离之和为 5， | 3 | | 2 | 5x x     ， 3 与−2的距离是 5， 2 3x ， x 是整数， x 的值为−2，−1，0，1，2，3， ∴所有符合条件的整数�的和为 3， 故答案为：3； （3）∵ 1表示的点和−1表示的点重合， ∴折叠点对应的数是 0， ∴ 3表示的点与−3表示的点重合， 故答案为：−3； （4）① 3 表示的点和−5表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是3−5 2 =− 1， ∴− 2 − 10 =− 12， ∴ 10表示的点和−12表示的点重合， 故答案为：−12； ②设�点表示的数是�，则�点表示的数是� + 2022， ∴− 1 = �+�+2022 2 ， 解得� =− 1012， ∴点�表示的数−1012，点�表示的数是 1010， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 故答案为：−1012，1010； ③∵点�表示的数为�，点�表示的数为�，且�，�两点经折叠后重合， ∴ � + � =− 2， 故答案为：� + � =− 2． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质， 利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 7．（1）① 3a ；②� − � + 1；③−1012；（2）①� + � = 0；②985；③P对应的数为−5 或 7 ．迁移拓展：问题见解析，�表示的数为−3． 【分析】（1）①根据用数轴上的点表示有理数的方法即可求解．②根据题意先列式再计算 可求解．③先列式，再利用规律求解即可； （2）①根据翻折的性质结合相反数的特点即可求解．②根据数轴上两点之间的距离先求解 折痕对应的数，再列式即可求解．③设折点 P对应的数为�，则�'对应的数为 2� + 20，利用 点�'与点�相距 2个单位长度，再建立方程即可求解． 迁移拓展：仿照（1）（2）设置问题，再解答即可． 【详解】解：（1）①数�为� + 4 − 1 = � + 3； ②点�沿着数轴先向右移动 ( 5 2)b a  个单位长度，再向左移动(1 − 3�)个单位长度得到点�， 点�表示的数为； � + � − 5� + 2 − 1 − 3� = � + � − 5� + 2 − 1 + 3� = � − � + 1； ③由题意可得： 0 − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 2021 + 2022 − 2023 = 1 + 1 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 1 − 2023 = 1 × 1011 − 2023 = 1011 − 2023 1012  ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点�与点�恰好重合，则点�与点�表示的 数e、�满足关系为� + � = 0； ②由题意可得：−1+ −1 − −987 =− 2 + 987 = 985； ③设折点 P对应的数为�，则�'对应的数为 2� + 20， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵点�'与点�相距 2个单位长度， ∴ 2� + 20 − 8 = 2，即 2� + 12 = 2， ∴2� + 12 = 2或 2� + 12 =− 2， 解得：� =− 5或 7x   ， ∴P对应的数为−5或 7 ． 迁移拓展：问题如下： 一条数轴上有点�、�、�，其中点�、�表示的数分别是 17 、8，现以点�为折点，将数轴向 右对折，若点�对应的点�'落在点�的右边，把�'向右平移 2 个单位得到点�，并且线段QN的 长度为 5，请直接写出点�表示的数． 解答如下： 点�对应的点�'落在点�的右边，把�'向右平移 2 个单位得到点�， 设�'在数轴上表示的数为�，则�对应的数为 2m ， ∴�� = �+ 2 − 8 = �− 6， ∴�− 6 = 5， ∴� = 11， ∴ �点为−17+11 2 =− 3，故�表示的数为−3． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，整式的加 减运算的应用，绝对值方程与一元一次方程的应用，熟练的表示折痕点与折后对应点对应的数 是解本题的关键． 8．(1)6,3, − 2 (2)1 (3)−13或10 3 或 19或5 3 【分析】本题考查多项式定义，数轴点坐标表示，相反数定义，代数式表示线段长． （1）根据多项式定义即可得到本题答案； （2）根据中点坐标公式即可得到本题答案； （3）根据题意先计算出�� = 8，再根据�� = 16分情况讨论点�所在的位置即可得到本题答 案． 【详解】（1）解：∵多项式 2�2�4 − 3�� − 2的次数为�，项数为�，常数项为�， ∵多项式的次数及单项式次数最大项的次数即为多项式次数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴� = 2 + 4 = 6， ∵共计三项，分别是：2�2�4, 3��, − 2 ∴� = 3， ∴ 2c   ， 综上所述：� = 6, � = 3, � =− 2； （2）解：�点表示数�，�点表示数�，�点表示数�，�点表示数�， 由（1）得：� = 6, � = 3, � =− 2， ∵将数轴对折，使得对折后．．．�点与�点重合， ∴中点表示的数为： 6+(−2) 2 = 2， ∵点�与点�也重合， ∴ 3+� 2 = 2， ∴� = 1； （3）解：∵将数轴从点�处对折，使得对折后．．．�� = 2��， ∴对点�的位置分情况讨论： ①当点�在�右侧时， 对折后，�� = 6 + | − 2| = 8， ∴�� = 16 = � − 3，解得： 19x  ， ②当点�在��线段中点时， 对折后，�� = 5， ∴�� = 10 = � − 3，解得：� = 13，不符合题意舍去， ③当点�在��线段上时， 对折后，�� = 2� − 6 + 2 = 2� − 4， ∴�� = 4� − 8 = � + 2，解得：� = 10 3 ， ④当点�在��线段上时， 对折后，�� =− 2 − 2� − 6 = 4 − 2�， ∴�� = 2 4 − 2� = 8 − 4�， ∵ 3PB x  ， ∴8 − 4� = 3 − �，解得：� = 5 3 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ⑤当点�在��线段中点时， 对折后，�� = 0， ∴�� = 0，即，� − 3 = 0，� = 3， ∵� ≠ 3，故不符合题意舍去， ⑥当点�在�点左侧时， 对折后，�� = 8， ∴�� = 16，即 3 − � = 16，解得：� =− 13， ∴综上所述点�所表示的数为−13或10 3 或 5 3 或 19．