专题01 集合（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题01集合 元素与集合的概念 集合： 一般地，由某些确定的对象组成的整体，简称为集 元素： 构成集合的对象 集合的元素特征 特征 含义 举例 确定性 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 “街上的帅哥”中因为帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合 互异性 一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的 集合，就意味 无序性 集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换 高一(1)班每周都换座位也改变不了它是(1)班的事实 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作； 若不是集合的元素，则称不属于集合，记作. 常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 举例 集合的分类 元素个数分类 含义 举例 有限集 集合中含有的元素个数是有限的 无限集 集合中含有的元素个数是无限的 空集 不含任何元素的集合 方程的实数解 集合的表示方法 列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式： 注意事项： ———方程的解，即 ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函的值域，即； ———函数的图像点构成的集合. 7 集合间的关系 关系 含义 记作 子集 如果集合A中每一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 真子集 如果集合A⊆B，但至少存在一个元素不属于集合A，称集合A为集合B的真子集 相等 集合A与集合B中的元素完全相同 规定：空集是任何集合的子集 当集合A中元素有个，子集个数有个，真子集个数有个，非空真子集个数有个； 8 并集、交集、补集 并集 交集 补集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集 记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集) 符号 图形 表示 题型一:集合的基本概念 例1 下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．不超过30的非负实数 B．方程在实数范围内的解 C．近似值的全体 D．某校身高超过175的学生的全体 变式训练 1 下列说法正确的是（    ） A．某班级中的所有高个子同学能组成集合 B．空集是任何集合的真子集 C．集合与集合是同一个集合 D．方程组的解集为 2 下列命题中正确的是（    ） A．和是两个不同的集合 B．是空集 C．若，，则的最小值为2 D．小于10的偶数组成的集合是有限集 3 设表示平面直角坐标系中点的坐标，若集合，则以集合M的元素为坐标的点在（      ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第三象限 D．第二或第四象限 4 下列说法正确的个数为（    ） ①方程的解集为；②整数集可以表示为为所有整数或；③方程组的解集为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二:元素与集合、集合与集合的关系 例2 已知集合，则下列式子表示正确的有（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练 1 下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 2 已知集合，，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 3 用符号“” “”“  ”“ ”或“”填空： （1） ；（2） ；（3）9 ；（4） 是奇数}；（5） . 4 方程组的解集是 ． 5 设集合，若A中仅有一个元素，则a的值为 . 题型三:常见的数集 例3 下列所给出的关系中，正确的个数是（    ）. ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 1 已知集合 (1)用列举法表示集合 (2)写出集合的所有子集 题型四:集合的特性 例4 由，，三个元素组成集合A，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 已知集合，若，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 2 若，则 ． 3 设，集合，则 ． 题型五:集合的表示方法 例5 已知集合，则集合M用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 2 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型六:并集、交集、补集 例6 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 变式训练 1 已知全集，，，则实数等于（　　） A．0或2 B．0 C．1或2 D．2 2 设，，则（    ） A． B． C． D． 3 已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 4 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5 设集合，则集合（   ） A．0 B． C． D． 6 如图，全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 7 已知集合，则 ． 8 ，，则 . 9 已知集合，集合，若，则 ． 10 已知全集，集合，则 11 已知，，其中． (1)当时，求和； (2)若，求实数m的取值范围． 12 已知全集，集合． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求及． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01集合 元素与集合的概念 集合： 一般地，由某些确定的对象组成的整体，简称为集 元素： 构成集合的对象 集合的元素特征 特征 含义 举例 确定性 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 “街上的帅哥”中因为帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合 互异性 一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的 集合，就意味 无序性 集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换 高一(1)班每周都换座位也改变不了它是(1)班的事实 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作； 若不是集合的元素，则称不属于集合，记作. 常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 举例 集合的分类 元素个数分类 含义 举例 有限集 集合中含有的元素个数是有限的 无限集 集合中含有的元素个数是无限的 空集 不含任何元素的集合 方程的实数解 集合的表示方法 列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式： 注意事项： ———方程的解，即 ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函的值域，即； ———函数的图像点构成的集合. 7 集合间的关系 关系 含义 记作 子集 如果集合A中每一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 真子集 如果集合A⊆B，但至少存在一个元素不属于集合A，称集合A为集合B的真子集 相等 集合A与集合B中的元素完全相同 规定：空集是任何集合的子集 当集合A中元素有个，子集个数有个，真子集个数有个，非空真子集个数有个； 8 并集、交集、补集 并集 交集 补集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集 记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集) 符号 图形 表示 题型一:集合的基本概念 例1 下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．不超过30的非负实数 B．方程在实数范围内的解 C．近似值的全体 D．某校身高超过175的学生的全体 【答案】C 【分析】根据集合的定义和特征依次判断即可. 【详解】对A：对任意一个实数能判断出是不是“不超过30的非负数”，所以能构成集合； 对B：在实数范围内的解为或，是确定的对象，所以可以构成集合； 对C：“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合； 对D：能构成集合，元素是“某校身高超过175的同学”，所以可以构成集合. 故选：C. 变式训练 1 下列说法正确的是（    ） A．某班级中的所有高个子同学能组成集合 B．空集是任何集合的真子集 C．集合与集合是同一个集合 D．方程组的解集为 【答案】C 【分析】根据集合的概念即可解得. 【详解】选项A：某班级中的所有高个子同学中，高个子的定义不明确，不符合确定性，错误. 选项B：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，错误. 选项C：集合与集合是同一个集合，正确. 选项D：方程组的解集为，错误. 故选：C 2 下列命题中正确的是（    ） A．和是两个不同的集合 B．是空集 C．若，，则的最小值为2 D．小于10的偶数组成的集合是有限集 【答案】B 【分析】根据集合、空集、自然数集和有限集的概念以及集合的性质即可判断. 【详解】对A，由集合的互异性知，和两个集合是相同的，A项错误； 对B，∵，∴方程无实根，∴是空集，B项正确； 对C，最小的自然数是0，∴的最小值为0，C项错误； 对D，小于10的正偶数有有限个，但负偶数有无穷个，∴小于10的偶数组成的集合是无限集，D项错误. 故选：B. 3 设表示平面直角坐标系中点的坐标，若集合，则以集合M的元素为坐标的点在（      ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第三象限 D．第二或第四象限 【答案】B 【分析】由，可得x，y的可能的符号，根据各象限的符号特征可得所在象限． 【详解】由得或， 则平面直角坐标系中点的坐标为同正或同负， 所有集合M的元素为坐标的点在第一或第三象限. 故选：B. 4 下列说法正确的个数为（    ） ①方程的解集为；②整数集可以表示为为所有整数或；③方程组的解集为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的表示方法，结合一元二次方程及二元一次方程组解集的情况，逐一判断即可得解. 【详解】对于①，方程的解集为，故①正确； 对于②，整数集可以表示为，但不能表示为，故②错误； 对于③，解二元一次方程组，得，解集为，选③正确； 所以正确的个数为2个. 故选：B. 题型二:元素与集合、集合与集合的关系 例2 已知集合，则下列式子表示正确的有（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系可解. 【详解】， ①，集合与集合之间不能用属于符号，所以①不正确； ②，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确； ③，空集是任何集合的子集，所以③正确： ④，子集包括本身，所以④正确， 综上正确的式子有2个， 故选：B. 变式训练 1 下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中元素的性质、集合的分类及集合的表示可判断. 【详解】对A选项，表示点组成的集合，表示组成的集合，不是同一集合，故错误； 对B选项，根据集合中元素的无序性可知，它们表示同一集合，故正确； 对C选项，表示直线上的点组成的集合，表示线上的点的横坐标组成的集合，故不是同一集合，故错误； 对D选项，表示由2，3组成的集合，表示点组成的集合，不是同一集合，故错误； 故选：B 2 已知集合，，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系判断即可. 【详解】因为集合，， 集合中的元素是3的整数倍，集合B中的元素是6的整数倍， 所以集合的元素全部属于集合，而集合中存在元素不属于集合， 即集合真包含集合B. 故选：D. 3 用符号“” “”“  ”“ ”或“”填空： （1） ；（2） ；（3）9 ；（4） 是奇数}；（5） . 【答案】 【分析】由元素与集合的关系，真子集的定义及集合的相等即可得解. 【详解】不是集合的元素，所以； 是集合的元素，所以； 因为，所以； 为整数集，所以是奇数}； ，，则 故答案为： . 4 方程组的解集是 ． 【答案】 【分析】根据集合的表示方法，结合二元一次方程组的解法即可求解. 【详解】因为方程组， 两式相加得，即， 代入得， 所以. 即方程组的解集为. 故答案为：. 5 设集合，若A中仅有一个元素，则a的值为 . 【答案】0或1 【分析】若集合A中仅有一个元素，则需要满足方程有一个根或有两个相等的实根，据此即可求解. 【详解】若集合A中仅有一个元素，则需要满足方程有一个根或有两个相等的实根， 当时，，符合条件； 当时，需满足， 综上所述，若集合A中仅有一个元素，则a的值为0或1， 故答案为：0或1. 题型三:常见的数集 例3 下列所给出的关系中，正确的个数是（    ）. ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系判断即可解得. 【详解】①因为是实数，则，正确. ②是无理数，则，正确. ③0不是正整数，则，错误. ④是整数，则，错误. 所以①②正确，③④错误， 故选：B. 变式训练 1 已知集合 (1)用列举法表示集合 (2)写出集合的所有子集 【答案】(1). (2)，，，. 【分析】（）解一元二次方程求出集合的元素，根据列举法的定义即可得解. （）根据子集的定义即可写出集合的子集. 【详解】（1）因为，解得或， 所以用列举法表示为. （2）集合，所以子集为，，，. 题型四:集合的特性 例4 由，，三个元素组成集合A，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素的关系计算，并通过集合元素互异判别. 【详解】∵，而， ∴或. 当时，解得或，而时，，不满足集合的互异性，故舍去；当时，. 当时，解得，此时,符合题意； 所以， 或符合题意. 故选：D. 变式训练 1 已知集合，若，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据A和B的包含关系，进而求解参数即可. 【详解】因为， 所以或， 解得或1， 得或1或2， 将m的值代入集合知，不成立，不符合元素的互异性， 所以综上或2. 故选:C． 2 若，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意，分类讨论的取值，结合构成集合元素的特性，即可求解. 【详解】因为， 所以或， 当，即时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去）， 当时，集合，满足条件． 综上，． 故答案为：1． 3 设，集合，则 ． 【答案】0 【分析】根据相等集合的概念结合集合中元素的互异性，列方程求解即可. 【详解】已知集合， 根据集合中元素的互异性可得且， 则，又，则， 解得，， 故答案为：. 题型五:集合的表示方法 例5 已知集合，则集合M用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素一一列举出来，再由列举法表示即可. 【详解】表示整数集，由集合可得， ， 故选：D. 变式训练 1 集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合M，再根据求解子集的个数即可. 【详解】由题意得，集合，有2个元素. 所以集合的子集个数是. 故选：D. 2 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，故只能取1、2、3、6，再解出a的值. 【详解】由得：或或或， 可得， 故选：D. 题型六:并集、交集、补集 例6 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，阴影部分为集合与集合的交集，由交集的定义求解即可. 【详解】由图可知，阴影部分为， 根据交集定义可得：. 故选：D. 变式训练 1 已知全集，，，则实数等于（　　） A．0或2 B．0 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】由题意根据补集的运算性质和元素与集合的关系，求解即可. 【详解】根据题意，，，， 得到，，， 可得，可化为，解得或. 而集合中有一个元素是2，故. 综上，. 故选：D. 2 设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算，联立两方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 联立，解得， 所以. 故选：C. 3 已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据集合交集的运算，结合空集的定义，即可列出不等式求解. 【详解】因为， 又， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围是或． 故选：D． 4 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先通过联立方程，求解的元素，再根据集合的形式，判断选项即可． 【详解】已知集合， 联立得， 所以． 故选：C． 5 设集合，则集合（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合B，根据集合并集的运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 6 如图，全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图写出集合的运算式，即可求阴影部分集合. 【详解】因为全集，集合，， 由题可知阴影部分为， ， 则； 故选：D. 7 已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算求解. 【详解】因为，， 则. 故答案为:. 8 ，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知，， 则. 故答案为：. 9 已知集合，集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的概念可知，求解即可得出值. 【详解】已知集合，集合，且， 则中含有元素，所以，解得. 故答案为：. 10 已知全集，集合，则 【答案】或 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】因为全集，集合， 所以或. 故答案为：或. 11 已知，，其中． (1)当时，求和； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入集合，然后利用交集、并集运算可求； （2）利用集合的关系，求参数范围即可. 【详解】（1）当时，，因为 所以，． （2）若，则，则，解得． 故实数m的取值范围是． 12 已知全集，集合． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求及． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据集合的表示方法求解； （2）根据交并补的运算即可求解. 【详解】（1）因为集合， 所以； ； （2）由（1）得，， 所以； ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$