精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

安龙四中2024年秋季学期高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以斜率为， 故选：B 2. 已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（     ） A. 1.5 B. 1 C. 0.5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得两向量的数量积为零，即可求出的值. 【详解】由空间向量，互相垂直， 则，解得， 故选：C. 3. 已知直线，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线，，若，则，解得. 故选：B. 4. 古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（ ） A. 30 B. 120 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，再提供的椭圆面积公式求出椭圆的面积. 【详解】因为，，所以椭圆的面积为． 故选：C 5. 过三点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 6. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知存在，使得，结合空间向量基本运算求解. 【详解】因为是空间的一个基底，可知均不为零向量， 若不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 可得，解得. 故选：A. 7. 已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆方程求得点的坐标，结合AB的斜率得到，从而得到关于的齐次方程，进而得到，，由此得解. 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以， 又，所以，即， 解得或（舍去），则， 所以的实轴长为与虚轴长的比值为. 故选：A. 8. 已知圆：与圆的公共弦经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的公共弦所在直线，代入点的坐标得解. 【详解】因为圆：的圆心，圆， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 即，又过点， 所以，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的模的坐标表示判断A，由空间向量夹角公式判断B，结合空间向量平行根据线面关系判断C，根据投影向量的求法判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，因为，，所以，，， 设与的夹角为，则，故B错误； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆和圆相离 B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C. 若圆和圆外切，则或 D. 若圆和圆内切，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径. 对于A，当时，，因为，故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，故C正确； 对于D，由，故D正确. 故选：BCD. 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 【答案】BD 【解析】 【分析】理解“黄金椭圆”的定义，利用椭圆的定义与性质，分析各个选项，求得对应的椭圆的离心率即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，则或（舍去）， 解得，故A错误； 对于B，若，则由射影定理可得：， 即，所以，即， 又，解得，故B正确； 对于C，因为轴，不妨设，而， 又，则斜率相等，所以，即， 所以，故C错误； 对于D，因为四边形为菱形， 则四边形的内切圆的圆心为原点， 由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于， 因为，所以内切圆的半径为， 所以，又， 整理得：，， 又，解得，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线焦点在轴上有，求解即可得出参数范围. 【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为_________； 【答案】 【解析】 【分析】求向量在法向量上的投影向量的长度即可得结论. 【详解】设点到平面的距离为， 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为向量在法向量上的投影向量的长度， 所以 又，， 所以， 故答案为：. 14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围. 【详解】由，解得 根据二次函数的性质得出，即 曲线可化为， 所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆 因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示 当直线运动到时，过，代入得： 当直线运动到时，此时与曲线相切 则，解得或（舍） 要使得直线与曲线有公共点，则 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直得出斜率，点斜式即可求解； （2）分类讨论利用截距相等求解. 【小问1详解】 直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即. 【小问2详解】 ①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 16. 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程； （2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】（1）由题知，，， 由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点）， 设动点的轨迹方程为，则，， ，得，因此，动点的轨迹方程为； （2）由（1）可知，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，因此，的最大值为. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，同时也考查了利用椭圆的定义和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中等题. 17. 已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，. （1）求圆的标准方程； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离求出圆的半径即可得解； （2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时利用弦心距求解. 【小问1详解】 设圆的半径为， 因为圆与直线：相切， 所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 如图， ①当直线与轴垂直时，易知符合题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即. 连接，则，因为，所以， 则由得， 所以直线为：， 故直线的方程为或. 18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD． （1）证明：平面PBD⊥平面PBC； （2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1） 在平行四边形中，，，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案； （2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，在中，， 平面，平面，， ，平面，平面， 在二面角的平面角，即， 在中，， 在平行四边形中，， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，化简可得， 令，，解得平面的一个法向量， 设与平面的夹角为， . 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得； （2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围； 【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线， 所以，设双曲线的焦距为2c，， 故，即． 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将代入，可得，故． 将的面积为， 所以，即， 所以，，故双曲线E的方程为． （2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得，， 所以解得，且 所以 ． 联立方程组得，同理， 所以． 所以，其中， 所以． 【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安龙四中2024年秋季学期高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章3.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 不存在 2. 已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（     ） A. 1.5 B. 1 C. 0.5 D. 2 3. 已知直线，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（ ） A. 30 B. 120 C. D. 5. 过三点的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. -2 7. 已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：与圆的公共弦经过点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆和圆相离 B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C. 若圆和圆外切，则或 D. 若圆和圆内切，则 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为__________. 13. 已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为_________； 14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件，求直线方程： （1）过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 16. 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 17. 已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，. （1）求圆的标准方程； （2）求直线的方程. 18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD． （1）证明：平面PBD⊥平面PBC； （2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $