精品解析：四川省南充启睿实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高2023级高二上期中考试数学试题 考试时间：120分钟 命题人：周长龙 审题人：张自春 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共40分） 1. 直线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ） A. 若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1 B. 若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B） C. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件 D. 若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立 4. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 5. 如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则关于 的一元二次方程有实根的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则的值为　　 A. B. C. 5 D. 10 8. 已知点，，若圆：上存在点M，使得，则实数t取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分，共18分） 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 圆的方程为 C. 若圆与轴有交点，则 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为______． 13. 线段AB，其中，，过定点作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是______. 14. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为______． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分） 15. 已知直线，直线. （1）若，求； （2）若，求与交点的坐标. 16. 已知圆和直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程. 17. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了名学生，得到如下统计表： 时间 人数 （1）估计该校学生每日使用手机时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从使用手机时间在和的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概率． 18. 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （1）求证：EF⊥平面PAD； （2）求平面EFG与平面ABCD所成二面角的夹角的余弦值； （3）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由． 19. 已知两定点，动点N满足． （1）求动点N的方程； （2）如图，过点）且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D，的中点为E，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二上期中考试数学试题 考试时间：120分钟 命题人：周长龙 审题人：张自春 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共40分） 1. 直线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程可得出所求直线的倾斜角. 【详解】直线垂直于轴，该直线的倾斜角为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线的方程求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径即可得解. 【详解】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 故选：D 3. 对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ） A. 若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1 B. 若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B） C. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件 D. 若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件和独立事件的定义和性质逐项分析. 【详解】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确； 对于B，根据独立事件的性质知 ，正确； 对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球， 选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ， ，但A，B不是对立事件，错误；、 对于D，由独立事件的性质知：正确； 故选：C. 4. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 5. 如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为∥，所以或其补角为异面直线与所成的角，连接，根据余弦定理即可求得答案． 【详解】 如图，连接，则，，， 因为∥，所以或其补角为异面直线与所成的角， ， 则异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C． 6. 若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则关于 的一元二次方程有实根的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取出数字，，先列举出所有可能结果，进而结合找到一元二次方程有实根的所有结果，由古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】由题意，是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数， 则总的基本事件为：，，，共有12个， 因为一元二次方程有实根，则，即， 满足条件的有，，，共9个. 所以方程有实根的概率为 . 故选：B. 7. 在直角坐标平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则的值为　　 A. B. C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，，过定点的直线与过定点的直线垂直，位于以为直径的圆上，由此能求出的值即可． 【详解】在平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点， ，， 过定点的直线与过定点的直线垂直， 位于以为直径的圆上， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 8. 已知点，，若圆：上存在点M，使得，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得以为直径的圆的方程为，把圆：上存在点M，使得，转化为两圆存在公共点，结合圆与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解 【详解】由题意，点，， 可得以为直径的圆的方程为，则圆心，半径， 又由圆：，可得圆心，半径， 两圆的圆心距为， 要使得圆：上存在点M，使得， 即两圆存在公共点，则满足，即，解得, 所以实数t取值范围是. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分，共18分） 9. 如图，直线，，斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图象利用斜率的定义判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 由图象可知，， 易知，当时， 又在时，且上单调递增， 所以，，即. 故选：ABD 10. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得，AB都对； 对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即， 故的最大值为，C错； 对于D选项，设，则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 所以，的最大值为，D对. 故选：ABD. 11. 如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 圆的方程为 C. 若圆与轴有交点，则 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆相交判断C；求出点的纵坐标判断D. 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，A正确； 显然，设点，则，而， 解得，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为，则圆的方程为，B正确； 圆的圆心到y轴距离为，若圆与轴有交点，则， 解得，而，因此，C错误； 在中，令，得点的纵坐标为，因此，D正确． 故选：ABD 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为______． 【答案】. 【解析】 【分析】连接，求出的大小，结合三角函数的定义可求得点的坐标. 【详解】连接，如下图所示： 因为，，则， 因为为的中点，则，故为等边三角形， 故，且， 故点，即点. 故答案为：. 13. 线段AB，其中，，过定点作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】计算，，得到范围. 【详解】，，，故，， 两点之间横坐标不包含，故直线l的斜率的取值范围是. 故答案为： 14. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可，由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【详解】设圆的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点、， 则，解得， 即圆的方程为， 所以，圆的标准方程为． 圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线对称， 则有，解得，即． 所以，圆的标准方程为． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分） 15. 已知直线，直线. （1）若，求； （2）若，求与的交点的坐标. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】（1）根据平行得到，计算得到答案. （2）根据垂直得到，解得，再计算交点得到答案. 【详解】（1）若，则由，即，解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合，故舍去； （2）若，则由，得. 所以两直线方程为：，：， 联立方程组，解得，所以与的交点的坐标为. 【点睛】本题考查了直线的垂直和平行，意在考查学生的计算能力. 16 已知圆和直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程. 【答案】（1）相交 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果； （2）当当直线时，直线被圆截得的弦长最短，结合弦长公式即可得到最短弦长及直线的方程. 【小问1详解】 因为直线，即恒过定点 又因为圆，即 即圆心，半径为 因为 所以点在圆内，即直线与圆相交. 【小问2详解】 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 此时可得弦长的一半为 即最短弦长 又因为点横坐标相同，故直线轴， 则直线的斜率为 所以直线的方程为 17. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了名学生，得到如下统计表： 时间 人数 （1）估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从使用手机时间在和的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概率． 【答案】（1）平均数为 （2） 【解析】 【分析】（1）将每个区间的中点值乘以对应组的频率，再将所得结果全部相加可得出该校学生每日使用手机的时间的平均数； （2）分析可知抽取的人在组的有人，记为、、，在组的有人，记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为 ． 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为． 【小问2详解】 解：由分层抽样的方法知，抽取的人在组的有人，记为、、， 在组的有人，记为、， 从人中抽取人的所有基本事件：、、、、、、、、、，共个， 来自不同组的基本事件：、、、、、，共个， 故所求概率． 18. 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （1）求证：EF⊥平面PAD； （2）求平面EFG与平面ABCD所成二面角的夹角的余弦值； （3）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AB⊥平面PAD，即可证明结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFG的法向量，由向量的夹角公式求解即可； （3）设，利用向量的线性运算求出的坐标，然后利用向量的夹角公式列出方程，求解即可得到答案． 【小问1详解】 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 又E、F分别是PA、PB的中点， 则， 故EF⊥平面PAD； 【小问2详解】 取AD的中点O，连接PO，连接OG，则， 因为平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则O（0，0，0），A（0，-2，0），B（4，-2，0），C（4，2，0），， 所以， 设平面EFG的法相向量为， 则，即， 令z=1，则， 故， 又平面ABCD的法向量为， 所以， 所以平面EFG与平面ABCD所成二面角的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 设， 因为， 故， 所以， 因为直线GM与平面EFG所成角为， 故， 化简可得2t2-3t+3=0，故方程无解， 所以在线段PD上不存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为． 19 已知两定点，动点N满足． （1）求动点N的方程； （2）如图，过点）且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D，的中点为E，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设动点坐标为，由题意列出方程，化简可得答案； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线距离列不等式求得k的范围，进而求出弦AB的长，求出M点到直线的距离即可求得面积的表达式，利用换元法结合二次函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 设动点坐标为，则，， 又知，则，得， 故动点N的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 所以，直线的方程为，点的坐标为， 所以的面积； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 直线与圆不相交，此时不存在，舍去； 当时，直线， 由得，所以． 因为，所以． 因为，，所以， 所以E点到直线的距离即M点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，所以， 因为，所以，而函数在上单调递减， 故，所以， 综上可得，面积的取值范围是． 【点睛】难点点睛：本题考查了轨迹方程的求解以及直线和圆的位置关系中三角形面积的范围问题，综合性较强，难点在于面积的表达式的求解，解答时要注意结合圆的几何性质求出弦长以及利用点到直线的距离公式求三角形的高，即可求解三角形面积的表达式，进而结合二次函数性质求解答案.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$