精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高三11月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数､平面向量､数列（数列的概念､等差数列）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解. 【详解】依题意，解不等式，得，， 而，因此， 所以中元素的个数为8． 故选：B 2. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则， 解得， 则， 所以， 故选：A. 3. 函数在区间上的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 当且仅当，即时取等号，故函数的最小值为5. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】由， 由， 可得， 所以. 故选：C 5. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 6. 如图，在正八边形中，，则（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解. 【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1， 可得，，，， 所以，，. 因为，所以， 所以，解得，则. 故选：D. 7. 已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干先求出的范围，进而求出的范围，再根据得出函数的图象关于点中心对称，最后根据图像的对称中心得出结论. 【详解】由题意知，函数在内有两个极值点， 设两个极值点分别为，则，则（为函数的最小正周期）， 解得.又，所以， 由，得函数的图象关于点中心对称， 即，即， 由，得，即的取值集合为. 故选：B 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，构造函数，利用导数求得在上单调递减，得到，再由，得到，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得， 构造函数，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，故，即， 又由，而， 其中且，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法错误的是（ ） A. B. 若，则的值为 C. 若，则的值为 D. 若，则与的夹角为锐角 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，故C不正确； 对于D，当时，，所以，故D不正确. 故选：BCD. 10. 朱世杰（1249年—1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家､教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：） A. B. 是等差数列 C. 函数单调递增 D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15080 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可. 【详解】对于A，每层的果子数分别为， 构成数列，则易知，故A错误； 对于B，时，， 故为等差数列，故B正确； 对于C， ，则，故单调递增，C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11. 设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于原点对称 C. D. 的极小值为3 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 即，则为偶函数，故A正确； 由得，，两边取导数得，， 即，所以，则是奇函数， 所以图象关于点原点对称，故B正确； 由上可知，，又由得， 所以，则， 所以有，即函数是一个周期函数且周期为8； 又由，令得，， 则，故C错误； 由在上单调递减，又的图象关于点对称可知， 在上单调递减，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递增， 由周期性可知，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，即，故D错误， 故选：AB. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为1，圆心角为，若，则该扇形的面积为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由得或，结合扇形的面积公式计算即可求解. 【详解】或， 该扇形的面积或. 故答案为：或. 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式求得公差，再由得到求解即可. 【详解】设公差为，由得，则. 由得即解得. 故答案为： 14. 若对任意，不等式恒成立，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式转化成，结合和在上的单调性即可求解. 【详解】因为，所以恒成立，即恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于轴正半轴上一点（否则必存在，使）， 所以当，即且时，原不等式恒成立， 所以（负值舍去）. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知、、为的三个内角，向量与共线，且. （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，计算出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】（1）由已知条件可得， 即，可得，即， ，则， ，则，所以，，故； （2） ， 因为，则，所以，，则. 所以，. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 16. 已知数列的前项和为且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前90项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，两式相减化简可得，即可的证； （2）由（1）得，讨论可得，或，则得的前90项的和为 又，计算可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 两式相减得， 则， 因为，， 所以，数列是公差为2，首项为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得， 当或时，， 当或时，， 所以数列的前90项的和为 ， 因为， 则上式 . 17. 如图，在四边形中．，，，平分且与相交于点． （1）若的面积为，求； （2）若，求与的面积之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，明确，，，利用余弦定理可求. （2）在中，先用正弦定理求出，求出的面积，进一步求出的面积，即可求与的面积之比. 【小问1详解】 在中，，，. 所以. 在中，，，. 所以，. 在中，，，， 由得：， 由余弦定理，得： 所以. 【小问2详解】 因为. 在中，，，， 所以. 由正弦定理，得：. 所以. 所以. 所以. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上是减函数，在上是增函数. （2） 由（1）得，当时，，在上是减函数， 即当时，，所以， 令得，，即， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后根据和分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间； （2）根据（1）的结论知，令得，结合对数运算累加法即可证明. 【小问1详解】 的定义域为. ， ①当时，在上单调递增； ②当时，时，在上是增函数． 时，在上是减函数， 时，在上是增函数. 【小问2详解】 略 19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明； （2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果； （3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论. 【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以， 因为， 即不恒成立， 所以不是“同比不减函数”. （2）因为函数是“同比不减函数”， 所以恒成立，即恒成立， 对一切成立. 所以. （3）设函数是“同比不减函数”， ， 当时，因为成立， 所以，所以， 而另一方面，若， （Ⅰ）当时， 因为， 所以，所以有成立. （Ⅱ）当时， 因为， 所以， 即成立. 综上，恒有有成立， 所以的取值范围是. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高三11月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数､平面向量､数列（数列的概念､等差数列）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 2. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 如图，在正八边形中，，则（　　） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法错误的是（ ） A. B. 若，则的值为 C. 若，则的值为 D. 若，则与的夹角为锐角 10. 朱世杰（1249年—1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家､教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：） A. B. 是等差数列 C. 函数单调递增 D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15080 11. 设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于原点对称 C. D. 的极小值为3 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为1，圆心角为，若，则该扇形的面积为__________. 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________. 14. 若对任意，不等式恒成立，则实数的值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知、、为的三个内角，向量与共线，且. （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 16. 已知数列的前项和为且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前90项的和. 17. 如图，在四边形中．，，，平分且与相交于点． （1）若的面积为，求； （2）若，求与的面积之比． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：. 19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $