4.1指数与4.2指数函数-2024-2025学年高一数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

4.1指数与4.2指数函数（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 14 【提升训练】 27 知识回顾 1. n次方根的概念与性质 (1)n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 (3)0的任何次方根都是0. 2. 根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 3. 分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 (2)分数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 4. (1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). ④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R). 5. 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 6. 两类指数型函数模型 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型. (2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 7. 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 8. 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，，，，，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的值域为R B．是R上的增函数 C．是R上的奇函数 D．有最大值 10．（22-23高一上·广东深圳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上是增函数 D．的值域是 11．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，则（ ） A． B．的值域为 C．是R上的减函数 D．函数图象关于点对称 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则函数的图象不经过第 象限． 13．（23-24高一上·全国·课后作业）三个数，，中，最大的是 ，最小的是 ． 14．（23-24高一上·上海·期中）对任意，指数函数的值总大于，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 16. (15分) （22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求的值，判断的单调性并用定义证明之； (2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 17. (15分) （22-23高一·全国·课后作业）已知函数的表达式为，函数的图像关于原点成中心对称，其中是常数． (1)求函数的定义域和的值； (2)若，求实数的取值范围． 18. (17分) （23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 19. (17分) （22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数（，）在上的值域为[2，4]． (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数，的单调性． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C A D D B ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用分数指数幂的运算性质计算可得结论. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2．B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B. 3．B 【分析】根据满足的条件，逐个代入排除判断即可. 【详解】因为，故排除CD，又，排除A，故，逐个条件代入满足. 故选：B 4．C 【分析】由题意可得且，求出a，即可求解. 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 5．A 【分析】由题意先得定点，再求出幂函数表达式即可得解. 【详解】，,则设，则，解得，则， 故选：A. 6．D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 7．D 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即得. 【详解】函数的定义域为， 由函数是偶函数，得，即， 而，则，解得， 所以实数m的值是. 故选：D 8．B 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是. 故选：B． 9．ABC 【分析】，而得到的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项. 【详解】，而，所以值域为R，A正确，D错误； 因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确； 因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确； 故选：ABC 10．ACD 【分析】根据高斯函数的定义，结合指数函数的性质，以及函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，其定义域为， 则，即， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确； 对于B中，由， 可得，，所以不是偶函数， 所以B错误； 对于C中，由函数， 因为，可得为单调递增函数，则为增函数， 所以函数为单调递增函数，所以C正确； 对于D中，因为，可得，所以，则， 可得，即，所以D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据指数函数性质及复合函数单调性判断A、B、C，由是否成立判断D. 【详解】由，A正确； 由的值域是，故的值域是，B错误； 由恒正且在R上递增，故是R上的减函数，C正确； 由于，D正确． 故选：ACD 12．三 【分析】令可得的图象恒过定点，则，结合指数型函数的图象与性质即可下结论. 【详解】令，得，，所以的图象恒过定点， 所以，则，为减函数，且其图象过点， 所以的图象不经过第三象限． 故答案为：三 13． 【分析】根据题意结合指数函数单调性和图象分析判断. 【详解】因为函数在R上是减函数，所以； 又因为在y轴右侧函数的图象始终在函数的图象的下方，    所以； 综上所述：. 故答案为：  ；. 14． 【分析】由题意可知指数函数单调递减，且它在时的最小值要大于，由此即可得解. 【详解】由题意对任意，，故只能指数函数单调递减，且当时，， 即实数满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（1）；（2）6 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和分数指数幂的运算公式化简计算即得； （2）由条件等式求得和，再代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 16．(1)，递增函数，证明见解析 (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质以及单调性的定义即可求解、证明；(2)根据奇函数、增函数即可解不等式，再根据一元二次不等式恒成立求解. 【详解】（1）显然函数的定义域是， 据题意有，得，即， 此时满足题意． ， 由此可判断出是上的递增函数． 以下用定义证明：，且，则， 所以， 即，故是上的递增函数． （2）是奇函数，由已知可得， 所以，则， ，故，． 实数的取值范围为． 17．(1)，2 (2) 【分析】（1）根据具体定义域求法解决定义域，根据奇函数有解决即可；（2）由（1）得，，解分式不等式即可， 【详解】（1）由题知，， 所以，得， 所以函数的定义域为， 又因为函数的图像关于原点成中心对称，即为奇函数， 所以． 所以， 所以，解得， 所以的值为2. （2）由（1）得， 因为， 所以 所以 所以 所以 所以，解得 所以实数的取值范围. 18．(1)； (2). 【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域； （2）令，由指数函数单调性得，结合二次函数性质列方程求参数. 【详解】（1）由题设，若，则， 在上递减，在上递增，则， 在定义域上递增，则， 所以的值域为. （2）令，则， 又在定义域上递增，而的最大值为9，即， 则开口向下且对称轴为，， 所以. 19．(1)， (2)在上单调递增；证明见解析 【分析】（1）首先分类讨论确定函数单调性，然后列出关于、的方程即可求解. （2）利用定义法证明单调性，首先在定义域内取值，然后作差，变形即可判断. 【详解】（1）①当时，在[1，2]上单调递增，则有，得，得，； ②当时，在[1，2]上单调递减，则，得，无解， 所以，； （2）由（1）知，函数在上单调递增. 证明如下：对于任意的， ∵∴，∴∴ ∴在上单调递增 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25高一上·云南大理·期中）已知，化简：（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昆明·期中）按复利计算利息的一种储蓄，本息和y（单位：万元）与储存时间x（单位：月）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，则在第39个月时本息和是（   ） A．30万元 B．36万元 C．48万元 D．60万元 4．（24-25高一上·河南·期中）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·四川达州·期末）已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数是奇函数，则（    ） A． B．是R上的减函数 C．的值域是 D．的图象与函数的图象没有交点 11．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．且 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 ． 13．（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a= 14．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；     ② 16. (15分) （24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）． (1)求证：若，则； (2)求的值． 17. (15分) （24-25高一上·山西晋城·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)若，求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·吉林长春·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. (17分) （24-25高一上·江苏·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C B D B ACD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】由已知求得，代入计算，即可得. 【详解】由题意，得， 则， 注意到 则. 故选：C 2．D 【分析】化为分数指数幂，再计算即可． 【详解】， 故选：D. 3．C 【分析】根据题意可得，得到，再将代入即可得解. 【详解】由题意得，，即，， 所以当时，. 即第39个月时本息和是48万元. 故选：C. 4．D 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊点的值进行验证即可得答案. 【详解】解：由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除A； ，排除B；，排除C. 故选：D. 5．C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 6．B 【分析】根据指数函数的性质，先得出函数所过定点，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，令可得，， 所以该函数过定点； 又该定点在直线上，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：B. 7．D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 8．B 【分析】根据函数解析式，研究其奇偶性以及特殊函数值的大小，可得答案. 【详解】由，则该函数的定义域为， 将代入该函数，可得， 故该函数为偶函数，则C、D错误， 将代入函数，可得，故A错误，B正确. 故选：B. 9．ACD 【分析】利用指数函数的性质分析有关结论. 【详解】首先：. 根据指数函数的性质，得：，故A正确； 当时，，所以并不是恒成立的，故B错误； 因为：（当且仅当即时取“”），故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】A选项，根据得到方程，求出；B选项，化简得到，利用定义法判断出函数的单调性；C选项，根据，所以，从而求出值域；D选项，联立得到，无解，故D正确. 【详解】A选项，的定义域为R，又为奇函数， 故，即， 即，解得，A正确； B选项，， 任取，且， 故， 因为在R上单调递增，，故， 所以，即， 所以是R上的增函数，B错误； C选项，因为，所以，， 所以的值域是，C正确； D选项，令，即，，无解， 故的图象与函数的图象没有交点，D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】对于A，利用的值域及单调性即可判断得且，故A正确； 对于B，利用基本不等式可得，再进行化简即可得到，故B错误； 对于C，利用基本不等式中“1”的妙用可得，故C正确； 对于D，由结合基本不等式可判断得D正确. 【详解】对于A，因为，，所以，即， 由于在上单调递增，所以，同理可得，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，即，即， 由于在上单调递增，所以，即， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最大值是，故B错误； 对于C，因为，， 当且仅当且，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当且，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 12．16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 13．或 【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案. 【详解】当时，在上的最大值为，最小值为， 故，解得或（舍去）； 当时，在上的最大值为，最小值为， 故，解得或（舍去）， 综上或. 故答案为：或 14． 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可，分别求出在的最大值及在上的最大值，则答案可求. 【详解】， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 在R上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可，即，解得， 即m的取值范围是． 故答案为：. 15．（1）；（2）①；②. 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）①②根据给定条件，利用指数幂的运算性质计算即得. 【详解】（1） . （2）①由，两边平方得，则， 而，则， 所以； ②由①知，，， 所以. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数的定义、的关系代入运算即可求解； （2）利用（1）中结论配对运算即可求解. 【详解】（1）由， 得， 则 ． （2）原式 ． 17．(1) (2). 【分析】（1）代入到解析式求解，再根据奇函数性质求解即可； （2）根据奇函数的性质可得分段函数，再求解即可. 【详解】（1）由题意知，所以， 又，故， 因此时，， 当时，，由题意得， 又是定义在上的奇函数，所以. 所以当时，， 又，故， 所以函数的解析式为 （2）当时，， 又，所以，故. 故得 故或， 综上，实数的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解； （2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. （2）因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 19．(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数. （3）因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河北保定·期末）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 6．（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 7．（2023·全国·二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 8．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则（    ） A．函数的值域为 B．函数无最值 C．函数在R上递减 D．函数在上单调递减 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数满足：①，，；②，则（   ） A． B． C．在上是减函数 D．，，则 10．（24-25高一上·浙江台州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数（且）过定点 B．函数与（且）的图象关于轴对称 C．指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则 D．若实数、满足，则 11．（24-25高一上·广东广州·期中）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的值域为 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， D．已知，则函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·安徽合肥·期中）设 若不等式 对任意恒成立，则k的取值范围是 . 13．（2023高一·全国·课后作业）函数的定义域 ，值域 ． 14．（22-23高一上·浙江·期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数： ；的单调递减区间为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东广州·期中）（1）求的值； （2）已知，.求及的值 16. (15分) （24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求m的值; (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若关于x的函数的图象与x轴有交点，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·黑龙江黑河·期中）已知函数为奇函数. (1)写出的定义域，并求的值； (2)判断函数的单调性，并利用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·山东·期中）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 19. (17分) （24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B C C C D BCD ABD 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号，故的最小值为6， 故选：C. 2．A 【分析】由是奇函数，得，代入即可求. 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 3．A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 4．B 【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，再作出函数的图象，利用图象求出不等式的解集. 【详解】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称， 作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图， 函数的图象与函数的图象交于点， 观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方， 即当或时，不等式成立， 所以不等式的的取值范围是. 故选：B 5．C 【分析】根据题意，当时，可得，排除B、D选项；在根据指数函数与幂函数的增长趋势，得到当时，，即可求解. 【详解】由函数，当时，可得，可得排除B、D选项； 当时，可得； 当时，根据指数函数与幂函数的增长趋势， 可得函数大于函数的增长速度，所以， 所以选项A不符合，选项C符合. 故选：C. 6．C 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 7．C 【分析】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解. 【详解】假设，则，， 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 即有与假设矛盾，所以， 故选：C 8．D 【分析】令，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断A，B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C，D. 【详解】令，则， 对于A，，，则，所以函数的值域为，故A错误； 对于B，因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值，故B错误； 对于C，D，因为在上单调递增，上单调递减， ，单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 9．BCD 【分析】取可求，判断A，取证明，取可得，由此可得， 结合指数运算性质和指数函数性质判断BC，选项D的条件可转化为当，恒成立，结合函数性质求结论. 【详解】因为，，， 取可得，A 错误； 取可得，又， 所以， 取可得，， 所以，其中， 所以，B正确， 由指数函数性质可得，其中在上单调递减， 所以在上是减函数，C正确； 不等式可化为， 所以， 由已知对于，恒成立， 所以当，恒成立， 故，其中， 因为函数，在上都单调递增， 所以在上的最大值为， 所以，D正确； 故选：BCD. 10．ABD 【分析】对于A：令，运算求解即可；对于B：因为，即可分析判断；对于C：分和两种情况，结合指数函数单调性分析求解；对于D：构建，结合单调性分析判断. 【详解】对于选项A：令，解得，且， 所以函数（且）过定点，故A正确； 对于选项B：因为， 所以函数与（且）的图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C：若，则指数函数在上单调递增， 可得，解得； 若，则指数函数在上单调递减， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：因为，即， 构建，原不等式即为， 因为在上单调递增，可知在上单调递增， 可得，即，故D正确； 故选：ABD. 11．ABC 【分析】根据指数函数与二次函数性质求值域判断A，把为一个整体，求出的范围得的定义域判断B，由奇函数的定义求解析式判断C，用换元法求解析式判断D． 【详解】A选项，，∴，A正确； B选项，函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，B正确； C选项，时，，又是奇函数， 所以，C正确； D选项，设，则，， 所以，D错； 故选：ABC． 12． 【分析】参变分离，只需，换元得到函数的最小值，得到答案. 【详解】对任意时恒成立， 即对任意时恒成立， 对任意时恒成立， 只需， 令，由得， 设 当即时，取得最小值， ， 的取值范围为. 故答案为： 13． 【分析】根据函数的解析式可求函数定义域；在定义域范围先求取值范围，再依次求得、的范围，即得值域. 【详解】由可得，所以函数定义域为， 即； 由，所以， 故，即值域为. 故答案为：；. 14． 和（答案不唯一） 【分析】（1）本题属于开放性问题，只需选择符合要求的解析式即可，不妨取两个单调性不同的指数函数； （2）根据复合函数的单调性规则计算可得. 【详解】解：不妨取和， 因为函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递增， 函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递减，符合题意； 对于函数，令，即，解得或， 所以函数的的定义域为， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为. 故答案为：和（答案不唯一）； 15．（1）；（2）12，. 【分析】（1）根据根式与指数式的互化和指数的运算性质计算求解即可； （2）根据指数的运算性质计算求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）因为，， 所以；. 16．(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）有实根，由是定义在上的奇函数可得，由在上单调递增，可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，即. （2）由（1）知， ，且， 因为，函数在上单调递增， 所以，即，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）函数的图象与x轴有交点， 即有实根， 所以，又是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上单调递增， 所以， 所以， 令，则， 所以，所以实数的取值范围为. 17．(1)定义域为， (2)函数在定义域上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据即可求解，根据奇函数的定义即可验证奇偶性， （2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解， （3）根据函数的单调性以及奇偶性，结合二次型函数恒成立，利用判别式即可求解. 【详解】（1）对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 满足， 所以，当时，函数为奇函数. （2）由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增， 证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，， 所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. （3）因为不等式对任意的恒成立， 且函数为上的奇函数， 所以，对任意的恒成立， 又因为函数为增函数，则， 则对任意的恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 18．(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用复合函数的单调性及指数函数值域求的值域； （2）只需证明，即可证结论； （3）根据（2）结论有，令得，结合题设条件有，即可求参数范围. 【详解】（1）由复合函数的单调性，易知在R上单调递减， 由指数函数性质知，，即，故； （2）由，即，故关于中心对称，得证； （3）由（2）及，知， 对于，以为主元且，则在上递减， 所以，问题化为任意，都有， 只需，则，则，又， 所以，即参数n的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题化为任意，使为关键. 19．(1) (2) 【分析】（1）令，求出的单调性，求出在区间上的最小值； （2）由题意得在的值域包含于在的值域，分、和三种情况并结合单调性求解. 【详解】（1），令，， 所以，在单调递增， 所以， 所以在区间上的最小值为； （2）由题意得在的值域包含于在的值域， 由二次函数的性质得的值域为， 当时，符合题意， 当时，，可知函数单调递增， 所以， 所以，所以， 当时，为对勾函数，， 所以，，此时， 所以，又，可知无解； 综上，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1指数与4.2指数函数（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. n次方根的概念与性质 (1)n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 (3)0的任何次方根都是0. 2. 根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 3. 分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 (2)分数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 4. (1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). ④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R). 5. 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 6. 两类指数型函数模型 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型. (2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 7. 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 8. 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，，，，，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州黔西·期中）已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的值域为R B．是R上的增函数 C．是R上的奇函数 D．有最大值 10．（22-23高一上·广东深圳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上是增函数 D．的值域是 11．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，则（ ） A． B．的值域为 C．是R上的减函数 D．函数图象关于点对称 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则函数的图象不经过第 象限． 13．（23-24高一上·全国·课后作业）三个数，，中，最大的是 ，最小的是 ． 14．（23-24高一上·上海·期中）对任意，指数函数的值总大于，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 16. (15分) （22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求的值，判断的单调性并用定义证明之； (2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 17. (15分) （22-23高一·全国·课后作业）已知函数的表达式为，函数的图像关于原点成中心对称，其中是常数． (1)求函数的定义域和的值； (2)若，求实数的取值范围． 18. (17分) （23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 19. (17分) （22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数（，）在上的值域为[2，4]． (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数，的单调性． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25高一上·云南大理·期中）已知，化简：（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昆明·期中）按复利计算利息的一种储蓄，本息和y（单位：万元）与储存时间x（单位：月）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，则在第39个月时本息和是（   ） A．30万元 B．36万元 C．48万元 D．60万元 4．（24-25高一上·河南·期中）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·四川达州·期末）已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数是奇函数，则（    ） A． B．是R上的减函数 C．的值域是 D．的图象与函数的图象没有交点 11．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．且 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 ． 13．（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a= 14．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；     ② 16. (15分) （24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）． (1)求证：若，则； (2)求的值． 17. (15分) （24-25高一上·山西晋城·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)若，求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·吉林长春·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. (17分) （24-25高一上·江苏·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河北保定·期末）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 6．（2024·福建·三模）定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（    ） A．1 B．3 C． D． 7．（2023·全国·二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 8．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则（    ） A．函数的值域为 B．函数无最值 C．函数在R上递减 D．函数在上单调递减 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数满足：①，，；②，则（   ） A． B． C．在上是减函数 D．，，则 10．（24-25高一上·浙江台州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数（且）过定点 B．函数与（且）的图象关于轴对称 C．指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则 D．若实数、满足，则 11．（24-25高一上·广东广州·期中）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的值域为 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， D．已知，则函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·安徽合肥·期中）设 若不等式 对任意恒成立，则k的取值范围是 . 13．（2023高一·全国·课后作业）函数的定义域 ，值域 ． 14．（22-23高一上·浙江·期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数： ；的单调递减区间为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东广州·期中）（1）求的值； （2）已知，.求及的值 16. (15分) （24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求m的值; (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若关于x的函数的图象与x轴有交点，求实数的取值范围. 17. (15分) （24-25高一上·黑龙江黑河·期中）已知函数为奇函数. (1)写出的定义域，并求的值； (2)判断函数的单调性，并利用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·山东·期中）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 19. (17分) （24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$