精品解析：四川省荣县中学校2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷

2024-2025学年度高一数学期中测试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，集合，集合中元素的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 设函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 2 3. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 对于，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 的值域为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是__________. 13. 已知集合，集合，那么______． 14. 已知三次函数有唯一对称中心，据此结论完成的对称中心______. 四、解答题 15. 解下列不等式. （1）﹣x2+2x﹣3＜0； （2）﹣3x2+5x﹣2＞0. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）试判断函数在上的单调性，并给予证明； （3）试判断函数在的最大值和最小值. 17. 经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：. （1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ （2）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.01） 18. 已知函数. （1）求的最小值; （2）求的最大值. 19. 已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（提示：令） （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一数学期中测试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，集合，集合中元素的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】， 所以有6个元素， 故选：A 2. 设函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件求出后可求. 【详解】， 故选：B 3. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】将变为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号． 故选：B 6. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论，和三种情况，讨论函数类型，即可判断函数的图象. 【详解】当时，，，为A的图象； 当时，为对勾函数，为B图象； 当时，，函数的零点是，函数的单调递增区间是和，为C图象； 不管为何值，都不可能是D的图象. 故选：D 8. 对于，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，将恒成立问题转化为不等式组，然后利用不等式性质即可求得的取值范围，从而得解. 【详解】，，等价于当时，， 令，由二次函数的性质，可知， 所以，等价于则 由可得，，所以的最大值为． 故选：D 二、多选题 9. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解. 【详解】不等式的解集是，开口向下，所以， 的两根为-1和2， 所以，即，，故A错，D对； ，即，C对， ，B对， 故选：BCD 10. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由偶函数的性质和二次函数的性质可得A正确，由偶函数的性质和函数图像可得B正确；由奇偶性可得C错误，举反例可得D错误； 【详解】对于A，，函数是偶函数，由二次函数的性质可知，其在上为单调递增函数，故A正确； 对于B，，函数是偶函数，由函数图象可得其在为增函数，故B正确； 对于C，是奇函数，故C错误； 对于D，当时，；当时，，所以在上不为增函数，故D错误； 故选：AB. 11. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据取整函数的定义判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，，即，所以函数不是偶函数，B选项错误； C选项：由已知可得，所以， ，C选项正确； D选项：由已知，则，即，D选项错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数的定义列方程，结合幂函数的性质列不等式，由此可求. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，① 因为函数在上为增函数， 所以，② 由①可得或， 又， 所以. 故答案为：. 13. 已知集合，集合，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】求二次函数值域得集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， 又或， 所以. 故答案为： 14. 已知三次函数有唯一对称中心，据此结论完成的对称中心______. 【答案】 【解析】 【分析】由对称中心概念即可求解. 【详解】由题意对于，， ， 所以的对称中心是. 故答案为： 四、解答题 15. 解下列不等式. （1）﹣x2+2x﹣3＜0； （2）﹣3x2+5x﹣2＞0. 【答案】（1）R （2）{x|1} 【解析】 【分析】（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案； （2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x）＜0，解可得答案. 【小问1详解】 根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0⇒x2﹣2x+3＞0⇔（x﹣1）2+2＞0， 又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R； 【小问2详解】 根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（x）＜0， 解可得：x＜1，即不等式的解集为{x|x＜1}. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）试判断函数在上的单调性，并给予证明； （3）试判断函数在的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 由题，， 判断函数在上是增函数，证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域概念求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明； （3）利用函数的单调性和最值关系求解. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 所以 17. 经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：. （1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ （2）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.01） 【答案】（1）应控制在这个范围内；（2）千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时. 【解析】 【分析】 （1）依题意列出不等式，解不等式即可； （2）函数式变形后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）据题意有：， 化简得，即， 所以汽车的平均速度应控制在这个范围内. （2）， 当，即千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时. 答:（1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在这个范围内；（2）在该时段内，当汽车的平均速度为千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时. 【点睛】此题为已知函数关系的应用题，考查如何用函数关系获得所要的数据，属于基础题. 18. 已知函数. （1）求的最小值; （2）求的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值； （2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数在每段上的最大值从而得出的最大值． 【小问1详解】 由题意可得：， 当时，在区间上单调递减，最小值； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值； 当时，在区间上单调递增，最小值； 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在单调递减，所以的最大值为； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为； 当时，在单调递增，所以的最大值为； 综上所述：的最大值. 19. 已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（提示：令） （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为，值域为. （2） 【解析】 【分析】（1）结合题目所给性质，求函数的单调性和值域； （2）求出函数的值域，根据值域的包含关系求解. 【小问1详解】 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为， 且，，， 所以的值域为. 【小问2详解】 因为在上单调递减， 所以， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $