专题15.4 分式方程及分式方程的实际应用（7大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题15.4 分式方程及分式方程的实际应用 目录 【典型例题】 1 【考点一 分式方程的定义】 1 【考点二 解分式方程】 3 【考点三 已知分式方程的增根求参数】 7 【考点四 已知分式方程的无解求参数】 9 【考点五 根据分式方程解的情况求值】 12 【考点六 列分式方程】 14 【考点七 分式方程的实际应用】 16 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 分式方程的定义】 例题：（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 3．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 【考点二 解分式方程】 例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键． （）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意计算结果要检验． （1）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论； （2）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 2．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解法，检验是解分式方程的必要步骤． （1）根据解分式方程的解法步骤求解即可． （2）根据解分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得合并同类项得，， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 3．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为：． （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为：． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)原方程无解； (2)原方程无解； (3)． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案； （2）方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案； （3）方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当，， ∴原方程无解； （3）解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【考点三 已知分式方程的增根求参数】 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由分式方程有增根，得到，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解：去分母得，， 合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解． 【详解】解∶方程两边同乘以，得， 整理得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， 当时， ，解得； 当时， ，解得； ∴a的值为或， 故答案为：或． 【考点四 已知分式方程的无解求参数】 例题：（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若关于x的分式方无解，则m的值为 ． 【答案】2或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，先求解该分式方程，得出，再根据该分式方程无解，得出，则，即可解答． 【详解】解：， 去分母，得， ∵原分式方程无解， ∴， 解得， ∴， 解得：或， 故答案为：2或． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解问题．先将分式方程化为整式方程，得出的值，然后根据分式方程无解，得出的值，继而求出的值． 【详解】解：， ， ， ，， 整理得：， 可得：， ∵关于的方程无解， ∴， 即 故． 故答案为：． 2．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键． 将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 3．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 【考点五 根据分式方程解的情况求值】 例题：（23-24九年级下·山东日照·开学考试）若关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； 根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解： 去分母得： 去括号： 移项： 系数化为： 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：且 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若关于的方程有整数解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先方程两边都乘，得，再根据有整数解，逐个分析，即可作答．本题考查了根据分式方程解的情况求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∴ ∴ ∵关于的方程有整数解 ∴或， ∴ ∴的值为 故答案为： 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式方程的解，注意任何时候考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数且分母不等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵方程的解是正数 ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 【考点六 列分式方程】 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设大巴车的速度为，则轿车的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设大巴车的速度为，列方程得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用、列分式方程 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可 【详解】设甲摘个草莓时间为小时， 分钟等于小时， ． 故答案为：． 【考点七 分式方程的实际应用】 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，若更新设备前每天生产产品件．据此解答下列问题： (1)更新设备后每天生产　　 件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少件产品？ 【答案】(1) (2)更新设备后每天生产125件产品 【知识点】用代数式表示式、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的实际应用； （1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可. 【详解】（1）更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了， 更新设备后每天生产产品数量为：（件）， 故答案为：； （2）由题意知：， 去分母，得， 解得：， 经检验，0是所列分式方程的解， （件）， 答：更新设备后每天生产125件产品． 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·模拟预测）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格是每个足球的价格的倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个．求每个足球的价格． 【答案】每个足球的价格为100元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程成为解题的关键． 设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为元，再根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为元， 由题意得：， 解得：, 经检验：是分式方程的解． 答：每个足球的价格为100元． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程． (1)甲施工队每天完成多少？ (2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款． 【答案】(1)甲施工队每天完成的绿化面积为； (2)甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验． （1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为，利用等量关系列出分式方程求解即可； （2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解． 【详解】（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 答：甲施工队每天完成的绿化面积为； （2）解：∵， ∴，， ∴甲施工队完成了任务， 乙施工队完成了任务， ∴甲施工队可得工程款（元）， 乙施工队可得工程款（元）， 答：甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用： （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天； （2）解：工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由： 设两队合作y天完成，根据题意得： ， 解得：， 此时元元， 所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，分式方程的个数是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程时，去分母变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，先将分式化为同分母分式，再乘以公分母即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 两边同时乘以得：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）石家庄市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株， 根据题意得， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 根据分式方程的计算步骤求解即可； 【详解】解： 去分母得：， 移项： 合并同类项： 解得： 当时，， 故答案为： 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟知分式方程的增根就是使分式方程的最简公分母为0的未知数的值是解决问题的关键．方程的两边同乘以可得，由分式方程有增根，可得，把代入即可求得m的值． 【详解】解：方程的两边同乘以得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数，，规定．若，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程 【分析】本题是新定义问题，考查了解分式方程，理解规定的新运算是关键，注意不要忘了检验．根据题干新定义的运算转化为分式方程，然后解分式方程即可． 【详解】解：由规定运算，可化为，， 即， 解得， 检验：当时，符合条件， ∴原方程的解为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得； ， ， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 10．（24-25九年级上·重庆·期中）关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 【答案】2 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为非负整数，且 ∴且的偶数， 又∵ ∴，0 ∴符合条件的整数的值之和为． 故答案为：2． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东威海·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 所以是分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：不是原方程的解， 原分式方程无解． 12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解 13．（24-25七年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可； （2）将各分母进行因式分解，找出各分母的最简公分母，方程两边同乘该最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 化简，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． （2）解： 方程可化为， 方程两边同乘，得， 化简，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 14．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，学校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套．已知元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．求每套《古今数学思想》的价格． 【答案】元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设每套《什么是数学》的价格是元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设每套《什么是数学》的价格是元，则每套《古今数学思想》的价格是元． 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解， 且符合题意， ， 答：每套《古今数学思想》的价格是元． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二，利用完全平方公式展开错误；任务二：． 【知识点】解分式方程、等式的性质2 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可；②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解． 16．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】（1）3；（2）m的值为3或0或4 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． （1）解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 17．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 18．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为， 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； (2)根据这类方程的特征，写出第个方程为________，其解为________； 【答案】(1)；， (2)；， 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式的规律性问题 【分析】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； 【详解】（1）解：如：， 其解为：， （2）解：∵，． ∴第个方程为， 其解为：， 20．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先阅读下面例题的解法，再完成后面的问题． 例题：已知，求A，B的值． 解：将等式两边都乘得： 去括号整理得： 所以，解得 (1)已知，求A，B的值； (2)根据（1）中的结果，若，求x的值． 【答案】(1)， (2)101 【知识点】异分母分式加减法、加减消元法、解分式方程 【分析】本题考查了分式的加减法、二元一次方程组的应用、解分式方程，读懂阅读材料中的解法是解题关键． （1）先给等式两边同乘以去分母，去括号化简可得一个关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可得； （2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再计算分式的加减法即可得出结果；进而解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：， 等式两边同乘以去分母，得， 即， 则， 解得； （2）解：∵ ， ∴，则， 解得， 经检验，是方程的解， 故x的值为101． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.4 分式方程及分式方程的实际应用 目录 【典型例题】 1 【考点一 分式方程的定义】 1 【考点二 解分式方程】 3 【考点三 已知分式方程的增根求参数】 7 【考点四 已知分式方程的无解求参数】 9 【考点五 根据分式方程解的情况求值】 12 【考点六 列分式方程】 14 【考点七 分式方程的实际应用】 16 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 分式方程的定义】 例题：（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 解分式方程】 例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程： (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程： (1) (2) 2．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 3．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 4．（2024八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【考点三 已知分式方程的增根求参数】 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于的方程有增根，则的值为 ． 3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 【考点四 已知分式方程的无解求参数】 例题：（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若关于x的分式方无解，则m的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 2．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【考点五 根据分式方程解的情况求值】 例题：（23-24九年级下·山东日照·开学考试）若关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若关于的方程有整数解，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【考点六 列分式方程】 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 3．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ． 【考点七 分式方程的实际应用】 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，若更新设备前每天生产产品件．据此解答下列问题： (1)更新设备后每天生产　　 件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少件产品？ 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·模拟预测）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格是每个足球的价格的倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个．求每个足球的价格． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程． (1)甲施工队每天完成多少？ (2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，分式方程的个数是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程时，去分母变形为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）石家庄市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）方程的解为 ． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的分式方程有增根，则 ． 8．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数，，规定．若，则 ． 9．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·重庆·期中）关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东威海·期中）解方程 (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 13．（24-25七年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，学校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套．已知元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．求每套《古今数学思想》的价格． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 16．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 17．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 18．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为， 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； (2)根据这类方程的特征，写出第个方程为________，其解为________； 20．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先阅读下面例题的解法，再完成后面的问题． 例题：已知，求A，B的值． 解：将等式两边都乘得： 去括号整理得： 所以，解得 (1)已知，求A，B的值； (2)根据（1）中的结果，若，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$