专题07 解三角形（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题07解三角形 利用正弦余弦定理解三角形 1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京通州·期末）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·北京·期末）在中，若，，，则（    ） A． B．4 C． D．3 4．（21-22高三上·北京顺义·期末）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．18 D．36 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）在中，，，则 ； ． 7．（23-24高三上·北京房山·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 8．（22-23高三上·北京昌平·期末）在中，，则 ， . 9．（21-22高三上·北京·期末）在△中，若，，，则 . 利用正余弦定理进行边角互化 10．（21-22高三上·北京密云·期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 11．（23-24高三上·北京石景山·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高三上·北京石景山·期末）在△中，若，则（    ） A． B． C． D． 三角形的面积与周长问题 13．（22-23高三上·北京西城·期末）在中，若，则的面积是（    ） A．1 B． C． D． 14．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·北京通州·期末）在中，角所对的边分别为，且，则 ；若的面积，则 . 16．（21-22高三上·北京房山·期末）在△中，，则 ，△的面积 ． 17．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出的解析式及其单调递增区间； (2)在中，，求的面积. 18．（22-23高三上·北京海淀·期末）在锐角中，角对应的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的值. 19．（21-22高三上·北京朝阳·期末）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． (1)当时．求； (2)是否存在正整数，使得角C为钝角？如果存在，求出的值，并求此时的面积；如果不存在．说明理由． 多三角形问题 20．（22-23高三上·北京房山·期末）在中，是边上一点，，，，. (1)求的长； (2)求的面积. 解三角形中的最值问题 21．（22-23高三上·北京朝阳·期末）在中，． (1)求； (2)若，求的最小值． 22．（22-23高三上·北京朝阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若为边上的高，若，求的最大值． 解三角形的结构不良 23．（22-23高三上·北京石景山·期末）在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 24．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 25．（23-24高三上·北京丰台·期末）在△中，，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 26．（23-24高三上·北京昌平·期末）在中，． (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 27．（23-24高三上·北京东城·期末）在中， (1)求； (2)若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 28．（23-24高三上·北京海淀·期末）在中，. (1)求的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 29．（23-24高三上·北京大兴·期末）在中. (1)若，求的面积： (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 30．（21-22高三上·北京海淀·期末）在中，. (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 31．（21-22高三上·北京海淀·期末）若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题： (1)求A的大小； (2)求和a的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：； 条件④：. 32．（21-22高三上·北京顺义·期末）在中，，. (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出的面积.条件①：；条件②：；条件③：成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 33．（21-22高三上·北京门头沟·期末）在中，. (1)求； (2)若，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值. 条件①： 条件②：                  条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 34．（21-22高三上·北京通州·期末）在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： (1)求角的大小； (2)求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 35．（21-22高三上·北京昌平·期末）在△中，. (1)求A； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 36．（21-22高三上·北京丰台·期末）在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． (1)求； (2)求的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 37．（21-22高三上·北京东城·期末）在△中，，. (1)求证：△为等腰三角形； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值. 条件①：； 条件②：△的面积为； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 38．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：. (1)求b的值； (2)求的面积. 39．（21-22高三上·北京·期末）已知的面积为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①，；条件②：，. (1)b和c的值. (2)的值. 40．（21-22高三上·北京·期中）已知同时满足下列四个条件中的三个： ①     ②    ③    ④ (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)求的面积． 41．（21-22高三上·北京·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 42．（21-22高三上·北京昌平·期末）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的面积. 条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 43．（21-22高三上·北京丰台·期末）在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为已知． （1）求． （2）求的面积． 条件①：，条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 44．（22-23高三上·北京丰台·期末）在中，． (1)求A； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 1．（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·北京昌平·期末）中，角的对边分别为，且，，，则的值为（    ） A．12 B．4 C．10 D． 3．（23-24高三上·北京东城·期末）已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京大兴·期末）在中，，.若，则 ；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是 . 5．（21-22高三上·北京·期末）在锐角三角形中，． （I）从条件①、②中选择一个作为已知，求边的值； ①，，②，； （II）求函数的最大值． 注．如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 6．（21-22高三上·北京·期末）已知中，. （1）中是否必有一个内角为钝角，说明理由. （2）若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.请证明使得存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07解三角形 利用正弦余弦定理解三角形 1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数之间的基本关系可得，再由正弦定理可求得. 【详解】易知，由可得； 利用正弦定理可得. 故选：D 2．（22-23高三上·北京通州·期末）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由余弦定理直接求得答案. 【详解】在中，若，，, 则,即，即， 解得 ，舍去， 故选：A 3．（21-22高三·北京·期末）在中，若，，，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】因为， 所以， 又，， 由余弦定理得：， ， 所以， 故选：A 4．（21-22高三上·北京顺义·期末）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理：，可得，则，即，再由，求解即可. 【详解】由题意，在中，，，， 由余弦定理：， 故，即， 故，即， 所以，则. 故选：D 5．（23-24高三上·北京昌平·期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】利用已知及正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理可知，不妨设， 由， 所以的周长是. 故选：C 6．（23-24高三上·北京顺义·期末）在中，，，则 ； ． 【答案】 【分析】由正切函数定义可求得，可得，再由正弦定理可得. 【详解】由，，可得； 所以可得，所以，即； 易知，， 由正弦定理可得； 故答案为：， 7．（23-24高三上·北京房山·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，整理得，而， 因此，又，所以. 故答案为： 8．（22-23高三上·北京昌平·期末）在中，，则 ， . 【答案】 / 【分析】根据余弦定理可求，再根据余弦定理看可求. 【详解】由余弦定理可得， 故，故（舍）或， 故，而为三角形内角，故. 故答案为：，. 9．（21-22高三上·北京·期末）在△中，若，，，则 . 【答案】 【解析】由余弦定理求出，再次由余弦定理得出. 【详解】由余弦定理可知 即 故答案为： 利用正余弦定理进行边角互化 10．（21-22高三上·北京密云·期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值. 【详解】由题设，且，可得，， 所以，又，， 所以，即. 故选：B. 11．（23-24高三上·北京石景山·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 由于，所以，所以， 所以是锐角，且. 故选：B 12．（21-22高三上·北京石景山·期末）在△中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，进而可得结果. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 由于，即，所以，得， 故选：C. 三角形的面积与周长问题 13．（22-23高三上·北京西城·期末）在中，若，则的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案. 【详解】由余弦定理得，代入，得 ，联立化简得， 解得或（舍去），故， ，则, 故. 故选：D. 14．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正余弦定理及同角基本关系可以求出，然后结合余弦定理以及基本不等式，可以求得的最值，进而求出面积的最值. 【详解】由正弦定理及，得， 即，所以A为锐角 又因为，所以 由余弦定理 整理得 当且仅当时等号成立，即 所以 故选：A. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 15．（23-24高三上·北京通州·期末）在中，角所对的边分别为，且，则 ；若的面积，则 . 【答案】 / 【分析】由正弦定理化简已知式可得，即可求出；再由三角形的面积公式和余弦定理可求出. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 所以由可得：， 则，所以； ，解得：， 因为， 所以由余弦定理可得：， 则. 故答案为：；. 16．（21-22高三上·北京房山·期末）在△中，，则 ，△的面积 ． 【答案】 4 【分析】根据余弦定理可得值，先求得结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】，， 由可得,. 故答案为：，． 17．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出的解析式及其单调递增区间； (2)在中，，求的面积. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得； （2）由题可得，然后根据余弦定理及三角形面积公式即得. 【详解】（1）由题可知函数的最小正周期为， 所以， 根据“五点法”可得，即， 所以， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为； （2）因为，又，， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，即， 所以. 18．（22-23高三上·北京海淀·期末）在锐角中，角对应的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而结合题意得； （2）由三角形面积公式得，进而根据余弦定理与正弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以，解得或， 因为为锐角三角形， 所以，， （2）解：因为的面积， 所以，解得， 所以由余弦定理得，即， 所以，由正弦定理得 所以， 19．（21-22高三上·北京朝阳·期末）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． (1)当时．求； (2)是否存在正整数，使得角C为钝角？如果存在，求出的值，并求此时的面积；如果不存在．说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，使得角C为钝角.此时. 【详解】（1）解：当时，，，， 所以. （2）解：当角C为钝角时，, 所以， 因为. 当时，，，，是钝角. 故存在，使得角C为钝角.此时. 所以. 多三角形问题 20．（22-23高三上·北京房山·期末）在中，是边上一点，，，，. (1)求的长； (2)求的面积. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）中，根据余弦定理求的长； （2）中，根据余弦定理求，即可求，再根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）因为， 则，，， 中，, 即，解得：或（舍）， 所以； （2）， 因为 所以，， 所以. 解三角形中的最值问题 21．（22-23高三上·北京朝阳·期末）在中，． (1)求； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】(1)由正弦定理可得，从而得，即可得； (2)由余弦定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】（1）解：因为， 所以， 又因为， 所以， 即有， 又因为， 所以； （2）解：因为，， 所以， 当时，等号成立， 所以， 故的最小值为：3. 22．（22-23高三上·北京朝阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若为边上的高，若，求的最大值． 【答案】(1)； (2)1. 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系化简已知等式，可得，结合即可求解； (2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，即可求解. 【详解】（1），由正弦定理， 得， 由， 得，又， 所以，有，即， 又，所以； （2）由，得， 由余弦定理及， 得， 当且仅当时取到等号. 所以，故， 即的最大值为1. 解三角形的结构不良 23．（22-23高三上·北京石景山·期末）在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行求解即可； 若选②：利用正弦定理和余弦定理进行求解即可； （2）结合（1）的结论，根据三角形面积公式、余弦定理、三角形周长公式进行求解即可. 【详解】（1）选①： ， 因为，所以，因此有， 因为，所以； 选②： 由 ， 因为，所以； （2）因为的面积为， 所以有，而， 解得：， 由余弦定理可知：， 所以的周长为. 24．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)选择条件①；选择条件②；选择条件③不合题意. (2)选择条件①；选择条件②. 【分析】（1）选条件①时，直接利用余弦定理的应用求出a的值；选条件②时，利用正弦定理的应用求出a的值；选条件③时，由于出现与已知条件中三角形有一解相矛盾，故舍去. （2）选条件①时，利用勾股定理证明为直角三角形，可求出三角形的面积； 选条件②时，利用三角函数的关系式求出，应用三角形面积公式的求出结果． 【详解】（1）（1）选择条件①， ，由于，， 所以，解得； 选择条件②， ，由于，， 由正弦定理，. 选择条件③， ，由正弦定理，得， 此时或，三角形不唯一，不合题意． （2）选择条件①， ，由，则，满足， 故为直角三角形，所以； 选择条件②， ，在中，， 所以. 25．（23-24高三上·北京丰台·期末）在△中，，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件②或③， 【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】（1）在中，因为，又，所以． 因为，所以． 因为，所以． （2）选择条件②：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为，所以． 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为的面积为，即， 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 由题可知，故①不合题意. 26．（23-24高三上·北京昌平·期末）在中，． (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理可得答案； （2）若选条件①、②，由余弦定理解得或，不符合题意；若选条件①、③，利用平方关系求出，由正弦定理可得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意；若选条件条件②、③，利用平方关系计算出，由正弦定理解得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为在中，，所以， 又因为，所以，所以， 可得； （2）由（1）知， 若选条件①：，条件②：， 则由余弦定理可得, 即，解得或， 可使得的面积存在但唯一确定，故不符合题意； 若选条件①：，条件③：， 则可得， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以，符合题意； 若选条件②：，条件③：， 则可得， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以，符合题意. 27．（23-24高三上·北京东城·期末）在中， (1)求； (2)若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)若选条件①，则；若选条件③，则. 【分析】（1）由余弦定理计算即可得； （2）若选条件①，由正弦定理可计算出，结合三角形内角和与面积公式即可得面积；若选条件③，由余弦定理结合条件可计算出、，由面积公式计算即可得；不能选条件②，计算出到的距离，故该三角形不唯一，不符合题意. 【详解】（1），故； （2）若选条件①：， 由，，，故，即， ， 此时三角形唯一确定，符合要求， . 若选条件③：的周长为, 由，故， 则，化简得， 即有，解得，故， 此时三角形唯一确定，符合要求， . 不能选条件②，理由如下： 若选条件②：， 由，，，设点到直线的距离为， 则，即， 此时，， 故该三角形不唯一，故②不符合要求. 28．（23-24高三上·北京海淀·期末）在中，. (1)求的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)不能选①，选②或③，答案均为1 【分析】（1）由正弦定理及得到，结合，得到； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到，由推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到，是以为斜边的直角三角形，由正弦定理得到，求出中线；选③，由余弦定理得到，设边上的中线长为，再由余弦定理得到边上的中线的长为1. 【详解】（1）由正弦定理及， 得.① 因为， 所以.② 由①②得. 因为，所以. 所以. 因为， 所以. （2）选①，的面积为， 即，即，解得， 因为，由余弦定理得， 即，解得， 由基本不等式得，但， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：. 由（1）知，. 所以 . 所以. 因为，所以. 所以，即. 所以是以为斜边的直角三角形. 因为， 所以. 所以边上的中线的长为. 选条件③：. 由余弦定理得，即. 设边上的中线长为，由余弦定理得 . 所以边上的中线的长为1. 29．（23-24高三上·北京大兴·期末）在中. (1)若，求的面积： (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理可得，进而可得，再由求解即可； （2）若选①，结合正弦定理可得，不满足题意，故舍去； 若选②，结合正弦定理及三角恒等变换可得，求解即可； 若选③，由正弦定理可得，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：若选①，则有且， 由，可得， 所以，即，不满足题意； 若选②，则有且， 由，可得， 所以， 即，， 又因为，解得； 若选③，则有且， 由，可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以不可能为钝角或直角，只能为锐角， 所以， 所以. 综上，选②或选③，. 30．（21-22高三上·北京海淀·期末）在中，. (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)选条件②③， 【分析】（1）由余弦定理结合，即可求出； （2）由（1）可知，则可得出，而条件①等价于故条件①恒不成立，即选择条件②③，利用正弦定理可求出，再由，代入，即可求出答案. 【详解】（1）由余弦定理得： 又 所以. （2）因为，所以， 所以， 当时，，与矛盾，故条件①恒不成立， 则选择条件②：与条件③：. 由正弦定理得：， 又因为， 所以， 所以， 所以 . 31．（21-22高三上·北京海淀·期末）若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题： (1)求A的大小； (2)求和a的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：； 条件④：. 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】若选择①②④： (1)由正弦定理可得的值，结合，可求，即可得解的值； (2)由题意可得，可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式可求，进而可求，利用正弦定理即可求解的值． 若选择①③④： (1)利用正弦定理可得的值，由于，可得范围，即可求解的值； (2)由题意利用大边对大角可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的余弦公式可求，进而可求，由于，可求的值，根据正弦定理可得． 【详解】（1）共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法， 根据条件②可知b＞a，B＞A，则A为锐角；根据条件③可知cosA＜0，A为钝角； 故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④. 若选择①②④： ∵，，由正弦定理可得， ∵，∴，可得，可得． 若选择①③④： ∵，，由正弦定理可得， 在中，∵，∴，∴． （2）若选择①②④： 在中，，∴，∴， ∵，可得， ∴， ∴， 由正弦定理可得，可得， ∵，∴． 若选择①③④： 在中，∵，∴，∴， ∵，可得， ∴， ∴， ∵，∴，由正弦定理可得． 32．（21-22高三上·北京顺义·期末）在中，，. (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出的面积.条件①：；条件②：；条件③：成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选①：△ABC存在，此时；选②：△ABC不存在；选③：△ABC存在，此时. 【分析】（1）利用正弦定理得到，进而求出的大小；（2）选①：结合第一问可求出，，得到△ABC存在，利用面积公式求出答案；选②：利用余弦定理可得到，故△ABC不存在；选③：利用余弦定理可得：，结合，，得到△ABC存在，利用面积公式得到答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理 可得                                        所以， 即，又，所以； （2）选择条件①： 由（1）知，，所以，故，因为，所以， 所以，此时存在， 因为，所以 又因为 所以    选择条件②： 因为，由余弦定理可得， 又所以可得， 又由条件②：，可得：，所以， 又，所以可得，这与在中，矛盾 故此时不存在 选择条件③：成等差数列 因为成等差数列，所以， 因为，所以 又由余弦定理可得， 化简得 联立方程组，可解得：或（舍）， 又，，所以可知为等边三角形，此时存在， 所以. 33．（21-22高三上·北京门头沟·期末）在中，. (1)求； (2)若，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使存在并唯一确定，并求的值. 条件①： 条件②：                  条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，可求答案； （2）选条件①，答案不唯一，不符合题意；选条件②，利用正弦定理可求得 , 再用正弦定理求得答案；  选条件③，可先求 ,再求,最后用正弦定理求c. 【详解】（1）由正弦定理得 , 即, 因为 ， , 所以; （2）选条件①,则， ,故 或，存在但不唯一确定，故不符合题意； 选条件② 由正弦定理得：, ,存在并唯一确定， 故, 所以， 选条件③ ，存在并唯一确定， 所以， 故. 34．（21-22高三上·北京通州·期末）在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： (1)求角的大小； (2)求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】(1)选②或③，； (2)的面积为. 【分析】（1）选①，利用三边关系可判断不存在； 选②：利用余弦定理可求得角的值； 选③：利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积． 【详解】（1）解：因为，，则. 选①：因为，则，则不存在； 选②：因为，则， 由余弦定理可得，，则； 选③：，则， 、，则，，故，从而. （2）解：因为，，，由余弦定理可得， 即，解得，因此，. 35．（21-22高三上·北京昌平·期末）在△中，. (1)求A； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长． 条件①：； 条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①，不合题意；选条件②， 边上高线的长为 【分析】（1）利用余弦定理及题干条件得到，从而得到；（2）选①不能保证△ABC唯一确定，故选②，利用正弦定理及题干条件得到，根据三角形面积求得BC 边上高线的长． 【详解】（1）由余弦定理及，得. 因为，所以. （2）选条件①： 由（1）知：，则，代入解得：，，此时△ABC 存在但不唯一，不合题意，舍去； 选条件②：. 由正弦定理及，得. 在△中，，设，由，得 ，解得.符合要求. 设BC 边上高线的长为由，解得 36．（21-22高三上·北京丰台·期末）在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． (1)求； (2)求的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①②答案相同，； (2)选①②答案相同，的面积为. 【分析】（1）选①，用余弦定理得到，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出，再用余弦定理求出，得到答案；（2）选①，先求出，使用面积公式即可；选②：先用求出，再使用面积公式即可. 【详解】（1）选条件①：． 在△中，因为，，， 由余弦定理，得． 因为， 所以； 选条件②： 由余弦定理得：，解得：或（舍去）由余弦定理，得． 因为， 所以； （2）选条件①： 由（1）可得． 所以的面积． 选条件②：． 由（1）可得． 因为 ， 所以的面积．          ． 37．（21-22高三上·北京东城·期末）在△中，，. (1)求证：△为等腰三角形； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值. 条件①：； 条件②：△的面积为； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析； (2)详见解析. 【分析】（1）把转化为边a、b之间的倍数关系，把转化为三边a、b、c之间的关系，综合可得证； （2）条件①,与已知矛盾，三角形无解，不可选； 条件②，通过三角形面积公式解得a，可使△存在且唯一； 条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一. 【详解】（1）在△中，由，可得 则由，可得 即，故有 故△为等腰三角形. （2）选择条件①：时，由（1）知，则有， 此时， 与已知矛盾，三角形无解.不能选； 选择条件②：△的面积为时， 由得， 故有，解得，,. 三角形存在且唯一，可选. 选择条件③：边上的高为. 由得， 可得，则有,. 三角形存在且唯一，可选. 综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，. 选择条件③时，三角形存在且唯一，. 38．（21-22高三上·北京·期末）在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：. (1)求b的值； (2)求的面积. 【答案】(1)选条件①：；选条件②： (2)选条件①：；选条件②： 【分析】（1）若选①：在三角形ABC中由正弦定理及余弦定理可得a，b关系式，解方程可得b的值；若选②：由正弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理可得a，b，c的关系，再由A角的余弦值可得b的值． （2）结合（1），利用三角形面积公式即可求出三角形的面积； 【详解】（1）选条件①：. 在中，因为，所以. 因为，且，，， 所以， 化简得，解得或. 当时，，与题意矛盾， 所以，所以. 选条件②：. 在中，因为，且， 所以由，得. 因为，且，，， 所以，解得. （2）选条件①：. 因为，，所以， 所以. 选条件②：. 由（1）知，所以. 因为，，所以， 所以. 39．（21-22高三上·北京·期末）已知的面积为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①，；条件②：，. (1)b和c的值. (2)的值. 【答案】(1)若选①：，；若选②：，； (2)若选①：；若选②：. 【分析】若选择条件①： (1)利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式可求，的值，进而根据余弦定理可求的值． (2)由正弦定理可求，的值，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解的值． 若选择条件②： (1)由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形的面积公式可求，的值，根据余弦定理可求的值． (2)由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦公式即可求解的值． 【详解】（1）若选择条件①： 在中，∵， ∴，， ∵，，∴， 由余弦定理，， ∴； 若选择条件②： 在中，∵，∴． ∵，∴，， ∵， ∴， 由余弦定理，，∴； （2）若选择条件①： 由正弦定理，可得， ∴，， ∵，∴，， ∴. 若选择条件②： 由正弦定理得， ∴， ∵，∴， ∴． 40．（21-22高三上·北京·期中）已知同时满足下列四个条件中的三个： ①     ②    ③    ④ (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)同时满足①，③，④，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和，大角对大边即可判断出来； （2）根据余弦定理求出，再套用面积公式即可. 【详解】（1）同时满足①，③，④． 理由如下：若同时满足①，②，则 因为，且， 所以．这与，矛盾． 所以不能同时满足①，②． 所以只能同时满足③，④． 因为，所以，故不满足②． 故满足①，③，④． （2）因为， 所以 解得或（舍）． 所以的面积 41．（21-22高三上·北京·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】条件选择见解析；，． 【解析】(一)选择条件①，条件②，由已知和三角形的面积公式可求得，再由同角三角函数间的关系求得，再由余弦定理求得，由正弦定理求得. (二)选择条件①，条件③. 同角三角函数间的关系求得.再由正弦定理可得.由余弦定理可得.(负值舍去)； (三)选择条件②，条件③. 同角三角函数间的关系求得.由三角形的面积公式可求得，由余弦定理可得，再由正弦定理可得. 【详解】解：(一)选择条件①：；条件②：. 因为，，，所以，即.所以. 因为是锐角三角形，所以. 由余弦定理可得.所以.(负值舍去)， 由正弦定理可得.所以. 所以，. (二)选择条件①：；条件③：. 因为，所以. 由正弦定理可得.所以. 由余弦定理可得.所以.(负值舍去)， 所以，. (三)选择条件②：；条件③：. 因为，所以. 因为，， 所以，即.所以. 由余弦定理可得.所以.(负值舍去)， 由正弦定理可得.所以. 所以，. 【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件； （2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件； （3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 42．（21-22高三上·北京昌平·期末）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的面积. 条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（I）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析. 【解析】（1）选择条件①，化简，得，从而算得. 由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积. （2）选择条件②，化简得，从而算得. 由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积. 【详解】选择条件①： （Ⅰ）因为， 所以， 因为，所以. 所以. 所以. （Ⅱ）由余弦定理， 得， 所以. 解得或（舍负）. 所以. 所以的面积. 选择条件②： （Ⅰ）因为， 所以， 解得或. 因为， 所以. 所以. （Ⅱ）由余弦定理， 得， 所以，   解得或（舍负）. 所以. 所以的面积. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 43．（21-22高三上·北京丰台·期末）在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为已知． （1）求． （2）求的面积． 条件①：，条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）；（2） 【解析】选择条件①， （1）根据同角三角函数关系求出，再由根据和的正弦公式即可求出； （2）由正弦定理求出，即可由面积公式求出； 选择条件②， （1）根据同角三角函数关系求出，由正弦定理即可求出； （2）由余弦定理求出，即可由面积公式求出. 【详解】选择条件①， （1），， ，， ； （2）由正弦定理可得， ， ； 选择条件②， （1），， 由正弦定理可得， ； （2）由余弦定理可得， 即，解得（舍去）或， . 【点睛】本题考查正余弦定理和面积公式的应用，解题的关键是正确应用正余弦定理，正确计算. 44．（22-23高三上·北京丰台·期末）在中，． (1)求A； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果； （2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解. 【详解】（1）由可得，. 因为，所以，又，所以或. （2）若选①：. 因为，所以为钝角，为锐角， 又， 又，所以，即，所以存在且唯一确定. 则，由可得. . 根据正弦定理可得，， 所以； 若选②：. 因为，所以，由正弦定理可得，， 因为，所以，所以存在且唯一确定. 则，所以，； 若选③：. 因为，所以，此时或， 所以，此时存在但不唯一. 1．（23-24高三上·北京通州·期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可求得，根据向量积即可知. 【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长， 易知，且相似比为， ，在中，由余弦定理得： ， 所以，此时满足，所以， 所以，此时， 由图可知，， 则. 故选：B. 2．（21-22高三上·北京昌平·期末）中，角的对边分别为，且，，，则的值为（    ） A．12 B．4 C．10 D． 【答案】A 【分析】先将式子中的化成，然后结合正弦定理与三角恒等变换进行化简求值，求出，进而结合余弦定理解三角形即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 结合正弦定理，得, ∴， 又因为，∴，即， 所以，因为，所以， 又因为，， 所以结合余弦定理得，即，整理得，因为，所以， 故选：A. 3．（23-24高三上·北京东城·期末）已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，结合图形分析可得，利用正弦函数的性质以及二次函数的性质即可得最值. 【详解】如图：设，圆M的半径为r， 则， 所以的面积， 当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值， 故选：A. 4．（22-23高三上·北京大兴·期末）在中，，.若，则 ；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是 . 【答案】 2 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理， 代入条件得：， 解得：，所以， 所以若时，为直角三角形， 所以. （2）由正弦定理， 代入条件化简得：， 因为，所以， 所以， 即， 又，所以为锐角，所以，故可取 . 故答案为：2；. 5．（21-22高三上·北京·期末）在锐角三角形中，． （I）从条件①、②中选择一个作为已知，求边的值； ①，，②，； （II）求函数的最大值． 注．如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（I）（II） 【分析】由以及二倍角的余弦公式可求出， （I）若选①，根据同角公式求出，再根据正弦定理可求出； 若选②，根据根据同角公式求出，再根据正弦定理可求出. （II）利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的最大值可得结果. 【详解】由，得， 得，得或（舍）， 因为三角形为锐角三角形，所以， （I）若选①，由以及三角形为锐角三角形，可得， 所以， 由正弦定理可得，得. 若选②，因为，所以， 所以 ， 由正弦定理得. （II） ， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式、正弦定理是解题关键. 6．（21-22高三上·北京·期末）已知中，. （1）中是否必有一个内角为钝角，说明理由. （2）若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.请证明使得存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析，满足条件①③④，. 【分析】（1）利用正弦定理可得，再利用两角和的正弦公式可得，即可得到答案； （2）先证明若满足①②同时成立是不可能的，从而得到要么满足①③④或②③④，进行求解证明； 【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ， 所以不等式整理为， 即，因为，， 所以，所以B为钝角. （2）（i）若满足①②，由（1）B为钝角，A，C为锐角， 及，可得，， 所以不符合B为钝角，故①②不同时成立. （ii）若满足①③④，则正弦定理可得， 即，所以， 又，所以，在三角形中，， 所以或，而由（1）可得， 所以可得，， 所以. (iii)若满足②③④，由B为钝角，， 所以，而，所以，这时， 不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立. 综上所述：只有满足①③④时. 【点睛】本题考查正弦定理、两角和的正弦公式，是高考中的新题型，求解时注意逻辑推理能力的考查与运用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$