精品解析：天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

天津一中滨海学校2024-2025-1 高一年级 数学 学科期中试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷 选择题 (60分) 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共12小题， 每小题5分， 共60分. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若，且，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题， 共90分. 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 函数且的图象必过定点_____． 14. 若幂函数的定义域为，则__________. 15. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 16. 为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______． 17. 若函数，在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 18. 若的定义域为，值域，则的定义域为________，值域为________． 19. 已知，则的最小值为__________，此时__________. 20. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知集合，，. （1）当时，求，. （2）若，求的取值范围. 22. 已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为． （1）求函数的解析式； （2）求解关于的不等式，其中为实数． 23. 已知函数. （1）证明:为奇函数； （2）判断的单调性，并加以证明； （3）求的值域. 24. 如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 （1）若，求的值； （2）证明：函数的图像关于对称； （3）若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中滨海学校2024-2025-1 高一年级 数学 学科期中试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷 选择题 (60分) 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共12小题， 每小题5分， 共60分. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由于，，故， 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，或是代入特殊值，即可判断选项. 【详解】A：若，此时，与题意不相符，故A错误； B：若，则，与题意不相符，故B错误； C:若，则，但是，与题意不相符，故C错误； D:若，两边平方，则，与题意相符，故D正确. 故选：D 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】对于A中的函数，当时，，与图象不符，故排除； 对于B中的函数的定义域为，故排除； 对于D中的函数为偶函数，故排除． 对于C中的函数，定义域为，且满足，其图象关于原点对称， 当时，，当时，，与图象一致. 故选：C 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：B. 7. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示， 由图可知，的解集是， 故选：B． 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 9. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得b，c与a的关系，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】一元二次不等式（）的解集为， 即，2为（）的两实数根，故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 11. 已知函数，若，且，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数单调性分析可得，则有，则可得，结合的范围计算即可得. 【详解】当时，由在上单调递增，故不成立，故舍去； 当时，由在上单调递增，故不成立，故舍去； 当时，有，即，则， 解得，又，故， 则， 当且仅当时取等，故的最大值为. 故选：C. 12. 已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解. 【详解】因为， 所以，， 所以，可化为， 因为在R上是减函数，所以， 所以问题转化为，使成立，即，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，取得最大值， 所以，即. 故选：B. 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题， 共90分. 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 14. 若幂函数的定义域为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，得到，再结合条件，即可求解. 【详解】由，得.当时，的定义域不为； 当时，的定义域为，所以， 故答案为：. 15. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，原不等式显然恒成立，当，一元二次不等式对应的二次函数需要开口向上、与轴没有交点才满足题意，据此列出不等式求解即可. 【详解】当时，原不等式恒成立，满足题意； 当时，只需，解得; 综上所述：， 故答案为：. 16. 为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解 【详解】因为函数，，的值域为， 所以最大取到3，最小取到， 所以的最大值为， 故答案为：4 17. 若函数，在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数、二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增； 所以 ， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 18. 若的定义域为，值域，则的定义域为________，值域为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 19. 已知，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据条件，二次利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，得到， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故答案为：，. 20. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性求得的解析式，构造函数，根据的单调性以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以，联立， 解得，又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立；综上，． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 奇偶性判断的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，尤其是对于奇函数和偶函数的性质.确保每一步推导中符号的准确是非常重要的. 分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况都被考虑到，包括.如果遗漏某一情况，可能会导致结论不完整. 三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知集合，，. （1）当时，求，. （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）确定集合，，再求，. （2）由确定集合，的包含关系，再求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，.， 所以，； 【小问2详解】 ， ①当时，只需，即，此时. ②当时，要满足，只需要，即. 综上，的取值范围是或. 22. 已知二次函数过坐标原点，有，且在上的值域为． （1）求函数的解析式； （2）求解关于的不等式，其中为实数． 【答案】（1）； （2）当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）由条件可设其解析式为，再由条件求可得结论； （2）不等式可化为，分别在，，条件下求不等式的解集. 【小问1详解】 因为， 所以二次函数的图象为对称轴为的抛物线， 因为在上的值域为， 所以二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为， 所以可设其解析式为，且， 因为二次函数的图象过坐标原点， 所以， 所以， 所以， 【小问2详解】 不等式， 可化为，即， 当时，或， 当时，， 当时，或， 所以当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 23. 已知函数. （1）证明:为奇函数； （2）判断的单调性，并加以证明； （3）求的值域. 【答案】（1）证明: 由，则的定义域为， 又， 故为奇函数； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则 由，则，又，故， 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）求出定义域后，验证是否成立即可得； （2）借助单调性定义计算即可得； （3）先计算出的范围后即可得函数值域. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 ， 当时，由，故， 故， 即的值域为. 24. 如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 （1）若，求的值； （2）证明：函数的图像关于对称； （3）若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：因， 则， 故函数的图像关于对称. （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件代入解方程即得； （2）计算再与比较得即得证； （3）先运用函数的单调性定义推导函数的单调性，再运用单调性和对称性求解抽象不等式，最后分离变量，利用基本不等式即得参数范围. 【小问1详解】 因，由解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 任取，由 因，则，即；因，则，即； ，，故，即，故在上单调递增， 因的图象关于对称，故在上单调递减. 由可得，，即（*）， 当时，不等式显然成立；时，由（*）可得， 因，，当且仅当时等号成立， 故得，解得，，即m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于求解抽象不等式时，需判断函数的单调性，在求解含参的不等式恒成立问题，一般首选参变分离，将问题转化成求函数的最值，其次是数形结合讨论函数的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $