培优专题3 十三类函数选填常考压轴题专项训练（等高线，对称性与周期，双变量恒成立等）- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学上学期重难点专题突破（人教A版2019必修第一册）

【重难点突破】2024-2025学年高一数学上学期重难点专题突破（人教A版2019必修第一册） 培优专题3 十三类函数选填常考压轴题专项训练 总览 目录 一、高斯函数（取整函数问题） 安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴 5 重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴 5 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴 5 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴 6 福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴 6 二、抽象函数问题 湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴 7 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 7 福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 7 三、函数对称性与周期性 类型一：对称性和周期性的判断 福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴 9 类型二：利用对称性和周期性求值 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴 9 广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 9 类型三：利用对称性和周期性求交点个数 广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 10 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴 10 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴 10 类型四：利用周期性求若干个函数值的和 华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴 10 广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴 11 类型五：两个函数混合型 重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴 11 广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴 11 类型六：对称性的探究问题 广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴 11 四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和 安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴 12 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴 12 武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴 12 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 13 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴 13 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴 13 五、构造新函数解不等式 江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴 14 广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴 14 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 14 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴 15 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题 15 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 15 广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴 15 六、等高线问题 安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴 16 重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴 16 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 16 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴 17 浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴 17 武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 17 福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴 17 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴 17 七、函数新定义问题 江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴 18 湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 18 江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴 19 广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 19 八、比较大小 类型一：结合函数图像比大小 浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴 20 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴 21 类型二：结合换底公式比大小 江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴 21 重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴 21 广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴 21 类型三：利用中间数比大小 广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴 21 广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题 22 类型四：同构再利用单调性比大小 广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴 22 九、嵌套函数 类型一：自(互)嵌套型或 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴 22 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴 23 类型二：二次嵌套型 广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末 23 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴 23 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴 23 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴 23 十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选） 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 24 广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴 24 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 24 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴 25 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴 25 广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴 25 十一、双变量恒（能）成立问题 类型一：双变量能成立问题 广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴 26 江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴 26 类型二：双变量恒成立问题 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴 27 十二、反函数，指对数运算及其函数性质 类型一：反函数的应用 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴 27 江苏省南京市2023-2024高一上期末填空压轴 27 类型二：指对数运算及其函数性质 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末单选次压轴 27 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末压轴 27 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末填空压轴 27 广东省佛山市2023-2024高一上期末填空压轴 28 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末填空次压轴 28 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 28 十三、函数零点问题 类型一：零点个数探究 安徽省部分学校2023-2024高一上期末填空压轴 28 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末填空压轴 29 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 29 类型二：由零点个数求参数范围 江苏省苏州市2023-2024高一上期末单选次压轴 29 福建省厦门市2023-2024高一上期末单选压轴 29 湖南省长沙市省示范学校2023-2024高一上期末单选次压轴 29 广东省中山市2023-2024高一上期末填空压轴 30 类型三：零点相关的运算 重庆市第一中学校2023-2024高一上期末单选次压轴 30 湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上期末填空压轴 30 题型汇编 知识梳理与常考题型 一、高斯函数（取整函数问题） 设表示不超过实数的最大整数,则称为取整函数（又叫高斯函数）,由于取整函数的定义域是连续的,值域却是离散的,因而有其独特的性质和广泛的应用,再加上取整函数的新颖背景及处理取整函数问题时常常要分段讨论,使得与取整函数有关的试题能有效的考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想,因而备受命题者的青睐.由取整函数定义可得取整函数具有如下性质： ⑴函数的定义域为,值域； ⑵若,当时,； ⑶当时,恒有； ⑷； ⑸是周期函数且最小正周期为1； ⑹若,则,若,则. 安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴 1． （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．函数在区间上单调递增 C．关于x的不等式的解集为 D．若函数，则函数的值域是 重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴 2． 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．函数的值域为 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴 3． （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴 4． （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.下列说法正确的是（    ） A．对于，，有 B．如果，，则 C．，，且1至之间的整数中，有个是的倍数 D．方程共有2个不等的实数根 福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴 5． （多选）已知表示不超过的最大整数，例如：，.定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．关于的方程在区间上恰有23个实根 二、抽象函数问题 1、抽象函数的赋值求值 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般带入 -2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解 2、抽象函数奇偶性问题 证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系 3、抽象函数单调性与不等式问题 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴 6． （多选）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 7． （多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 8． （多选）已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．在是减函数 D．存在实数使得函数在是减函数 三、函数对称性与周期性 一、对称性 （1）若，且关于对称 （2）是偶函数关于对称 （3）若，且关于对称 （4）是奇函数关于对称 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 二、周期函数的常见条件 一、若（c为常数），则周期为2a. 证明：令，两式相减得 即，故 二、若，则（相对少见） 证明：由，得 三、其它周期条件 设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 三、周期与对称性的区分 1.若则具有周期性； 2.若,则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 类型一：对称性和周期性的判断 福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴 9． （23-24高一上·福建泉州·期末）（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．2是的一个周期 C．是的一个对称中心 D．为偶函数 类型二：利用对称性和周期性求值 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴 10． 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 11． 已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 类型三：利用对称性和周期性求交点个数 广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 12． （多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴 13． （多选）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（    ） A． B．是周期为2的周期函数 C．直线与的图象有且仅有2个交点 D．的值域为 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴 14． （多选）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A．是周期为2的周期函数 B．当时， C．的图象与的图象有两个公共点 D．在上单调递增 类型四：利用周期性求若干个函数值的和 华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴 15． 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .（注：） 广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴 16． （多选）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 类型五：两个函数混合型 重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴 17． （多选）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴 18． （多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 类型六：对称性的探究问题 广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴 19． 已知且，若函数中至少存在两点，使关于轴对称，则的取值范围是 ． 四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和 1、函数对称性 函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 2、若两个函数有相同的对称轴或对称中心，则它们的交点也关于该对称轴或对称中心对称 （1）若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 （2）若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和，纵坐标之和为 安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴 20． 已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴 21． 定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴 22． 已知函数,,,,与的图象共有个不同的交点、、、，则（    ） A． B． C． D． 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 23． 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则： . 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴 24． （多选）定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．2为的一个周期 C． D． 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴 25． （多选）定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（   ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，和的图象所有交点横坐标之和为 五、构造新函数解不等式 常见模型 （1） （2） （3） 江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴 26． 已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴 27． 设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 28． 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴 29． 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题 30． 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 31． 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴 32． （多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 六、等高线问题 等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义。对于函数，若存在互不相等的实数使，则称直线为函数的等高线．解决等高线问题时，要注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘函数的性质，如对称性、不变性(如定和、定积)等，从而有效地、快速地解决问题。 安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴 33． 已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴 34． （多选）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 35． 已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴 36． 已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 . 浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴 37． 函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为 ． 武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 38． （多选）已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴 39． （多选）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴 40． 已知，若方程有四个不同的解，的取值范围是 ． 七、函数新定义问题 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 二、新定义问题的方法和技巧 1．可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2．可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3．发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4．如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念。 江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴 41． 在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 42． 函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ） A． B． C． D． 江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴 43． 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 44． 已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是 八、比较大小 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 比较大小的常用方法介绍 （1）单调性再搭桥 具体操作步骤如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和，利用对数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. ⑤换底公式要记牢！ （2）临界值法比较大小 结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较,通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系. （3）作差、作商构造法 构造不同函数，比较相同函数值.通过作差、作商构造函数，研究单调性，比较函数值与0或1的大小关系. ①一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； ②作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法 （4）构造函数利用单调性比较大小 构造相同函数，比较不同函数值 （5）结构一致性同构单调性比大小 移项构造函数： 已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量和，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题. （6）利用换底公式比较大小 对数式通过使用换底公式进行比较大小 （7）分离常数再比较大小 借助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小. （8）利用两图象交点转化后比较大小 涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图象与性质来确根的大小关系，进而比较大小. （9）利用恒等式产生不等关系 举个例子，如果，于是在一些等式中，如果我们能够发现其中一部分的大小关系，就可以利用等式得到另一部分的大小关系，所以在遇到这类问题时，关键是先发现等式中蕴含的较为明显的不等式结构. 类型一：结合函数图像比大小 浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴 45． 设，，，则（   ） A． B． C． D． 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴 46． 设方程，的根分别为，，则（    ） A． B． C． D． 类型二：结合换底公式比大小 江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴 47． （多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴 48． 已知，则以下关于的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴 49． 已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 类型三：利用中间数比大小 广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴 50． 已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题 51． 已知，则（    ） A． B． C． D． 类型四：同构再利用单调性比大小 广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴 52． 若，则（    ） A． B． C． D． 九、嵌套函数 在高中数学中，处理嵌套函数（复合函数）的关键在于理解内外函数的关系。首先，明确每个单独函数的定义域和值域；其次，从内到外逐步求解，先计算内层函数的结果，再将该结果作为外层函数的输入。利用图形或表格辅助理解变换过程也很有帮助。掌握链式法则对于求导尤其重要，它允许我们通过逐层求导来找到复合函数的导数。此外，注意识别模式，如周期性、对称性等，这有助于简化问题。最后，练习是提高解决这类问题能力的关键。 1、型如：或的问题可以通过换元来简化成的零点问题 2、型如：的问题一般先进行因式分解再换元分析 类型一：自(互)嵌套型或 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴 53． 已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴 54． 设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 类型二：二次嵌套型 广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末 55． 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴 56． 已知函数， 若方程有九个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴 57． 定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴 58． 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是 . 十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选） 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 59． （多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数在定义域上单调递增 D．若实数a，b满足，则 广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴 60． （多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递减 D．若实数a，b满足，则 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 61． （多选）已知函数，则（ ） A．的定义域为 B．当时， C． D．对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立. 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴 62． （多选）设，则下列选项中正确的有（    ） A．与的图象有两个交点，则 B．方程有三个实数根，则 C．的解集是 D．的解集是 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴 63． （多选）已知函数（为自然对数的底数），则（    ） A．函数至少有1个零点 B．函数至多有1个零点 C．当时，若，则 D．当时，方程恰有4个不同实数根 广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴 64． 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 ． 十一、双变量恒（能）成立问题 （1），成立 （2），成立 （3），恒成立 （4），恒成立 （5）成立 （6）成立 （7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有： ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； ②∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则. 类型一：双变量能成立问题 广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴 65． 已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴 66． 已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围 ． 类型二：双变量恒成立问题 67． （2023·永州一中高一期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴 68． 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 十二、反函数，指对数运算及其函数性质 类型一：反函数的应用 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴 69． 已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 江苏省南京市2023-2024高一上期末填空压轴 70． 已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 . 类型二：指对数运算及其函数性质 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末单选次压轴 71． 函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末压轴 72． 若实数满足，，则 . 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末填空压轴 73． 若，，，且，，，则的值为 . 广东省佛山市2023-2024高一上期末填空压轴 74． 已知，则 ． 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末填空次压轴 75． 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 76． 设为实数，若实数是关于的方程的解，则 . 十三、函数零点问题 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)数形结合求交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 类型一：零点个数探究 安徽省部分学校2023-2024高一上期末填空压轴 77． 已函数则函数的零点个数为 . 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末填空压轴 78． 设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有 个零点. 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 79． 已知函数的定义域为R，且满足，则在上的整数值零点的个数为 ． 类型二：由零点个数求参数范围 江苏省苏州市2023-2024高一上期末单选次压轴 80． 已知为偶函数，对任意实数都有，当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象恰有6个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 福建省厦门市2023-2024高一上期末单选压轴 81． 已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 湖南省长沙市省示范学校2023-2024高一上期末单选次压轴 82． 设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 广东省中山市2023-2024高一上期末填空压轴 83． 已知是定义在区间的函数，则函数的零点是 ；若方程有四个不相等的实数根，，，，则 . 类型三：零点相关的运算 重庆市第一中学校2023-2024高一上期末单选次压轴 84． 已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上期末填空压轴 85． 已知函数与的零点分别为和，若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．（是自然对数的底数） 3 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一数学上学期重难点专题突破（人教A版2019必修第一册） 培优专题3 十三类函数选填常考压轴题专项训练 总览 目录 一、高斯函数（取整函数问题） 安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴 5 重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴 5 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴 6 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴 7 福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴 8 二、抽象函数问题 湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴 10 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 11 福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 12 三、函数对称性与周期性 13 类型一：对称性和周期性的判断 福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴 15 类型二：利用对称性和周期性求值 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴 15 广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 16 类型三：利用对称性和周期性求交点个数 广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 17 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴 18 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴 19 类型四：利用周期性求若干个函数值的和 华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴 20 广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴 21 类型五：两个函数混合型 重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴 22 广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴 22 类型六：对称性的探究问题 广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴 23 四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和 安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴 24 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴 25 武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴 25 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 26 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴 27 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴 27 五、构造新函数解不等式 江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴 29 广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴 29 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 30 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴 31 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题 32 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 33 广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴 33 六、等高线问题 安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴 35 重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴 36 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 37 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴 38 浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴 38 武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 40 福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴 42 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴 43 七、函数新定义问题 江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴 44 湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 45 江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴 46 广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 47 八、比较大小 类型一：结合函数图像比大小 浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴 49 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴 49 类型二：结合换底公式比大小 江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴 50 重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴 50 广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴 51 类型三：利用中间数比大小 广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴 52 广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题 52 类型四：同构再利用单调性比大小 广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴 53 九、嵌套函数 类型一：自(互)嵌套型或 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴 54 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴 54 类型二：二次嵌套型 广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末 55 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴 55 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴 56 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴 57 十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选） 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 57 广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴 58 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 59 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴 60 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴 61 广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴 62 十一、双变量恒（能）成立问题 类型一：双变量能成立问题 64 广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴 64 江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴 65 类型二：双变量恒成立问题 66 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴 67 十二、反函数，指对数运算及其函数性质 类型一：反函数的应用 68 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴 68 江苏省南京市2023-2024高一上期末填空压轴 68 类型二：指对数运算及其函数性质 69 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末单选次压轴 69 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末压轴 70 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末填空压轴 70 广东省佛山市2023-2024高一上期末填空压轴 71 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末填空次压轴 71 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 72 十三、函数零点问题 类型一：零点个数探究 安徽省部分学校2023-2024高一上期末填空压轴 73 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末填空压轴 74 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 74 类型二：由零点个数求参数范围 江苏省苏州市2023-2024高一上期末单选次压轴 75 福建省厦门市2023-2024高一上期末单选压轴 76 湖南省长沙市省示范学校2023-2024高一上期末单选次压轴 77 广东省中山市2023-2024高一上期末填空压轴 78 类型三：零点相关的运算 重庆市第一中学校2023-2024高一上期末单选次压轴 79 湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上期末填空压轴 79 题型汇编 知识梳理与常考题型 一、高斯函数（取整函数问题） 设表示不超过实数的最大整数,则称为取整函数（又叫高斯函数）,由于取整函数的定义域是连续的,值域却是离散的,因而有其独特的性质和广泛的应用,再加上取整函数的新颖背景及处理取整函数问题时常常要分段讨论,使得与取整函数有关的试题能有效的考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想,因而备受命题者的青睐.由取整函数定义可得取整函数具有如下性质： ⑴函数的定义域为,值域； ⑵若,当时,； ⑶当时,恒有； ⑷； ⑸是周期函数且最小正周期为1； ⑹若,则,若,则. 安徽省部分学校2023-2024高一上期末多选压轴 1． （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（    ） A．是周期函数 B．函数在区间上单调递增 C．关于x的不等式的解集为 D．若函数，则函数的值域是 【答案】ABD 【分析】：根据三角函数的性质以及新定义验证是否成立，由此即可判断；：根据新定义求出函数的解析式，由此即可判断；：根据新定义解不等式即可判断；：求出函数的值域，然后根据值域求出函数的值域即可判断． 【详解】对于，因为， 所以函数以4为周期，故正确； 对于，当时，，则， 此时 单调递增，故正确； 对于，由 得，所以， 所以，不等式的解集为，，故错误； 对于，因为，所以， 当时，，当时，， 即函数的值域是，故正确. 重庆市第八中学校2024-2025学年高一上11月月考单选压轴 2． 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】D 【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，, 即，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由C知，为周期函数，且周期为1，不妨设， 当时，， 当时，，此时值域为， 当时，， 故当时，有，故函数的值域为，故D正确. 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末多选次压轴 3． （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】令，可判定A、B不正确；设，其中为的整数部分，为小数部分，结合“高斯函数”，可判定C、D正确. 【详解】对于A中，例如，，所以不正确； 对于B中，例如，所以不正确； 设，其中为的整数部分，为小数部分，即， 对于C中，，所以是正确的； 对于D中，， 若，可得，； 若，可得，， 所以D是正确的. 故选：CD. 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末多选压轴 4． （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.下列说法正确的是（    ） A．对于，，有 B．如果，，则 C．，，且1至之间的整数中，有个是的倍数 D．方程共有2个不等的实数根 【答案】ABC 【分析】设，其中分别是x，y的整数部分，分别是x，y的小数部分，结合高斯函数的定义即可判断AB；根据即可判断C；由得，进而，分类讨论的取值范围，求出对应的解，即可判断D. 【详解】A：设，其中分别是x，y的整数部分，分别是x，y的小数部分， 则， 所以，故A正确； B：，所以，故B正确； C：因为，所以，故C正确； D：由，得，则. 当时，，此时； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得； 当时，，代入原方程，得，即，不符合题意； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得， 综上，原方程共有3个不同的实根，故D错误. 福建省厦门市2023-2024高一上期末多选压轴 5． （多选）已知表示不超过的最大整数，例如：，.定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．关于的方程在区间上恰有23个实根 【答案】ACD 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：根据题意结合即可求解析式；对于C：先求的单调区间，进而可得结果；对于D：分和两种情况，结合图象分析方程的根的个数. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可得，故B错误； 对于选项C：因为当时，， 可知当时，单调递增，当时，单调递减， 结合，可知的单调递增区间为， 当时，，， 故在区间上单调递增，故C正确； 对于选项D：当，，且， 则， 且等号不同时成立，原方程无实根； 当时，画出函数的图象，如图所示，    因为， 要证，只需证， 令，则，只需证，如图所示，    可知，成立， 所以方程在区间上恰有2个实根， 所以方程在区间上恰有个实根，故D正确. 二、抽象函数问题 1、抽象函数的赋值求值 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般带入 -2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解 2、抽象函数奇偶性问题 证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系 3、抽象函数单调性与不等式问题 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 湖南省岳阳市2023-2024高一上期末多选压轴 6． （多选）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 【答案】ACD 【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误； 对于B，令，可判断正误； 对于C，由A，B选项分析可判断正误； 对于D，利用做差法及可判断正误. 【详解】对于B，令，，得， 由题意知，所以，故B错误； 对于A，当时，，则， 又，则当时，，即对任意，. 取任意且，则，得， 则 即，所以是上的增函数，故A正确； 对于C，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确； 对于D，注意到， 同理，则， 又，且，则 ，即， 故D正确. 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 7． （多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 福建师范大学附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 8． （多选）已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．在是减函数 D．存在实数使得函数在是减函数 【答案】ABD 【分析】对A选项，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断A； 对B选项，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断B； 对C选项，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C； 对D选项，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断D． 【详解】令，则，即， 解得或， 当时，令，，则，解得， 与时，矛盾，所以，故A正确； 当时，则，故， 令，则， 整理得，则， ∵，∴，，∴，故B正确； 设，则， ， ∵，，∴，， ∴，∴， 所以函数在上单调递增，故C错误； 因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数， 若在上递减，则时，， 则时，，即， 又因为当时，，所以，故D正确． 三、函数对称性与周期性 一、对称性 （1）若，且关于对称 （2）是偶函数关于对称 （3）若，且关于对称 （4）是奇函数关于对称 对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 二、周期函数的常见条件 一、若（c为常数），则周期为2a. 证明：令，两式相减得 即，故 二、若，则（相对少见） 证明：由，得 三、其它周期条件 设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 三、周期与对称性的区分 1.若则具有周期性； 2.若,则具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 类型一：对称性和周期性的判断 福建省泉州市2023-2024高一上期末多选次压轴 9． （23-24高一上·福建泉州·期末）（多选）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．2是的一个周期 C．是的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得，进一步有以及，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确； 且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误； 因为，所以的对称轴为， 又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确； 因为，所以，即为偶函数，故D正确. 类型二：利用对称性和周期性求值 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末单选压轴 10． 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解. 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得， 所以，则. 广东省广州市三校2023-2024高一上期末联考单选次压轴 11． 已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由奇函数条件可得，然后根据函数的对称性可知函数的周期为，再利用函数的周期性和奇偶性计算即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以，解得：，即当时，， 又因为的图象关于直线对称， 所以，且 则， 即函数是以为周期的周期函数， 故 类型三：利用对称性和周期性求交点个数 广东实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 12． （多选）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D. 【详解】A：为偶函数，故， 令，得， 为奇函数，故， 令，得，其中， 所以，故A正确； B：因为为奇函数，则,得， 又为偶函数，则，得， 所以，令得， 即，则， 即，所以8为函数的一个周期. 故，所以， 从而为奇函数，故B正确； C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称， 所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误； D：作出与的大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确. 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末多选次压轴 13． （多选）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.下列命题正确的是（    ） A． B．是周期为2的周期函数 C．直线与的图象有且仅有2个交点 D．的值域为 【答案】AD 【分析】由已知判断出时，函数的周期，结合当时的解析式，即可作出时图象，结合奇偶性，可得整个定义域上图象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判断A；结合图象，数形结合，可判断B，C，D. 【详解】由题意知当时，有，则， 即时，2为的周期，由，得， 当时，，则， 结合为定义在上的偶函数，可作出的图象如图： 对于A，, , 故，A正确； 对于B，由以上分析可知时，2为的周期， 结合图象，在整个定义域上不是周期函数，B错误； 对于C，在同一坐标系再作出的图象， 可知直线与的图象有且仅有1个交点，C错误； 对于D，结合图象可知的值域为，D正确 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末多选次压轴 14． （多选）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A．是周期为2的周期函数 B．当时， C．的图象与的图象有两个公共点 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得， 所以，是周期为2的周期函数，故A正确； 对于B项，，则. 由已知可得，. 又， 所以，. 又的周期为2，所以. ，则，， 所以，.故B错误； 对于C项，由A、B可知，当时，； 当时，，且的周期为2. 作出函数以及的图象， 显然，当时，的图象与的图象没有交点. 又，，， 由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确； 对于D项，，则，. 又的周期为2，所以在上单调递增. 当时，，显然在上单调递增. 且， 所以，在上单调递增. 根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确. 类型四：利用周期性求若干个函数值的和 华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末填空压轴 15． 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .（注：） 【答案】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】因为，令，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 因为函数的图象关于点对称， 设，则， 即，即， 令，则，故函数为奇函数， 所以，则， 故函数是周期为的周期函数， 则，当时，，则，可得， 即当时，，所以，，， ，， 所以， . 故答案为：. 广东省佛山市2023-2024高一上期末多选次压轴 16． （多选）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得函数是奇函数，且的图象关于对称，进而可求出函数的周期，再逐一分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以函数的图象关于对称， 对于A，若是奇函数，则， 故，与题意矛盾，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，由，得， 所以，所以，故B正确； 对于C，根据题意不能得出函数的单调性，所以无法确定函数的值域，故C错误； 对于D，由B选项可得，所以函数是以为周期的周期函数， 因为是奇函数，所以，则，， 由，可得， 所以， 则，故D正确. 类型五：两个函数混合型 重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024高一上学期1月期末数学试题多选压轴 17． （多选）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知得，将转化为，给取值推导奇偶性和周期性解决问题. 【详解】对于A，，故A正确； ，， ，令， 则①， ②， ①+②可得， ，， ，因此，故C正确； 令，， 令，，， 则，故，， 故为偶函数，所以B不正确； 因为，故关于对称， 且，，令，， 则，令，，， 则，， ，一个周期的和为0， 则，故D正确. 广东省汕头市金山中学2023-2024高一上期末多选压轴 18． （多选）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．， D．若的值域为，则 【答案】BC 【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误. 【详解】，， ，， 关于对称，， ，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，， ，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，， ，故D错误； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确 类型六：对称性的探究问题 广东省深圳市龙华区2023-2024高一上期末填空压轴 19． 已知且，若函数中至少存在两点，使关于轴对称，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合一次函数单调性对参数的取值范围进行分类讨论，根据题意可知当时才会满足题意，再结合一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即可求得的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增，且时，； 而单调递减，且， 所以当时，当时， 此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意； 当时，函数单调递增，单调递增， 当时，当时， 此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意； 当时， 函数，存在使其关于轴对称，满足题意； 当时，单调递减，单调递增， 易知与关于轴对称， 要存在两点使其关于轴对称，则需当时，函数与函数的图象有交点， 再由一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即. 综上所述，的取值范围是 故答案为： 四、利用函数对称性求交点横、纵坐标的和 1、函数对称性 函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 2、若两个函数有相同的对称轴或对称中心，则它们的交点也关于该对称轴或对称中心对称 （1）若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 （2）若与关于对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和，纵坐标之和为 安徽省部分学校2023-2024高一上期末次压轴 20． 已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末单选压轴 21． 定义在上的函数满足：是奇函数，且函数的图象与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知函数的图象和函数的图象都关于对称，可知它们的交点也关于点对称，由此可求得结果. 【详解】因为是奇函数，所以关于点对称， 又函数的图象关于点对称， 所以两个函数图象的交点也关于点对称， 所以两个图象的横坐标之和. 武汉华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末单选压轴 22． 已知函数,,,,与的图象共有个不同的交点、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，两个函数的图象都关于点对称，确定两个函数图象公共点的个数，结合对称性可得出的值. 【详解】对任意的，， 所以，，则函数的图象关于点对称， 对任意的，， 所以，函数的图象也关于点对称， 不妨设，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，两个函数的图象共有个公共点， 且点与点关于点对称，且， 所以，. 安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 23． 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则： . 【答案】 【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数的对称中心，再求值即可. 【详解】设函数图象的对称中心为， 设，则为奇函数， 且，则， 即，即， 整理得，于是，解得， 因此函数图象的对称中心为，则， 令， 则， 于是，解得， 所以. 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末多选压轴 24． （多选）定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．2为的一个周期 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，推得，得到，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由为偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由，则函数的图象关于点对称， 则，可得. 对于A中，由，可得， 所以，所以为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以函数是以为周期的周期函数， 可得，显然，所以B错误； 对于C中，由，所以函数的图象关于直线对称， 因此函数与的交点也关于对称，则，所以C正确； 对于D中，由函数与的交点也关于对称，可得，故D正确. 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末多选压轴 25． （多选）定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（   ） A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为4 C． D．设，和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示： 由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D错误 五、构造新函数解不等式 常见模型 （1） （2） （3） 江苏省盐城市第一中学2023-2024高一上期末单选次压轴 26． 已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由题可知为上的偶函数且在上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则有，即. 令，则在上单调递减. 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的偶函数，故在上单调递增. 又， 则不等式可转化为 所以，解得. 又当时，，不合题意. 所以的解集为. 广东省广州市九区联考2023-2024高一上填空压轴 27． 设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集. 【详解】不妨设，由得， 即， 故在上单调递增， 因为为R上的奇函数，所以， 的定义域为，且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以，故， 即，解得， 当时，， 因为，所以，故，解得； 当时，，符合题意； 故不等式的解集为. 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 28． 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末单选压轴 29． 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题 30． 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 江苏省盐城市五校联盟2024-2025高一上期中单选压轴 31． 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 广东省中山市2023-2024高一上期末多选压轴 32． （多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】AB选项，令，得到在上单调递增，结合的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令，推出的单调性和奇偶性，结合，解不等式，求出解集. 【详解】AB选项，当时，， 即，故在上单调递增， 偶函数的定义域为，故在上单调递减， 又，故， 当时，，所以，解得， 当时，，此时，即， 当时，，由于在上单调递增， 故，故，解得，故； 当时，，由于在上单调递减， 故，故，解得，故； 综上，或或， 故不等式的解集为，A正确，B错误； CD选项，中， 令得， 设，则， 所以在上单调递增， 因为为上的偶函数， 故定义域为，且， 所以为偶函数， 因为，所以， 则等价于， 故，解得或，C正确，D错误. 故选：AC 六、等高线问题 等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义。对于函数，若存在互不相等的实数使，则称直线为函数的等高线．解决等高线问题时，要注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘函数的性质，如对称性、不变性(如定和、定积)等，从而有效地、快速地解决问题。 安徽省部分学校2023-2024高一上期末单选压轴 33． 已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 重庆市2023-2024高一上期末联合检测数学试卷多选压轴 34． （多选）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断. 【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错； ，故D对. 故选：ABD    安徽省合肥市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 35． 已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、分段函数的图象与性质结合函数的单调性计算即可. 【详解】设，则，故可转化为， 即的图像与直线有4个不同的交点， 对应横坐标从小到大依次为， 如图所示，可知， 且， ， 则， 令，易知在上单调递减，即此时， 所以：. 重庆市七校2023-2024高一上期末联考数学试题填空压轴 36． 已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合函数的图象与性质知，，，将化简为，进而化简为，求出范围即可. 【详解】作出函数的图象：    方程有四个不同的解， 则，且，，所以， 则， 设，所以， 因为，所以，则， 所以则的取值范围为 浙江省温州市2023-2024高一上期末(A卷)填空压轴 37． 函数，，方程恰有三个根，其中，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，通过换元法得关于的方程的根的个数为2；结合韦达定理可知（舍去）或，由此即可得解. 【详解】 由题意，即，显然， 所以， 令，所以，等号成立当且仅当， 由对勾函数性质得， 当或时，关于的方程的根的个数为2， 当或时，关于的方程的根的个数为1， 当时，关于的方程的根的个数为0， 由题意方程恰有三个根，其中， 而关于的方程的根的个数情况可能为0，1，2； 所以关于的方程只能有两个不相等的根（）， 不妨设为，且或，或； 又由韦达定理有， 所以（舍去）或， 所以是关于的方程的根，是关于的方程即的根， 由韦达定理有，， 所以. 武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024高一上期末多选压轴 38． （多选）已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，对于A：根据指数函数性质结合基本不等式分析判断；对于B：根据对数函数性质结合基本不等式分析判断；对于C：根据题意结合函数单调性分析判断；对于D：，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为与的交点横坐标， 如图，作出函数的图象， 则，且， 对于选项A：因为，即， 且，则， 可得， 整理得， 即，所以，故A正确； 对于选项B：因为，即， 且，则， 可得， 即， 可得，解得，故B错误； 对于选项C：因为， 结合选项AB可得，解得， 则，， 因为在上单调递增， 可知在上单调递增，且， 可得，即，故C正确； 对于选项D：方程，即， 令，则，注意到， 1.若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； 2.若，则方程有2个不相等的实根， 且有2个不相等的实根；有3个不相等的实根； 故方程有5个不相等的实根； 3.若，则方程有4个不相等的实根， 且无实根；有4个不相等的实根； 或均有3个不相等的实根； 故方程有10个不相等的实根； 4.若，则方程有4个不相等的实根， 且无实根；或或均有3个不相等的实根； 故方程有9个不相等的实根； 5.若，则方程有3个不相等的实根， 且无实根；或均有3个不相等的实根； 故方程有6个不相等的实根； 综上所述：方程最多有10个不同的实根，故D正确 福建省福州市2023-2024高一上期末质量检测数学试卷多选压轴 39． （多选）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（    ） A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】 如图，依题意作出函数的图象. 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则， 不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 湖北省武汉市常青联合体2023-2024高一上期末填空压轴 40． 已知，若方程有四个不同的解，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得，将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示， 因为方程有四个根，，则. 由图象可知，，， 又，可得，则， 则， 由对勾函数的性质知，在上单调递增，． ，即， 即的取值范围是. 故答案为：. 七、函数新定义问题 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 二、新定义问题的方法和技巧 1．可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2．可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3．发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4．如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念。 江苏省南京市2023-2024高一上期末单选压轴 41． 在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意中函数的定义可得，由得，结合不等式的性质和对数的运算性质解不等式即可. 【详解】由题意知，，则，得，即. 由，得， 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 湖南省长沙市第一中学2023-2024高一上期末单选压轴 42． 函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，结合赋值法得到、、直到得到，结合函数在上为非减函数，即可得. 【详解】令，由，可得， 又，故， 由，故， 令，则，即， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有， 令，有， 由，且， 又函数在上为非减函数， 故. 江苏省南通市2023-2024高一上填空次压轴 43． 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且 广东省珠海市第一中学2023-2024高一上期末填空压轴 44． 已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是 【答案】且 【分析】由函数定义得且，，且，，进而有能成立，就的不同取值范围分类讨论后可求参数的取值范围. 【详解】由题设，且，，且，， 所以能成立，即能成立，则， 所以， 若，则，，舍； 若，则，，舍； 若，则，，此时 ； 若，则，，此时 ； 若，则，与题设矛盾， 若，则，，此时， 若，则，，此时， 若，，舍； 故正实数的取值范围是且. 八、比较大小 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 比较大小的常用方法介绍 （1）单调性再搭桥 具体操作步骤如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和，利用对数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. ⑤换底公式要记牢！ （2）临界值法比较大小 结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较,通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系. （3）作差、作商构造法 构造不同函数，比较相同函数值.通过作差、作商构造函数，研究单调性，比较函数值与0或1的大小关系. ①一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； ②作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法 （4）构造函数利用单调性比较大小 构造相同函数，比较不同函数值 （5）结构一致性同构单调性比大小 移项构造函数： 已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量和，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题. （6）利用换底公式比较大小 对数式通过使用换底公式进行比较大小 （7）分离常数再比较大小 借助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小. （8）利用两图象交点转化后比较大小 涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图象与性质来确根的大小关系，进而比较大小. （9）利用恒等式产生不等关系 举个例子，如果，于是在一些等式中，如果我们能够发现其中一部分的大小关系，就可以利用等式得到另一部分的大小关系，所以在遇到这类问题时，关键是先发现等式中蕴含的较为明显的不等式结构. 类型一：结合函数图像比大小 浙江省温州市2023-2024高一上期末单选压轴 45． 设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析三个数在图象中的几何意义，做出函数图象即可得出三者的大小关系. 【详解】由题意，，， 表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标， 作出三个函数的图象如图所示， 由图可知， 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末单选压轴 46． 设方程，的根分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程得，得：，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论. 【详解】解：由方程得， 得：， 分别画出左右两边函数的图象，如图所示. 由指数与对数函数的图象知：， 于是有，得，所以 类型二：结合换底公式比大小 江苏省苏州市2023-2024高一上期末多选压轴 47． （多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据换底公式即可求解A，根据对数的运算性质即可求解BCD. 【详解】对于A，，故A正确， ，， 由于，，故， ，所以， 故，故BC错误，D正确 重庆市南开中学校2023-2024高一上期末单选压轴 48． 已知，则以下关于的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小． 【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且， 由零点存在性定理可得， ， 又，因此， ，可得， ，， ， ，，， ． 广东省佛山市2023-2024高一上期末单选压轴 49． 已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式和对数式的转化，将表示为对数形式，结合对数的运算性质以及对数函数的性质比较大小，即可得答案. 【详解】由题意知，， 则， ， 因为，故， 又因为，故，即 故，即得， 同理可得，故，即， 故 类型三：利用中间数比大小 广东省华南师范大学附属中学2023-2024高一上期末单选次压轴 50． 已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数与正弦函数的性质，分别求得的范围，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得，即，所以， 又由正弦函数的性质，可得， 又因为，所以. 广东省深圳市南山区2023-2024高一上期末质量监测数学试题 51． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到，利用函数在区间上单调递增，得出，再利用对数函数的单调性可得到，利用函数在区间上单调递减及指数函数的单调性可得到，进而得出结果. 【详解】因为，所以，且，故， 又，，而函数在区间上单调递增， 所以，得到，所以 又，函数在区间上单调递减，所以， 故，所以 类型四：同构再利用单调性比大小 广东省广州市越秀区2023-2024高一上期末单选压轴 52． 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算法则及函数的单调性得出结果. 【详解】因为， 故， 而为上的增函数，故， 故C正确，D错误. 对于AB，考虑 ， 设，则，， 故符号不定，故大小不定，故大小不定， 故AB错误 九、嵌套函数 在高中数学中，处理嵌套函数（复合函数）的关键在于理解内外函数的关系。首先，明确每个单独函数的定义域和值域；其次，从内到外逐步求解，先计算内层函数的结果，再将该结果作为外层函数的输入。利用图形或表格辅助理解变换过程也很有帮助。掌握链式法则对于求导尤其重要，它允许我们通过逐层求导来找到复合函数的导数。此外，注意识别模式，如周期性、对称性等，这有助于简化问题。最后，练习是提高解决这类问题能力的关键。 1、型如：或的问题可以通过换元来简化成的零点问题 2、型如：的问题一般先进行因式分解再换元分析 类型一：自(互)嵌套型或 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末单选次压轴 53． 已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】根据题意，利用换元法，结合对数的运算法则和运算性质，即可求解. 【详解】设，即， 因为，可得，所以，解得， 所以，令，可得，即， 解得. 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末单选压轴 54． 设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】令，结合二次函数性质求上的值域，画出的大致图象，根据已知及图象有是的子集，求a的范围即可. 【详解】令，开口向上且对称轴为， 则在上递增，故对应值域为， 由解析式可得函数大致图象如下， 令，则或时有一个解；时有两个解，结合图象， 当，则，此时有两个解； 当，则或，此时有两个解； 当，则，此时有一个解； 任意给定的，存在唯一的使成立， 所以，且是的子集，所以，即. 故选：C 类型二：二次嵌套型 广东省深圳市第二高级中学2023-2024高一上期末 55． 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点，据此即可求解. 【详解】因为， 所以或，因为关于x的方程有6个不同的实数根， 所以的图象与直线和直线有6个不同的交点， 如图的图象与直线有3个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点， 所以. 广东省深圳外国语学校2023-2024高一上期末单选压轴 56． 已知函数， 若方程有九个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的函数图象，根据图形可得本题等价于在有两个零点，其中1个零点为1，则可列出不等式组求出的范围，进而求出结果. 【详解】画出的函数图象如下， 由图可知，若方程有九个不同实根， 则或，其中或， 令， 则在有两个零点，其中1个零点为1， 则，解得且， ， 且， 故的取值范围是. 广东省深圳市高级中学2023-2024高一上期末单选压轴 57． 定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解. 【详解】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 所以，，， 因此，. 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末填空压轴 58． 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解方程得或，只有一个根，因此方程要有两个解，结合函数图象可得． 【详解】由得或，，只有一个根，因此方程要有两个非零解，作出的图象和直线，由图象可知当时，方程有两个非零解． ∴的范围是． 故答案为：． 十、通过函数解析式对函数性质进行探究（多选） 重庆市西南大学附属中学校2023-2024高一上期末多选次压轴 59． （多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数在定义域上单调递增 D．若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【分析】应用对数运算性质得得到，即可判断A、B；利用对数复合函数单调性及对称性判断单调性，即可判断C、D. 【详解】，故， 即的图象关于点对称，故，故A、B对； 由上单调递减，而单调递增， 所以在上递减，又关于点对称，故在定义域R上递减， 由，结合C分析结果知，故， 所以C错，D对. 广东省湛江市第一中学2023-2024高一上期末多选压轴 60． （多选）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递减 D．若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， 又因为 ，所以，故A正确； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确. 广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末多选压轴 61． （多选）已知函数，则（ ） A．的定义域为 B．当时， C． D．对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立. 【答案】ACD 【分析】 根据可判断选项A；根据的单调性，判断的单调性可判断选项B；根据的奇偶性可判断选项C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D. 【详解】对于A，由，得，即恒成立，故A正确； 对于B，令， 易知在单调递减，且， 则在单调递减，且，故B错误； 对于C，令，则， ， 为上的奇函数，， ，故C正确； 对于D，由B选项知，在单调递减，且， 在单调递减，且， 为上的奇函数， 在单调递减，且， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故D正确. 广东省深圳市龙岗区2023-2024高一上期末多选压轴 62． （多选）设，则下列选项中正确的有（    ） A．与的图象有两个交点，则 B．方程有三个实数根，则 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABD 【分析】根据解析式化为函数大致图象，数形结合判断各项的正误. 【详解】由函数解析式可得函数图象如下，    要使与的图象有两个交点，则，A对； 方程有三个实数根，则，B对； 由图象知：的解集是，C错； 令，由，则，而， 所以，则或，可得或，故解集是，D对. 广东省广州市天河区2023-2024高一上期末多选压轴 63． （多选）已知函数（为自然对数的底数），则（    ） A．函数至少有1个零点 B．函数至多有1个零点 C．当时，若，则 D．当时，方程恰有4个不同实数根 【答案】ACD 【分析】作出函数和函数的图象，观察图象逐项分析即可得出答案. 【详解】作出函数和函数的图象如图所示： 当时，函数只有1个零点， 当时，函数有2个零点， 当时，函数只有1个零点，故选项A正确，B错误； 当时，因为每一段单增，且，所以函数为增函数，故选项C正确； 当时，，当时，该方程有两个解，当时，该方程有两个解，所以方程有4个不同的解，故选项D正确. 故选：ACD.    广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024高一上期末填空压轴 64． 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，可得，将问题转化为与、以及的交点问题，结合图象分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示，可知的值域为， 令，可得， 令，则， 若，可得，即， 令，解得或， 检验可知不合题意，所以； 若，可得，即， 若，解得； 令，解得； 由图可知： 1.若，与没有交点， 即方程无根，不合题意； 2.若，可知与有1个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程有2个根，符合题意； 3.若，可知与有2个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为，且至少有一个值小于， 可知方程和至少有3个根，不合题意； 4.若，可知与有1个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程有2个根，符合题意； 5.若，可知与有2个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程和有4个根，不合题意； 6.若，可知与有3个交点，设交点横坐标为， 即方程的根为， 可知方程和和至少有3个根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围是. 十一、双变量恒（能）成立问题 （1），成立 （2），成立 （3），恒成立 （4），恒成立 （5）成立 （6）成立 （7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有： ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； ②∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则. 类型一：双变量能成立问题 广东省深圳市科学高中2023-2024高一上期中填空压轴 65． 已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由任给，存在．使得， 可知，在上的值域为在上的值域的子集. 根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 且，， 所以，； 当时，. ，且， 则. 因为，且， 所以，，， 所以，，， 所以，在上单调递增. 又， 所以，. 综上所述，当时，. 当时，单调递增，所以. 所以有，解得； 当时，不满足； 当时，单调递减，所以. 所以有，解得. 综上所述，或. 故答案为：. 江苏省苏州市2023-2024高一上期中填空压轴 66． 已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的值域是的值域子集，分别求得函数的值域，列出不等式，即可得到结果. 【详解】由条件可得，的值域是的值域的子集，其中，， 则，， 令，且，则，则， 当，函数单调递减，当，函数单调递增， 当时，，当时，， 所以， 由的值域是的值域子集，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 类型二：双变量恒成立问题 67． （2023·永州一中高一期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为，利用复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，由此得到；分别讨论、和的情况，根据一次函数单调性确定，由可解不等式求得的范围. 【详解】对任意的，总存在，使得成立，； ， 在上单调递减，单调递增， 在上单调递减，； 当时，，则，满足题意； 当时，在上单调递减，， ，解得：； 当时，在上单调递增，， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为 重庆市第八中学校2023-2024高一上期末填空压轴 68． 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为 十二、反函数，指对数运算及其函数性质 类型一：反函数的应用 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末填空压轴 69． 已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论． 【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴，. 江苏省南京市2023-2024高一上期末填空压轴 70． 已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 . 【答案】 【分析】利用函数零点存在性定理可得；由已知可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，求出交点的横坐标可得答案. 【详解】因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 且，所以； 由可得， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 因为函数与的图象关于对称，且互相垂直， 且由解得，即、的中点为， 所以. 故答案为：1；2. 类型二：指对数运算及其函数性质 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末单选次压轴 71． 函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 【答案】C 【分析】将，利用换元，化为，分类讨论a的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 则函数，即为， 当时，在上单调递增，由可得： ； 当时，在上单调递减，由可得： ； 故的值为2或 湖南省长沙市长郡中学2023-2024高一上期末压轴 72． 若实数满足，，则 . 【答案】1 【分析】令，易知为单调递增函数，函数变形同构可得，进而求解即可. 【详解】令，易知为单调递增函数，， 即有且仅有一个零点， 又由题可知，即， 所以， 所以，即， 又，得， 所以. 广东省深圳市光明区2023-2024高一上期末填空压轴 73． 若，，，且，，，则的值为 . 【答案】25 【分析】根据，则可得，代入，根据对勾函数的性质即可求得的值. 【详解】因为，则， 令， 则， ， 令，则， 其中时，由对勾函数性质知， 则，所以. 广东省佛山市2023-2024高一上期末填空压轴 74． 已知，则 ． 【答案】 【分析】由，化简得到，令，可得，设，得到为增函数，得出，求得，结合，即可求解. 【详解】由，可得， 则，即， 令，可得， 因为，设，可得为单调递增函数， 所以，所以， 则. 广东省广州市九区联考2023-2024高一上期末填空次压轴 75． 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解. 【详解】函数，当时，， 当时，， 则在单调递增，在单调递减， 故，， 由，则， 即，所以， 即，则， 所以， 令，则， 则设函数， 任取，不妨设， 因为， 当，所以，，，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递减． 则当时， ， 当时，， 故的取值范围是 江苏省南京市南京师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 76． 设为实数，若实数是关于的方程的解，则 . 【答案】 【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案. 【详解】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故 十三、函数零点问题 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)数形结合求交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 类型一：零点个数探究 安徽省部分学校2023-2024高一上期末填空压轴 77． 已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    广东省深圳市深圳大学附属实验中学2023-2024高一上期末填空压轴 78． 设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有 个零点. 【答案】6 【分析】由函数是定义域为的奇函数，结合的条件可得函数的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数. 【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且. 又，即，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以，所以4是函数的一个周期， 所以.易知函数在上单调递增， 且， 所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上. 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点. 因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点. 因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点. 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. 湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024高一上期末填空压轴 79． 已知函数的定义域为R，且满足，则在上的整数值零点的个数为 ． 【答案】674 【分析】根据函数当时的周期，及，即可求出整数值零点. 【详解】当时， 由可得， ， 所以，所以， 即时，周期为. 当时，，，此时函数无零点， 由于， 则， ， 所以， 所以， 由于，故在上的整数值零点个数为674. 类型二：由零点个数求参数范围 江苏省苏州市2023-2024高一上期末单选次压轴 80． 已知为偶函数，对任意实数都有，当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象恰有6个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数性质作出函数图象，即可利用图象列不等关系求解. 【详解】由于为偶函数，也是偶函数， 则只需要的图象与函数在上恰好有3个交点，则 根据可得的周期为2，作出函数图象如下： 的图象与在上恰好有3个交点，则 同时满足且， 故， 故选：A 福建省厦门市2023-2024高一上期末单选压轴 81． 已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为,对进行分类讨论,利用数形结合的方法即可得到结果. 【详解】因为, ①当时,做出两段抛物线的图像如图:    此时函数只有两个零点,不满足题意; ②当时,,做出两段抛物线的图像如图:    此时函数恰有三个零点,满足题意; ③当时,因为在有两个零点,且当时两段抛物线的函数值相等,若要满足题意,则两段抛物线的图像应该如图:    此时,满足题意;综上实数的取值范围为. 湖南省长沙市省示范学校2023-2024高一上期末单选次压轴 82． 设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知及奇偶性求的周期和解析式，根据指对数性质画出与在内的图像，由交点情况确定参数范围. 【详解】∵对都有， ∴，即的周期为4， ∵当时，， ∴当时，则， ∵是偶函数， ∴当时， ∵， ∴， ∴作出在区间内的图像如下： ∵在内关于的方程恰好有三个不同的实数根， ∴与在内有三个不同的交点， ∴只需满足在的下方，过或在其上方，即， ∴. 广东省中山市2023-2024高一上期末填空压轴 83． 已知是定义在区间的函数，则函数的零点是 ；若方程有四个不相等的实数根，，，，则 . 【答案】 2，8 20 【分析】解方程，即可求得函数的零点；将方程四个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论； 【详解】由题意可知，令，即，解得或， 故函数在内的零点为和； 方程有四个不相等的实数根，， 即为与的四个交点的横坐标， 方程即，，即， 当即时，方程可转化为即； 当时，方程可转化为即； 故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根， 不妨设为的两根，则， 则为的两根，则， 则 类型三：零点相关的运算 重庆市第一中学校2023-2024高一上期末单选次压轴 84． 已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的单调性，结合零点存在性定理得到，再变形得到，根据对勾函数性质得到答案. 【详解】由于在R上单调递减， ，在R上单调递减， 故在R上单调递减， ，， 由零点存在性定理可得，故， 由题意得，故， 故， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 故. 湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上期末填空压轴 85． 已知函数与的零点分别为和，若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．（是自然对数的底数） 【答案】 【分析】先确定函数的单调性，然后观察其零点，进而求出的范围，再将方程的存在性问题转化为函数的值域问题求解即可. 【详解】对于函数， 明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以函数在定义域上单调递增， 又，所以， 所以，即， 即函数在上存在零点. 令，得， 令， 对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以的值域为， 所以. 7 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$