专题07 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题07 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.内切圆模型 2 模型2.多边形的外接圆模型 5 9 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.内切圆模型 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 图1 图2 图3 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴ 即r= 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明， ∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为 ．（结果用含的式子表示） 例2．（2023春·广东九年级期中）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ 　） A．125° B．120° C．130° D．115° 例3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 例4．（2023·河南安阳·九年级校联考期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径 cm． 例5．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考期中）如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．    例6．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．    例7．（2023·江苏无锡·统考模拟预测）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．6 模型2.多边形的外接圆模型 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 图1 图2 图3 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 例1．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 例2．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，四边形中，．若．则外心与外心的距离是（    ） A．5 B． C． D． 例4．（2024·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID 的值为 ． 例5．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心． 例6．（2023江苏九年级上期末）如图，已知的半径为1，A、P、B、C是上的四个点，． (1)的形状为______；(2)试求线段、、之间的数量关系； (3)若点M是的中点，直接写出点P在上移动时的最小值． 例7．（2023·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知， (1)连接，，则______（用含有的代数式表示） (2)求证：；(3)连接，若，求的最小值 (4)若，为等腰三角形，直接写出的值． 1．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 2．（2024·山东潍坊·九年级统考期末）如图，点I为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的长为（    ）． A．1 B．2 C．2.5 D．3.5 5．（2023·山东枣庄·九年级校考自主招生）如图，中，内切圆O和边、、分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（    ） A．点O是的外心 B． C． D． 4．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 5．（2024·四川广元·三模）如图，是一块草坪， 其中， 阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 ．    6．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为 ．      8．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ；（2）若，则 ． 9．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ． 10．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：． 11．（2023·北京·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr . 下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）： 延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）， ∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ① 如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA． ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB． ∴，∴②，由（2）知：，∴ 又∵，∴ 2Rr(R d )(R d ) ，∴ R d 2Rr∴ d R 2Rr 任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明） （3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为1，A，，，是上的四个点，． (1)判断的形状：　 　；(2)试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)记 的面积分别为 ，若 ，求 的长． 13．（2023·广东深圳·三模）综合与实践：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 14．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知I是的内心，的延长线交的外接圆于点D，连接．(1)在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；(2)如图2，若为的外接圆直径，取中点O，且于点I，切圆O于点D，求的值． 15．（2024·吉林长春·一模）如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接． (1)求的长；(2)求证：是的平分线；(3)当时，求的长； (4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______． 16．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，．    (1)在图①中作的外接圆；在图②中作的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③） 17．（2023·江西新余·九年级校考阶段练习）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；(2)利用图证明你的猜想；(3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 18．（2024·山东九年级期中）如图，是的切线，切点为A，是的直径，连接交于E．过A点作于点D，交于B，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：E为的内心；(3)若，，求的长． 19．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D． (1)求证：；(2)若，，求的长． 20．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，为的外接圆，D为与的交点，E为线段延长线上一点，且．(1)求证：直线是的切线．(2)若D为的中点，，， ①求的半径；②求的内心到点O的距离． 21．（2023·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．(1)求证：平分；(2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)若，，求线段的长． 22．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题提出】 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？    (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径，∴　　，， ∵四边形内角和等于，∴　　． (2)请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．(3)直接写出四边形边满足的数量关系 　　；(4)探究、满足的位置关系； (5)如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.内切圆模型 2 模型2.多边形的外接圆模型 9 20 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.内切圆模型 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 图1 图2 图3 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴ 即r= 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明， ∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用弧长公式即可求解． 【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点， ∴；设，， 在中：，在中：， 由①②得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查内心的性质，求弧长；解题关键是根据角平分线算出的度数． 例2．（2023春·广东九年级期中）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ 　） A．125° B．120° C．130° D．115° 【答案】A 【分析】连接OB，OC，先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数． 【详解】连接OB，OC． ∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-55°=125°．故选A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造三角形是解答此题的关键． 例3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中，，，，， 是的内心，， ，，， 点到边的距离为2；故答案为：2． 例4．（2023·河南安阳·九年级校联考期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径 cm． 【答案】2 【分析】根据三角形的面积三角形的周长内切圆的半径，即可求解． 【详解】解：如图所示：设三角形ABC面积为S，周长为x，半径为r, ∵⊙O是△ABC的内切圆，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，∴OD＝OF＝OE＝r， ∴S＝AC•r＋AB•r＋BC•r＝（AC＋AB＋BC）r＝xr． ∵三角形的面积是24cm2，周长是24cm，这个三角形的内切圆的半径是， 则，解得：．故答案是：2． 【点睛】本题考查三角形的内切圆和三角形的面积，将三角形分割得出面积与半径之间的关系是解题关键． 例5．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考期中）如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．    【答案】14 【分析】根据切线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵是的内切圆，且与相切于点G；    根据切线长定理，设，，，； ∵，∴．解得， ∴的周长，故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，三角形周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 例6．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．    【答案】 【分析】由切线的性质得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由锐角的正切即可求出的长． 【详解】解：设与切于，与相切于，连接，连接，，，      ，，，平分，， 是等边三角形，，， 同理：，，，， ∵，．故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出，得到是中点，应用锐角的正切即可求解． 例7．（2023·江苏无锡·统考模拟预测）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．6 【答案】B 【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可. 【详解】解：若△APQ∽△ABC，∴∠APQ=∠ABC， ∴PQ∥BC，，∴∠PDB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PBD =∠PDB，∴PB=PD，同理，DQ=CQ， ∵，，，∴BC=， 设AP=x，根据得,∴AQ=， ∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，∴PQ=PD+QD=， ∴，即，解得：x=，∴PQ=； 若△APQ∽△ACB，则， 由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N， 可知四边形AMDN为正方形，∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°， ∴AM∥DN，AN∥DM，∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，∴△MPD∽△NDQ，∴， ∵AB=8，AC=6，BC=10，∴DM=DN==2，∴AM=AN=2，设PM=x，则，∴NQ=， ∵，即，解得：x=或-2（舍）， ∴AP=+2=，∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.综上：PQ的值为.故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论. 模型2.多边形的外接圆模型 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 图1 图2 图3 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 例1．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 【答案】5cm 【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定义得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解关于r的方程即可； 【详解】解： 如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC， ∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圆的圆心在AD上， 连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD= =8， 在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5， 即△ABC的外接圆的半径为5； 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解题关键证明等腰三角形底边上的高经过三角形外接圆的圆心. 例2．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵，∴，∴，∴， ∵点是的内心，∴，故答案为：35． 例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，四边形中，．若．则外心与外心的距离是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接AC，作于F，AC与BD、DF交于点E、G，先证明E是的外心，G是的外心，在中，根据即可解题． 【详解】如图，连接AC，作于F，AC与BD、DF交于点E、G， 垂直平分BD， ，是等边三角形，是等腰直角三角形 是的外心，是的外心， 在中， 在中， 故外心与外心的距离是5 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 例4．（2024·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID 的值为 ． 【答案】/ 【分析】过点作、、的垂线，分别交于点、点、点，设与的交点为点，过点作的垂线，交于点，连接，根据三角形内接圆的性质求出内切圆半径的长度，从而得到的长度；在中，根据勾股定理求出的长度；利用，得到、的长度；根据，求出的长度；在中，根据勾股定理求出的长度；在中，根据勾股定理求出的长度，即可求出． 【详解】解：过点作、、的垂线，分别交于点、点、点，设与的交点为点，过点作的垂线，交于点，连接，如图所示 ∵是的内心∴又∵，，， ∴四边形是正方形设，则， ∵，，∴， 在中，∴+∴∴ ∵是的外心∴∴ 在中， ∵是的内心，∴∴ ∵，∴∴∴， ∵∴在中， 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆的性质、三角形内接圆的性质、正方形的判定与性质、同一个三角形面积不变性、相似三角形的判定与性质、勾股定理、同弧所对圆周角是圆心角的一半等知识点，解答本题的关键是能够正确作出辅助线． 例5．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分，， ，，． （2）证明：如图，连接，点I是的内心， 平分，平分，， 又，， ，，，． （3）证明：如图，连接，，，，． ，∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 例6．（2023江苏九年级上期末）如图，已知的半径为1，A、P、B、C是上的四个点，． (1)的形状为______；(2)试求线段、、之间的数量关系； (3)若点M是的中点，直接写出点P在上移动时的最小值． 【答案】(1)等边三角形(2)(3) 【分析】（1）如图1，连接，由得 ，进而可得，可证，进而可判断的形状； （2）如图2，在线段上截取使，可证是等边三角形，证明，，则，根据，可得结论； （3）如图3，连接，记中点为，连接，证明的运动轨迹为绕运动且半径为的圆，连接，可知与的交点即为在上移动时的的最小值时的位置，过作，垂足为，根据题意求出、的值，根据，，，分别求的值，在中，由勾股定理得，求的值，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，如图1，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，故答案为：等边三角形． （2）解：，如图2，在线段上截取使， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∴，∴的数量关系为． （3）解：如图3，连接，记中点为，连接， 由题意知且，即为定长，为定点， ∴的运动轨迹为绕点运动且半径为的圆， 如图3，连接，可知与的交点即为在上移动时的的最小值时的位置，过作，垂足为，由题意得，，， ∴，，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∴在上移动时的的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理、正弦、余弦等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用． 例7．（2023·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知， (1)连接，，则______（用含有的代数式表示） (2)求证：；(3)连接，若，求的最小值 (4)若，为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)的最小值(4)或时，为等腰三角形 【分析】（1）连接，，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据点是的内心，得出，则，进而得出，即可得出（3）因为，所以点为的中点，故点是一个定点．由（1）的结论，可知，点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，所以当点，，三点共线时，取最小值．此时为的直径，且为的垂直平分线，，解，得出，进而即可求解； （4）根据，得出，分别连接，，记与相交于点，得出是等边三角形，同（2）可求得，，然后分类讨论即可求解． 【详解】（1）连接，， ∵点是的内心∴，， ∴ （2）解：如图1所示，连接， ∵点是的内心，∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：因为，所以点为的中点，故点是一个定点． 由（1）的结论，可知，点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，所以当点，，三点共线时，取最小值． 如图2所示，此时为的直径，且为的垂直平分线，，∵  ∴ 在中，∴ 在中，∴∴ 故的最小值 （4）解：∵   ∴   ∴ 分别连接，，记与相交于点， ∵，∴，， ∴是等边三角形同（2）可求得，， ①，如图3所示， 此时  ∴ 而矛盾，故此种情况不成立． ②，如图4所示，过点作，交于点，过点作，交于点， 此时，， ∴，∴ 设，则，∵∴，解得 ∴，∴， ∵∴，即 解得，∴ ③，如图5所示，此时， ∵是等边三角形，∴∴点，，三点共线 ∴为的直径∴∴ 综上所述，或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形内心的应用，角平分线的定义，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． 1．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 【答案】B 【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，如图， 点 O 是△ABC 的内心，，， ， ， 点 O是△DBC 的外心，，故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键． 2．（2024·山东潍坊·九年级统考期末）如图，点I为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的长为（    ）． A．1 B．2 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【分析】由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知，，利用三角形外角的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得∠，进而可证，推出，据此即可求解． 【详解】解：∵点I为的内切圆的圆心， ∴平分，平分，∴，， ∵，，， ∴，∴，∴，故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是通过导角证明． 5．（2023·山东枣庄·九年级校考自主招生）如图，中，内切圆O和边、、分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（    ） A．点O是的外心 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先连接如图所示的辅助线．采用排除法，证明A、B、C选项，从而错误的选择D．在证明中运用弦切角定理，直角三角形的两直角边所对的角互余． 【详解】解：A、∵点O是△ABC的内心 ∴OE=OD=OF∴点O也是△DEF的外心∴该选项正确； B、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理） 在Rt△BOD中，∠BOD=90°-∠OBD=90°−∠B 同理∠COD=90°−∠C ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=180°−(∠C+∠B)，即∠BOC=180°−(∠C+∠B) 在四边形MOND中，OM⊥FD，ON⊥ED∴∠BOC+∠MDN=180° ∴∠MDN=180°-∠BOC，即∠BOC=180°-∠EDF∴∠AFE=（∠B+∠C）故该选项正确； C、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理），∵在Rt△AFO中，∠AFE=90°-∠FAO=90°-∠A， 由上面B选项知∠MDN=180°-∠BOC=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，故该选项正确；故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、弦切角定理．同学们需注意对于选择题目，采用排除法是一种很好的方法． 4．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴，∴．故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 5．（2024·四川广元·三模）如图，是一块草坪， 其中， 阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查了内切圆，勾股定理，几何概率．熟练掌握内切圆，勾股定理，几何概率是解题的关键． 如图，记的内切圆的圆心为，作于，于，于，设的半径为，则，由勾股定理得，，由，可求，，，根据小鸟落在阴影部分的概率为，求解作答即可． 【详解】解：如图，记的内切圆的圆心为，作于，于，于，设的半径为，    ∴，由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，，∴，， ∴小鸟落在阴影部分的概率为，故答案为：． 6．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 【答案】9 【分析】根据切线长定理，可得，由此即可解决问题． 【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F， ∴， ∴， ∵，，∴，故答案为：9． 【点睛】本题考查了切线长定理，考查了数学运算能力． 7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为 ．      【答案】1 【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于M，连接， ∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴， 由折叠的性质可得，∴， 又∵，∴，  ∴，   设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴， 如图所示，连接 ∵分别与，，相切，切点分别为，，， ∴， ∵，∴， ∴，∴的半径为，故答案为；1．      【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ；（2）若，则 ． 【答案】 /100度 /125度 【分析】（1）如图，证明；求出，进而求出即可解决问题；（2）根据圆周角定理得到，根据三角形的内心的性质得到平分平分，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）如图，的内心为点， ，，， ，，故答案为：； （2）如图，点为的外心， ，， 点为的内心，平分平分， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和性质是解题的关键． 9．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，，，，，的内切圆半径分别记为，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件证明，，利用三角形面积比解答即可．本题主要考查了三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 【详解】解：令，，， 在中，， 可得：， ， ， 又， ， ， 即：， ， 同理可得：， ， ， 即：， ∵，，的内切圆半径分别记为，，， ，，， ； ， ，， ． 故答案为：． 10．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．连接，要证明，只要求得，再根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接， ∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2023·北京·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr . 下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）： 延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）， ∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ① 如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA． ∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB． ∴，∴②， 由（2）知：，∴ 又∵，∴ 2Rr(R d )(R d ) ，∴ R d 2Rr∴ d R 2Rr 任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明） （3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3） 【分析】（1）根据线段的差求解即可；（2）根据点I是△ABC的内心，推出，进而根据外角性质以及圆周角定理得到，即可得证； （3）利用（1）和（2）的结论可得，进而得出，再代入求值即可． 【详解】（1）∵IM R d∴； （2）∵点I是△ABC的内心 ∴ ∵ ∴∴； （3）由（2）知∴ ∵∴∴ ∴∴∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握线段的和差关系、内心的性质、外角的性质、圆周角定理是解题的关键． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，的半径为1，A，，，是上的四个点，． (1)判断的形状：　 　；(2)试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)记 的面积分别为 ，若 ，求 的长． 【答案】(1)等边三角形(2)，见解析(3) 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的全等的判定与性质、解分式方程等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，进而得到，最后根据等边三角形的判定定理即可解答；（2）如图：在 上截取 ，连接 ， ，得到为等边三角形，证明根据全等三角形的性质并结合图形即可解答； （3）如图：过点 作 ，则；根据可得，进而得到；设 ，则，由题意可得，最后解分式方程并检验即可解答． 【详解】（1）解： 是等边三角形． 理由如下： 与 是 所对的圆周角， 与 是 所对的圆周角， ， 又 ， ， 为等边三角形． （2）解：，证明如下： 如图：在 上截取 ，连接 ， ， 是等边三角形， ，即 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， 又， ． （3）解：如图：过点 作 ，则 ， ，即 ， 设 ，则， 由题意可得：，解得 ∵， ∴，则（舍去）， ∴， 检验∶ 是原分式方程的根， ． 13．（2023·广东深圳·三模）综合与实践：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)等边(2)；证明见解析(3) 【分析】（1）根据圆周角定理可得对应的圆周角为，即、，说明为等边三角形即可； （2）如图，在上截取，连接，先说明为等边三角形可得，，，进而证明可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，根据题意可得，然后说明是三角形的中位线，进而得到；再根据中点的定义可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：， 对应的圆周角为， ，， ， 为等边三角形． 故答案为：等边． （2）解：如图，在上截取，连接， ， 为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：根据题意可知，如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，， ，， ， ， 是的中点， 是三角形的中位线， 为的中点， ， 又是的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 14．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知I是的内心，的延长线交的外接圆于点D，连接．(1)在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；(2)如图2，若为的外接圆直径，取中点O，且于点I，切圆O于点D，求的值． 【答案】(1)①见解析；②D为外心，证明见解析(2)2 【分析】（1）①根据等弧所对的圆周角相等即可证明结论成立； ②由，可证，得出，从而，可求出D为外心； （2）连接．由为的外接圆直径可知切圆O于点D，根据余角的性质可证，由（1）的结论得，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）①连接． ∵I是的内心 ∴平分， ∴， ∴， ∴ ②D为外心，证明如下： ∵I是的内心 ∴平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴D为外心； （2）连接． ∵为的外接圆直径，O为中点， ∴O为的外接圆圆心． ∵切圆O于点D， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的外接圆直径， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内心与外心，三角形外角的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，综合运用各知识点是解答本题的关键． 15．（2024·吉林长春·一模）如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接． (1)求的长；(2)求证：是的平分线；(3)当时，求的长； (4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______． 【答案】(1)(2)见解析(3)(4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，易得，设，三线合一求出的长，进而表示出的长，再在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据等边三角形的性质，圆周角定理，得到，即可得证； （3）过点作，解非直角三角形，求出得长即可； （4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，易得，得到的周长，过点作，得到，进而得到当最大时，的长最大，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接， ∵为等边三角形的外接圆，半径为4， ∴， ∴， 设，则：，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：或（舍去）； ∴； （2）∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线； （3）过点作， 由（1）可知：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴； （4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 则：，， ∴，即：， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小，， ∴当最大时，最大， 过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵是的一条弦， ∴当为直径时，最大，为， ∴的最大值为，即：的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段最短问题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形是解题关键． 16．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，．    (1)在图①中作的外接圆；在图②中作的内切圆．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一中，当，时，______，______．（如需画草图，请使用图③） 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作圆得到的外接圆；作和的平分线，它们相交于点，作过点作于点，然后以点为圆心，为半径作圆得到 的内切圆； （2）如图③，设与各边的切点为、、，连接、、，根据切线的性质得到，，，过点作于点，设的半径为，则，先根据圆周角定理可判断为的直径，利用勾股定理可计算出得到，接着证明四边形为正方形得到，根据切线长定理得到，，从而得到，解得，然后利用勾股定理可计算出，再利用面积法求出，接着利用勾股定理求出，最后利用余弦的定义求出的余弦值． 【详解】（1）解：如图①，为所作；    如图②，为所作；    （2）如图③，设与各边的切点为、、，连接、、，则，，，过点作于点， 设的半径为，则，    ， 为的直径， ，，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 解得， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．主要考查了三角形外接圆和三角形的内切圆． 17．（2023·江西新余·九年级校考阶段练习）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；(2)利用图证明你的猜想；(3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 【答案】(1)(2)见解析(3)，，， 【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；（2）根据切线长定理即可得出结论； （3）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点，，，， 猜想， 故答案为：； （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于，，，， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即：圆外切四边形的对边和相等； （3）解：相邻的三条边的比为∶∶， 设此三边为，，， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为， 圆外切四边形的周长为， ， ， 此四边形的四边的长为，，，． 即此四边形各边的长为：，，，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． 18．（2024·山东九年级期中）如图，是的切线，切点为A，是的直径，连接交于E．过A点作于点D，交于B，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：E为的内心；(3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 【分析】（1）如图所示，连接，由切线的性质得到，由垂径定理得到垂直平分，则，证明，得到，即可证明是的切线； （2）如图所示，连接，由（1）得，则平分；再证明，得到平分，即可证明点E是三条角平分线的交点，即点E是的内心； （3）由是直径，得到，证明，解求出，则，同理可证，解即可求出． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：如图所示，连接， 由（1）得， ∴平分； ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴点E是三条角平分线的交点，即点E是的内心； （3）解：∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可证， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，三角形内心的证明，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)10 【分析】（1）由题意可知平分，平分，则，，由圆周角定理可知，可得，进而证明即可得； （2）连接，，，交于点．由，可得，可知垂直平分，由此可知，，由圆周角定理可得，进而利用三角函数值及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵E是的内心，则平分，平分， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． （2）解：连接，，，交于点． ∵， ∴． ∵， ∴垂直平分． ∴，， ∵， ∴． 由圆周角定理可得：， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∴． 在中，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内心，解直角三角形，熟悉相关性质定理是解决问题的关键． 20．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，为的外接圆，D为与的交点，E为线段延长线上一点，且． (1)求证：直线是的切线．(2)若D为的中点，，， ①求的半径；②求的内心到点O的距离． 【答案】(1)见解析(2)①；②5 【分析】（1）连接，并延长交于点F，连接，证明，即可得到结论； （2）①连接，利用垂径定理以及勾股定理，列方程，解方程即可求解；②作的平分线交于点H，连接，过点H作，，证明点H是的内心，在中，利用勾股定理求得，利用，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点F，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且是半径， ∴直线是的切线； （2）解：①如图，连接， ∵D为的中点，过圆心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为； ②如图，作的平分线交于点H，连接，过点H作，， ∵， ∴，且， ∴平分，且平分， ∴点H是的内心，且，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，角平分线性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质定理进行推理是本题的关键． 21．（2023·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接． (1)求证：平分；(2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)等腰三角形，见解析(3)6 【分析】（1）由切线的性质可得出，结合题意可证，即得出．再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出，从而易证平分； （2）由直径所对圆周角为直角可知．再根据三角形内心的性质可知，．由同弧或等弧所对圆周角相等可知，从而结合三角形外角性质得：，即，即证明为等腰三角形； （3）连接，作交于点M， 由圆周角定理可知．根据勾股定理可得出，即得出，从而由等腰直角三角形的性质结合勾股的定理求出．又易证为等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，进而可求出． 【详解】（1）∵是切线 ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，即平分； （2）为等腰三角形，理由如下， ∵为的直径， ∴． ∵G是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）连接，作交于点M，如图所示： 由圆周角定理可知． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆的相关知识是解题关键．在解（3）时正确作出辅助线也是关键． 22．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题提出】 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？    (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径，∴　　，， ∵四边形内角和等于，∴　　． (2)请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．(3)直接写出四边形边满足的数量关系 　　；(4)探究、满足的位置关系； (5)如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，(2)成立，理由见解析 (3)，理由见解析(4)，理由见解析(5) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，四边形的内角和定理进行求解即可； （2）连接、，根据同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理进行求解即可； （3）连接、、、，根据切线长定理进行求解即可； （4）连接、、、、，根据切线的性质，四点共圆的性质可得，再由同弧所对的圆周角相等，可得，根据三角形内角和定理，可得，则，即可证明； （5）连接，可得是圆的直径，连接、，先推导出，再证明四边形是正方形，可得，即可知点在上，根据已知求出，通过证明，求出，可求，则阴影部分的面积． 【详解】（1）解：是的直径， ，， 四边形内角和等于，； 故答案为：，； （2）成立，理由如下：连接、， ，，， ，；同理，；          （3），理由如下：连接、、、， 圆是四边形的内切圆，，，，， ，即， 故答案为：； （4），理由如下：连接、、、、， 四边形是圆的内接四边形，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，； （5）连接，    ，，是圆的内接圆，是圆的直径， 连接、，是四边形的内切圆圆心，，， ，，，， ， ，， ，，，， 四边形是正方形，，点在上， ，，， ，，， ，， ，即，解得， ，阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握四边形的内切圆性质，外接圆性质，三角形相似的判定及性质，切线的性质，四点共圆的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$