专题06 圆中的最值模型之阿氏圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题06 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 6 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·浙江·九年级校考期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 例6．（2024·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____． 例7．（2024·成都·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是　 　． 例8．（2024·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． 例9．（2023·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； 1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 2．（2023·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（　　） A．2 B．12 C． D．8 3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________． 4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 5．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 6．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 ．的最小值 7．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 8．（2024·四川·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 9．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    10．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ． 11．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：                       图1                         图2                           图3 （1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明： （2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值． （3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值． 12．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以． 所以，所以． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值． 13．（2024.上海九年级校考期中）【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB． 【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为 　　；＝　　．（2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长． 【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接PA，PB，则3PB+2PA的最小值为 　　． 14．（2024·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①，②，③，④的最小值． 15．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试） 【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值． 【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以． 又因为，所以最小值为 ． 【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值． 【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值． 【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ． 16．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）； ③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长． (3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 12 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·浙江·九年级校考期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG， ∵，，∴， ∵G是BE的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长， ．故选：C． 【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值． 例2．（2024·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 【答案】5 【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图， ∵，，∴， ∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC， 当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5 点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中 例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝， ∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI， ∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___． 【答案】 【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案． 【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, ∵⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9, ∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA， ∴3PA+PB=PC+PB,∴当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC, ∴BC===，∴3PA+PB的最小值为．故答案为： 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例6．（2024·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____． 【答案】5 【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值 【详解】解：如图， 在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动， 在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG， ∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI， ∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键． 例7．（2024·成都·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是　 　． 【答案】 【解答】解：如图，取一点，连接，，， 、、，，， 以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，， ，，，、、、四点共圆，， ，，，，， ，，，， ，，， ，的最小值是 例8．（2024·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__． 【答案】                    【分析】（1）如图3中，在上取一点，使得，先证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值，，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最大值；（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，解法同（1）． 【详解】（1）如图3中，在上取一点，使得， ，，， ，，，， （当且仅当、、共线时取等号），的最小值为， 的最小值为，， 的最大值为，故答案为：，； （2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点， ，，， ，，，， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最小值为， 的最小值为， 在中，，，，， 在中，，的最小值为， ，的最大值为，故答案为：，． 【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题． 例9．（2023·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； 【答案】(1) (2)的最大值为，此时 【分析】（1）首先求出，，然后利用待定系数法求解即可；（2）首先求出，过点作轴交轴于点，证明出，得到，．设，，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）∵直线∴当时，∴ ∴当时，解得∴ 将，代入， 得解得 抛物线的解析式为； （2），，，，．过点作轴交轴于点， ，∴，， ．设，， 则，，． ，，当时，的最大值为，此时． （3）由（2）知，，点平移前的对应点为点， 新抛物线是原抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的． ， ，对称轴为．设，由（1）知，， 则，，． ①当时，，解得，； ②当时，，解得，，． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B． 2．（2023·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（　　） A．2 B．12 C． D．8 【答案】A 【分析】首先连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，则有；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD∽△BCP，即可推得，AP+BP=AP+PD，即2AP+BP=2(AP+PD)，再应用勾股定理，求出AP+BP的最小值为多少即可． 【详解】解： 如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD， ， ∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP． ∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，∴2AP+BP=2(AP+PD) 要使2AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小， 即：AP+BP=AP+PD最小值为AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6， ∴AD==，2AP+BP的最小值为2，故选：A． 【点睛】此题主要考查了最短路线问题，圆周角定理的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握. 3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________． 【答案】． 【分析】在AD上截取AH=1.5，根据题意可知，AP=，可得，证△APH∽△ADP，可知PH=，当B、P、H共线时，的最小，求BH即可． 【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F， ∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=， ∴，∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=， 当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长， BH=；故答案为：． 【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题． 4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论． 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键． 5．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】连接CO并延长至点P使，证△CDO∽△CPD，得出PD=OD，当B、D、P共线时最小，求BP长即可． 【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB， ∵C点坐为，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP= ∵∠AOP=45°，∴P点坐标为（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD， ∴，∴PD=OD，当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小， 设点B的坐标为（0，n），∵C点坐标为，∴ 解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3） 由P点坐标（），B坐标（0，3）可得；故答案为：． 【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题． 6．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 ．的最小值 【答案】 【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可； ②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD， 作DF⊥BC交BC延长线于F． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG， 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2， 在Rt△GDF中，DG，故答案为：； ②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是菱形，且，∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30， ∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=， ∴，，∴， 且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴， ∴，∴， ∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM， 在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-， ∴MC=，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 7．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断． 【详解】解：延长到，使得，连接，． ，，，，， ，，，， ，又在中，，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 8．（2024·四川·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解． 【详解】解：连接，∵为的直径，，∴， ∵在中，，∴，， 在上截取，过作于，于，连接、， ∴四边形是矩形，， ∴，，∴， 在中，， ∵，是公共角，∴， ∴，则， ∴，当共线时取等号， 故的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的基本概念、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，解答的关键是截取在上截取，构造相似三角形求得是关键． 9．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得． 【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，    ∵、，，∴，， 以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接， ∵，，∴， ∴A，P，B，Q四点共圆，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，过点F作于点G， ∵，，∴∴点F的坐标为， ∵，∴ ∵，即, ∴的最小值是，故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 10．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．先证明，即有，可得，再根据，（当P、G、D三点共线时取等号）即可求解． 【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于． ，，，，，， ，，，， 四边形是菱形，，， ，，即， ，，， ，（当P、G、D三点共线时取等号） ，的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 11．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：                       图1                         图2                           图3 （1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明： （2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值． （3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明∽，得到，即可得到结论成立； （2）在BC上取一点G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到，当D、P、G共线时，的值最小，即可得到答案；（3）在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，与（2）同理得到，当点P在DG的延长线上时，，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图，在BC上取一点G，使得BG=1， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴； ∵，∴当D、P、G共线时，的值最小，∴最小值为：； （3）如图，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F， 与（2）同理，可证，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4， ∴DF=CD•sin60°=，CF=2，在Rt△GDF中，DG=， ∴，当点P在DG的延长线上时，， ∴最大值为：. 【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 12．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以． 所以，所以． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）13． 【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度． （2）连接CP，在CA上取一点D，使，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度． （3）延长OC到E，使，连接PE，OP，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度． 【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值．　故答案为：． （2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有， ∵，∴∽，得， ∴，故，仅当B、P、D三点共线时， 的最小值． （3）延长OC到E，使，连接PE，OP， 则，∵，∴∽，∴， ∴，∴，仅当E、P、B三点共线时， ，即的最小值为13． 【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出∽和∽是解题的关键．本题较难． 13．（2024.上海九年级校考期中）【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB． 【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为 　　；＝　　．（2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长． 【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接PA，PB，则3PB+2PA的最小值为 　　． 【解答】解：（1）∵AC2＝CD•BD，∴4CD＝4，∴CD＝1，∴BD＝BC﹣CD＝3， ∵△CAB∽△CAD，∴＝＝＝，故答案是3，； （2）如图1， ∵＝，∴∠B＝∠CAE，由上知，∴△ACE∽△BCA， ∴＝＝＝＝，AC2＝CE•BC， ∴AC＝2CE，∴4CE2＝CE•（CE+15），∴CE＝5，∴CD＝AC＝2CE＝10； 【灵活运用】如图2， 由题意得，OA＝OB＝9，∵且m2+n2＝36，∴OP＝6， 在OA上截取OC＝4，∴＝， 又∵∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC， ∴＝，∴PA＝PC，∴PB+PA＝PB+PC≥BC， 当B、P、C共线时，（PB+PC）最小＝BC＝＝， ∵3PB+2PA＝3（PB+PA），∴（3PB+2PA）最小＝3，故答案是3． 14．（2024·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①，②，③，④的最小值． 【答案】①；②；③；④． 【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可； ②由，即可求出结果； ③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可； ④由，即可求出结果． 【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD． ∵，，，∴．又∵，∴， ∴，即，∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长． ∵在中，．∴的最小值为； ②∵，∴的最小值为； ③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE． ∵，，，∴． 又∵，∴，∴，即，∴， ∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长． ∵在中，．∴的最小值为； ④∵，∴的最小值为． 【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键． 15．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试） 【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值． 【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以． 又因为，所以最小值为 ． 【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值． 【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值． 【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ． 【答案】[问题解决]；[尝试应用]，见详解；[能力提升] 【分析】[问题解决]利用勾股定理即可求出，最小值为； [尝试应用]在上取一点C使OC=4，通过证明得到，，所以，再求出AC的值，问题即可求解； [能力提升]由BD= 3CD确定点D的运动轨迹是一个圆，过点D作于G，若△ABD面积的最大，则DG最大，所以DG过圆心，进而求解本题. 【详解】解：[问题解决]如图，在中，， 的最小值为，故答案为：； [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC ，，， ，，，， 过点C作于D，sin， ，， 在中，，最小值为； [能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则， ，，，， 连接DE，DF，由， 点E，F到BD，CD的距离相等，，DE，DF是的内，外角平分线，， 点D是平面内任意一点，点D在以EF为直径的圆O上， 过点O作交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时的面积最大，，EO=3， 在中，， ，， ，△ABD面积的最大值为，故答案为： 【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键. 16．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）； ③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长． (3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②；③或(3) 【分析】（1）根据勾股定理得到，则点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；（2）①根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；②利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．先证明，过点作，求出，，过点作，则四边形为正方形，则，，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可．（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，∴点是关于点的勾股点； ∵点是关于点的勾股点，∴ ∵，∴，如图所示，即为所求； （2）解：①∵点是关于点的勾股点，∴， ∵菱形中，，∴在中，，∴； ②∵，，∴在中，，∴， ∴点E在以O为圆心，半径为的圆上运动， ∴当（点O在）三点共线时，最大，最大值为； ③如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动． 当点在左侧时，连接．当时，∵，∴， 过点作，∴点为中点，即， ∴，，过点作，则四边形为正方形， ∴，∴，∴． 当点在右侧时，可得点与点关于对称，∴∴或 （3）解：如图4，在上取点，使，则， ∵是关于点的勾股点，∴， 在中，，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴当A、E、F共线时，值最小， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$