专项9 整式加减的应用-人教版七年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 9 整式加减的应用 答案解析 1．(1)5400 (2)① 27� + 2700 ； 30� + 2550 ；②当 15 < � < 50时，按照方案二购买；当� = 50时， 按照方案一和方案二都可以；当� > 50时按照方案一购买 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，解题的 关键是理解题意，根据题意列出代数式． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）①根据两种方案列出代数式即可； ②分别求出 27� + 2700 > 30� + 2550时，27� + 2700 = 30� + 2550时，27� + 2700 < 30� + 2550时，a 的取值情况，然后进行解答即可． 【详解】（1）解：方案一需要花费： 100 × 30 + 30 × 100 × 90% = 5400（元）， 故答案为：5400． （2）解：①若选择方案一购买，需要花费： 30 × 100 + 30� × 90% = 27� + 2700 元； 若选择方案二购买，需要花费： 30 × 100 + 30 � − 15 = 30� + 2550 元； 故答案为： 27� + 2700 ； 30� + 2550 ． ②当 27� + 2700 > 30� + 2550时，解得：� < 50； 当 27� + 2700 = 30� + 2550时，解得：� = 50； 当 27� + 2700 < 30� + 2550时，解得：� > 50； 答：当 15 < � < 50时，按照方案二购买；当� = 50时，按照方案一和方案二都可以；当� > 50 时按照方案一购买． 2．(1)−9� + 25 (2)� = 1，� =− 30 【分析】（1）把� = 6，� =− 5代入，再根据整式的加减运算进行化简，即可求解； （2）化简 2� − 3�后，令含有 x 的项的系数为零即可求出答案． 【详解】（1）解：4� − � 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 = 4 3�2 + �� − � + 6 − 2��2 − 20� + 5� − 1 2 212 4 4 24 2 20 5 1x bx y ax x y        ， 当� = 6，� =− 5时， 原式 2 212 20 4 24 2 6 20 5 1x x y x x y         2 212 12 20 20 4 5 24 1x x x x y y        9 25y   ． （2）解：2� − 3� = 2 3�2 + �� − � + 6 − 3 2��2 − 20� + 5� − 1 2 26 2 2 12 6 60 15 3x bx y ax x y        2 26 6 2 60 2 15 3 12x ax bx x y y        = 6 − 6� �2 + 2� + 60 � − 17� + 15， 由题意得： 6 6 0a  ， 2 60 0b   ， 解得：� = 1，� =− 30． 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基 础题型． 3．D 【分析】设第一步给三堆都发 a 张牌，然后分别求出每一步过后，三堆的牌的张数，由此即可 得到答案． 【详解】解：设第一步给三堆都发 a 张牌， ∴第二步过后，左边一堆有 � − 5 张牌，中间一堆有 � + 5 张牌，右边一堆有 a 张牌， ∴第三步过后，左边一堆有 � − 5 张牌，中间一堆有 � + 5 + 3 张牌，右边一堆有 � − 3 张 牌， 第四步过后，左边一堆有 � − 5 张牌，中间一堆有 � + 5 + 3 − � − 3 = � + 8 − � + 3 = 11张牌，右边一堆有 2 � − 3 张牌， 故选 D． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用和列代数式，解题的关键在于能够根据题意列出每一 步过后三堆的牌数． 4．乐乐说得对，理由见解析 【分析】设所想两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，表示出原两位数及新两位数，通过作 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 差可得两者的差为常数，再进行验证即可． 【详解】解：乐乐说得对，理由如下： 设所想两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，则原两位数为 10� + �， 根据题意得，新两位数为：2 5� + 4 + � = 10� + � + 8， 10� + � + 8 − 10� + � = 8， 即结果比原数大 8，把计算结果减去 8 就是心里想的数， 因此当结果是 85时，心里想的数为：85 − 8 = 77， 当结果是 27时，心里想的数为：27 − 8 = 19． 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意，正确表示出原两位数及新两位数． 5．(1)2024 (2)−4 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）用整体代入法求解即可； （2）用整体代入法求解即可． 【详解】（1）因为�2 + � − 1 = 0， 所以�2 + � = 1， 所以− �2 − � + 2025 =− �2 + � + 2025 =− 1 + 2025 = 2024， （2）因为� + � = 3，所以  2 2 3 6a b       ， 所以  2 4 4 2a b a b    = 2 � + � − 4 � + � + 2 =− 2 � + � + 2 =− 6+ 2 4  ． 6．(1)� = 1 3 � (2)画图见解析 (3)8 【分析】本题考查正方体性质及展开图，找到图中边长的数量关系即为解答的关键． （1）正方体是特殊的长方体，长宽高三者相等，故回到图形有� = 1 3 �； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 （2）仔细思考，实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从正方体展开图中选择 合适的剪出形状即可； （3）先将式子整理，再根据图形边长关系即可求得本题答案． 【详解】（1）解：∵宽为�厘米，长为�厘米的长方形纸板制作正方体纸盒，� = �， ∴3� = �，即：� = 1 3 �； （2）解：∵在图 2 的长方形纸板的三个角各剪去 1个大小相同的小长方形，剩下部分恰好可 以折合成一个有盖的正方体纸盒， ∴所画图形如图所示： ， （3）解：5 2� − 3� + 1 − 3 2� − 4� − 1 ， = 10� − 15� + 5 − 6� + 12� + 3， = 4�− 3� + 8， ∵其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样， ∴小正方形边长为�，即� = 3�, � = 4�， ∴4� − 3� + 8 = 43� − 34� + 8 = 8， 综上所述：5 2� − 3� + 1 − 3 2� − 4� − 1 值为 8． 7．A 【分析】此题涉及整式加减运算，解答时只要把求出 5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）的值， 再减去 5a2-6b2+3 即可知道横线上的数． 【详解】设横线上这一项为 M， 则 M=5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）-（5a2-6b2+3） =14ab． 故选 A． 【点睛】解决此类题目的关键是熟练运用去括号、合并同类项，括号前是负号，括号里的各项 要变号．合并同类项的时候，字母应平移下来，只对系数相加减． 8．（1）11；（2）证明见解析；（3）9 【分析】（1）根据题目中的定义，将 245任意两个数位上的数字对调，将得到的三个数的和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 除以 111得出结果； （2）根据题意，将原数任意两个数位上的数字对调，得到 100� + 10� + �，100� + 10� + �， 100� + 10� + �，它们的和是 111� + 111� + 111�，是 111的整数倍； （3）根据题意， s的百位的数字是 9，十位的数字是�，个位的数字是 4，�的百位的数字是 1， 十位的数字是 7，个位的数字是�，由（2）发现的规律，� � = 13 + �，� � = 8 + �，即可 求出结果． 【详解】解：（1）� = 245，对调百位数字与十位数字得到 425，对调百位数字与个位数字得 到 542，对调十位数字与个位数字得到 254，则这三个新三位数的和为 425 + 542 + 254 = 1221， 1221 ÷ 111 = 11， ∴� 245 = 11； （2）设“互异数”n 的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则� = 100� + 10� + �， 对调百位数字与十位数字得到 100� + 10� + �， 对调百位数字与个位数字得到 100� + 10� + �， 对调十位数字与个位数字得到 100� + 10� + �， 三个数的和是 100� + 10� + � + 100� + 10� + � + 100� + 10� + � = 111� + 111� + 111�， 111� + 111� + 111� ÷ 111 = � + � + �， 故结论正确； （3）∵� = 904 + 10�，且�的数是小于 10的正整数， ∴这个数是个三位数，百位的数字是 9，十位的数字是�，个位的数字是 4， ∵� = 170 + �，且�的数是小于 10的正整数， ∴这个数是个三位数，百位的数字是 1，十位的数字是 7，个位的数字是�， 由（2）中发现的规律，� � = 9 + � + 4 = 13 + �，� � = 1 + 7 + � = 8 + �， ∵� � + � � = 27， ∴13 + � + 8 + � = 27，即� + � = 6， 则� � − � � = 13 + � − 8 − � = � − � + 5 = � − 6 + � + 5 = 2� − 1， ∵� + � = 5，�，�是小于 10 的正整数， ∴当� = 5时，� � − � � 取最大值，最大值是 2 × 5 − 1 = 9． 【点睛】本题考查新定义题型，解题的关键是掌握整式的加减运算法则，一次函数最值的求解． 9．(1)见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (2)正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是 解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这 9 个数按从小到大的顺序排列后正中间的数 5，进而最大的数 9， 和最小的数 1加上 5，就组成一列，然后是 8，5，2，接着是 7，5，3，最后是 6，5，4，保证 每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为�+ 1， 2m ，…，�+ 9，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为 3� + 15，正中间的数为�+ 5， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的 3倍，设正中间的数为 x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）解：正确，理由如下： 设九个数依次为�+ 1， 2m ，…，�+ 9，其各数之和为 �+ 1 + �+ 2 +⋯+ �+ 9 = 9�+ 45， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为 1 3 9� + 45 = 3� + 15， ∴正中间的数为1 3 4 3� + 15 − 9� + 45 = �+ 5， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的 3倍， 设正中间的数为 x， 填表如下， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 � 2� − � 2� − � � � � 2� − � 则� + 2� − � = � + 2� − �，即� = 1 2 � + � ； （3）解：如下图：（答案不唯一） 10．（1）4，7；（2）4，1；（3）�+ � − �，� − � ；（4）① 3.5 ，1.5，5；②1.5� + 3� − � − 5， 1.5� + 3� − 2� + 3，� − 8 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及整式的加减，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点�表示的数，两点之间的距离为右边的数减 去左边的数； （2）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点�表示的数，两点之间的距离为右边的数减 去左边的数； （3）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点�表示的数，再计算两点之间的距离； （4）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； 【详解】解：（1）∵点�表示数−3，将�点向右移动 7 个单位长度到达点�， ∴点�表示的数是−3+ 7 = 4，�、�两点间的距离为 4 − −3 = 7， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 故答案为：4，7； （2）∵点�表示数 3，将�点先向左移动 4个单位长度，再向右移动 5 个单位长度， ∴终点�表示的数是 3 − 4 + 5 = 4，�、�两点间的距离为 4 − 3 = 1， 故答案为：4，1； （3）∵如果�点表示的数为�，将�点向右移动�个单位长度，再向左移动�个单位长度，请你 猜想终点�表示的数是�+ � − �， ∴点�，�之间的距离为 �− �+ � − � = �−�− � + � = � − � ， 故答案为：�+ � − �， � − � ； （4）①当� = 3 时，其中平局一次，甲胜一次，点�最终位置表示的数为−5+ 0.5 + 2 − 1 =− 3.5，点�最终位置表 3 − 0.5 + 1 − 2 = 1.5，此时�、�两点间的距离 1.5 − −3.5 = 5． 故答案为： 3.5 ，1.5，5； ②当� = 10时，其中平局�次，甲胜�次， �点最终位置表示的数为−5+ 0.5� + 2� − � − � − � = 1.5� + 3� − � − 5， �点最终位置表示的数为 3 − 0.5� + � − 2 � − � − � = 1.5� + 3� − 2� + 3； 此时�、�两点间的距离 1.5� + 3� − � − 5 − 1.5� + 3� − 2� + 3 = � − 8 = � − 8． 故答案为：1.5� + 3� − � − 5，1.5� + 3� − 2� + 3，� − 8． 11．（1）该护栏第三边的边长为 −2� + 7 ；（1）当 0 < � ≤ 5时，360�；当� > 5 时，320� − 300； （3）“十小八”卖桃子的总利润为 188� − 48 元 【分析】本题考查整式的加减的实际应用，关键是根据题意列出代数式； （1）将周长减去两条边长，即可求解； （2）分两种情况，根据题意列出代数式，即可求解； （3）将前两部分部分的利润相加，再减去无法销售的成本即可求解． 【详解】解：（1）该护栏第三边的边长为 10� + 18 − 7� + 4 − 7� + 4 − 2� − 3 = 10� + 18 − 7� + 4 − 7� + 4 + 2� − 3 = 10� + 18 − 7� − 4 − 7� − 4 + 2� − 3 =− 2� + 7； 答：该护栏第三边的边长为 −2� + 7 ； （2）解：当 0 < � ≤ 5时，他买桃树苗花的钱为 400 × 0.9� = 360�； 当� > 5时，500元订金还会将膨胀为 800 元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱， 他买桃树苗花的钱为 500 + 0.8� × 400 − 800 = 320� − 300； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 答：当 0 < � ≤ 5时，他买桃树苗花的钱为 360�元；当� > 5时，为 200 + 320� 元； （3）依题意，125 × � + 70 × 4 + � × 0.9 − 70 × 4 − 5 × 4 = 125� + 63� + 252 − 280 − 20 = 188� − 48． 答：“十小八”卖桃子的总利润为 188� − 48 元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 9 整式加减的应用 1．在“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全 意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进 30个安全头盔和若干副电动自行车手套，于是 店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电动自行车店计划购买 30个安全头盔和 100副手套，若选择方案一共需要花费_________ 元． (2)电动自行车店计划购买 30个安全头盔和 a副手套（� > 15）， ①若选择方案一购买，需要花费_________元（用含 a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费_________元（用含 a的代数式表示）； ②假如你是店经理，如何选择购买方案能更省钱？ 2．已知关于�，�的多项式 23 6A x bx y    ， 22 20 5 1B ax x y    ． (1)求当� = 6，� =− 5时，代数式 4� − �的值； (2)若多项式 2� − 3�的值与字母�的取值无关，求�，�的值． 3．有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作：这时，魔术师准 确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（ ） ①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； ②第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆； ③第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆； ④第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆． A．8 B．9 C．10 D．11 4．学习《整式及其加减》后，在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里想好一个两位数， 将十位数字乘 5，然后加 4，再将所得新数乘 2，最后将得到的数加个位数字，把你的结果告 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 诉我，我就知道你心里想的两位数．” 通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你说明原因． 5．七年级“数学天地社团”在学完“整式的加减”后对一道题进行了交流，请仔细阅读，并完成 任务． 试题：已知�2 + � = 1，求�2 + � + 3的值． 小明：对于�2 + � = 1这个方程的求解，我们还没有学，常规方法不适合解决． 小丽：我知道一种“整体代换”的思想方法：将�2 + �作为一个整体代入，则原式= 1 + 3 = 4． 小明：你的方法很巧妙，值得学习． … 任务： (1)若�2 + � − 1 = 0，求− �2 − � + 2025的值； (2)若� + � = 3，求  2 4 4 2a b a b    的值． 6．在“制作正方体纸盒”的实践活动中，某小组利用宽为�厘米，长为�厘米的长方形纸板制作 正方体纸盒，有如下两种设计方案．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)方案一：制作无盖正方体纸盒 若� = �，按图 1 所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为 �厘米，再沿虚线折合起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现�与�之间满足的等 量关系是______． (2)方案二：制作有盖正方体纸盒 若� > �，在图 2 的长方形纸板的三个角各剪去 1 个大小相同的小长方形，剩下部分恰好可以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 折合成一个有盖的正方体纸盒，其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样．请在图 2 中画 出你的设计方案．剪去的小长方形用阴影表示，折痕用虚线表示； (3)在方案二的条件下，求代数式 5 2� − 3� + 1 − 3 2� − 4� − 1 的值． 7．某天数学课上老师讲了整式的加减运算,小颖回家后拿出自己的课堂笔记,认真地复习老师在 课堂上所讲的内容,她突然发现一道题目:5(2a2+3ab-b2)-(-3+ab+5a2+b2)=5a2■-6b2+3被墨水弄 脏了,请问被墨水遮盖住的一项是（） A．+14ab B．+3ab C．+16ab D．+2ab 8．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数 为“互异数”． 【发现】若 n是一个“互异数”，任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，则这 三个新三位数的和是 111的整数倍，记这个整数为� � ． 【例如】若� = 135，对调百位数字与十位数字得到 315，对调百位数字与个位数字得到 531， 对调十位数字与个位数字得到 153，则这三个新三位数的和为 315 + 531 + 153 = 999， 999 ÷ 111 = 9，所以� 135 = 9． 【解答】 （1）求� 245 的值； （2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的： 林林同学说理过程如下：设“互异数”n的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则� = 100� + 10� + �．（请你继续完成林林同学的说理过程） （3）若 s，t都是“互异数”，� = 904 + 10�，� = 170 + �（其中 x，y均为小于 10的正整数）， � � + � � = 27，求� � − � � 的最大值． 9．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵， 其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图 1，请用 1-9这九个整数填写幻方数阵； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2)如图 2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数 a）都等于 与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数 b、c）之和的一半，即� = 1 2 � + � ， 你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图 3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入 1-8这 8 个整数，使每一横 行（3个数）、每一纵行（3 个数）以及里面 4个数的和都相等，请你填写出这 8 个数．（填 写 1种情况即可） 10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之 间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点�表示数−3，将点�向右移动 7 个单位长度，那么终点�表示的数是_____，�、� 两点间的距离是_____； （2）如果点�表示数 3，将�点先向左移动 4个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，那么终 点�表示的数是_____，�、�两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果�点表示的数为�，将�点向右移动�个单位长度，再向左移动�个单位长度， 请你猜想终点�表示的数是_____，�、�两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑 选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点�表示的数是−5，乙选择的游戏起点�表示的数 是 3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 �、�两点移动方式 平局 点�向右移动 0.5个单位，点�向左移动 0.5个单位 甲胜 点�向右移动 2个单位，点�向右移动 1个单位 乙胜 点�向左移动 1个单位，点�向左移动 2个单位 设甲、乙两人共进行了�次“剪刀、石头、布”（�为正整数）． ①当� = 3时，其中平局一次，甲胜一次，点�最终位置表示的数为_____，点�最终位置表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 的数为_____，此时�、�两点间的距离为_____． ②当� > 8时，其中平局�次，甲胜�次，点�最终位置表示的数为_____，点�最终位置表示的 数为_____，此时�、�两点间的距离为_____（用含�、�、�的式子表示）． 11．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为 10� + 18 米的三角形护栏，其第 一条边长为 7� + 4 米，第二条边长比第一条边长少 2� − 3 米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每颗桃树苗单价为 400元．由 于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于 5颗，则每颗苗直接打九折；若买桃树苗大于 5 颗时，先缴纳订金 500元，则本次购买的每颗树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为 800 元优惠 券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买� � > 0 颗桃树苗，用含�的代数式表示他买桃 树苗花的钱（售价=标价×折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖 200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为 4 元， 利润为�元．“十小八”卖了 125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折 销售，又卖出了 70公斤．最后还剩 5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含�的代数式表示“十小 八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润）