专项3 规律探索-人教版七年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 3 规律探索 1．观察一列数：−1，2，−3，4，−5，6，，按照这样的规律，若其中连续三个数的和为 2023， 则这三个连续的数中最小的数是 ． 2．如图是按照一定规律摆放棋子组成的图案，照这样的规律摆下去，请解答下列问题： (1)第 4个图案上共有______个棋子； (2)求第 60个图案上棋子的个数； (3)若其中某个图案上共有 299个棋子，求这是这几个图案？ 3．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第 n 个图形中有 个小圆圈． 4．如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第 n 个图形 中圆点的个数为（ ） A．� + 3 B． 2n n C．3 1n D．2� + 2 5．用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需 3支火柴棒，搭 2个三角形需 5支 火柴棒，搭 3个三角形需 7支火柴棒，照这样的规律，搭 2022个三角形需要火柴棒（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．4040支 B．4045支 C．4050支 D．4055支 6．按照以下图形变化的规律，则第 15个图形中黑色正方形的数量是（ ）． A．23 B．24 C．25 D．26 7．如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第 2024个“H”需 要（ ）个棋子． A．10117 B．10120 C．10122 D．10125 8．设一列数 1a ， 2a ，�3，…，�2015，...中任意三个相邻的数之和都是 20，已知�2 = 2�，�18 = 9 + �， �65 = 6 − �，那么�2023的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为 2，宽为 1，依此 类推，当摆放 2024个时，实线部分长为 ． 10．如图．∠��� = �，��1、 1OB 分别是∠AOM 和∠MOB 的平分线，��2、��2分别是∠�1�� 和∠���1的平分线，��3、��3分别是∠�2��和∠���2的平分线，…，���、分别是∠��−1�� 和∠����−1的平分线，则∠�����的度数是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． a n B． � 2�−1 C． 2n a D． 2 a n 11．2条直线相交，有 1个交点；3条直线相交，最多有 3个交点；n 条直线相交最多有多少 个交点？（ ） A．1 2 (�2 − �) B． 2 1n  C．2� − 3 D．1 5 (2�2 − 3) 12．已知�是不为 1的有理数，我们把 1 1−� 称为�的差倒数，如：3的差倒数是 1 1−3 =− 1 2 ．已知�1 =− 1， 2a 是 1a 的差倒数，�3是 2a 的差倒数，�4是�3的差倒数，…，依此类推，��为��−1的差倒数，则 �2 = ；若�1 + �2 +⋯+ �� = 55，则� = ． 13．如图，用大小相等的小正方形拼成有规律的图形，第 1个图中有 1个正方形，第 2个图中 含有 5个正方形，第 3个图中含有 14个正方形…，按此规律拼下去，第 6个图中含正方形的 个数是 个. 14．【阅读】求值：1 + 2 + 22 + 23 +…+ 22016． 解：设� = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 22016①， 将等式①的两边同时乘以 2得 2� = 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 22017②， 由②−①得 2� − � = 22017 − 1， 即：� = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 22016 = 22017 − 1， 仿照此法计算： （1）1 + 3 + 32 + 33 +…+ 3100； （2）1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 +⋯+ 1 2100 ； 【应用】如图，将边长为 1的正方形分成 4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 为�1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形�2，依次操作 2016 次，依次得到小正方形�3、�4…�2016． 完成下列问题： （3）小正方形�2016的面积等于 ； （4）求正方形�1、�2、�3、�4…�2016的面积和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 3 规律探索 答案解析 1．−2023 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，观察数据从中找出规律是解题关键． 【详解】解：设所求的连续三个数中中间的数是�，则另两个数之和为−2�． 由题意得： � − 2� = 2023 解得： 2023x   ∴这三个数为 2022, − 2023,2024， ∴这三个连续的数中最小的数−2023， 故答案为：−2023． 2．(1)14 (2)第 60个图形上棋子的个数是 182个； (3)这是第 99个图形． 【分析】（1）观察各图可知，后一个图案比前一个多 3枚棋子，第 3个图案有 11枚棋子，即 可求出第 4个图案的棋子个数． （2）观察各图可知，后一个图案比前一个多 3枚棋子，由此可得第 n个图形的通式为 3� + 2， 当� = 60时即可求出第 60个图案棋子的个数． （3）第 n个图形的通式为 3� + 2，再取� = 299即可求解． 【详解】（1）解：第 1个图案：5 = 3 × 1 + 2， 第 2个图案：8 = 3 × 2 + 2， 第 3个图案：11 = 3 × 3 + 2， ∴第 4个图案：3 × 4 + 2 = 14， ∴第 4个图案有 14枚棋子； 故答案为：14； （2）解：由（1）知，第 n个图形上棋子的个数是 3� + 2 个， 当� = 60时，3� + 2 = 3 × 60 + 2 = 182， 所有第 60个图形上棋子的个数是 182个； （3）解：由题意列方程，3� + 2 = 299， 解这个方程，得� = 99， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 所以这是第 99个图形． 【点睛】本题考查图形的变化规律，由所给的图形分析出规律是解题的关键． 3．n2+n+4 【分析】观察图形的变化可得前几个图形的小圆圈的个数，进而可以寻找规律即可． 【详解】观察图形的变化可知： 第 1个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6个； 第 2个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10个； 第 3个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16个； … 则第 n个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4． 故答案为：n2+n+4． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 4．C 【分析】根据图形可知每个图形都比前一个多 3个圆点，又第一个图形有 3＋1个，即第 n个 图形就有 3n＋1个． 【详解】解：由题知，第 1个图形圆点个数为：3×1＋1＝4； 第 2个图形圆点个数为：3×2＋1＝7； 第 3个图形圆点个数为：3×3＋1＝10； 第 4个图形圆点个数为：3×4＋1＝13； ..． 第 n个图形圆点个数为：3×n＋1＝3n＋1； 故选：C． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出图形中圆点个数的变化规律是解题的关键． 5．B 【分析】根据前面几个三角形需要的火柴棒条数，找出规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：搭 1个三角形需 3支火柴棒，3 = 2 × 1 + 1， 搭 2个三角形需 5支火柴棒，5 2 2 1   ， 搭 3个三角形需 7支火柴棒，7 = 2 × 3 + 1， 则搭 n个三角形需要 2� + 1支火柴棒， 搭 2022个三角形需要火柴棒，需要 2 × 2022 + 1 = 4045支， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选 B 【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据前面的三角形找出规律，利用 规律进行求解． 6．A 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，由图得出当�为奇数时，第�个图形中黑色正方形 的数量为� + �+1 2 ；当�为偶数时，第�个图形中黑色正方形的数量为� + � 2，从而即可得出答案， 根据图形得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 第 1个图形有 1 + 1+1 2 = 2个黑色正方形， 第 2个图形有 2 + 2 2 = 3个黑色正方形， 第 3个图形有 3 + 3+1 2 = 5个黑色正方形， 第 4个图形有 4 + 4 2 = 6个黑色正方形， 第 5个图形有 5 + 5+1 2 = 8个黑色正方形， …， ∴当�为奇数时，第�个图形中黑色正方形的数量为� + �+1 2 ；当�为偶数时，第�个图形中黑色正 方形的数量为� + � 2， ∴当� = 15时，第 15个图形中黑色正方形的数量是 15 + 15+1 2 = 23个， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据前 3个“H” 字所用棋子的个数发现规律，由此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：解：由图可知，摆成第 1个“H”字需要的棋子的个数为 7 3 4 1   （个）， 摆成第 2个“H”字需要的棋子的个数为 12 = 4 + 4 × 2（个）， 摆成第 3个“H”字需要的棋子的个数为 17 = 5 + 4 × 3（个）， …… 归纳类推得：摆成第 n个“H”字需要的棋子的个数为 4� + � + 2 = 5� + 2 个， 当� = 2024时，5� + 2 = 10122， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，由题可知，�1，�2，�3每三个循环一次，可得 �18 = �3，�65 = �2，所以 2� = 6 − �,即可求 2 4a  ，�3 = 11，再由三个数的和是 20，可求�2023 = �1 = 5． 【详解】解：由题可知，�1 + �2 + �3 = �2 + �3 + �4， ∴�1 = �4， ∵�2 + �3 + �4 = �3 + �4 + �5， ∴�2 = �5， ∵�4 + �5 + �6 = �3 + �4 + �5， ∴�3 = �6， … ∴这列数�1，�2，�3，⋯，�2015⋯是依次按照�1，�2，�3依次循环， ∵18 ÷ 3 = 6， ∴�18 = �3， ∵65 ÷ 3 = 21…2， ∴�65 = �2， ∴2� = 6 − �, ∴� = 2， ∴�2 = 4，�3 = 11， ∵�1，�2，�3的和是 20， ∴�1 = 5， ∵2023 ÷ 3 = 674…1， ∴�2023 = �1 = 5， 故选：D． 9．5060 【分析】根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案． 此题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】由图形可得出：摆放一个矩形实线长为 3， 摆放 2个矩形实线长为 5，摆放 3个矩形实线长为 8 摆放 4个矩形实线长为 10，摆放 5个矩形实线长为 13， 即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加 2，第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加 3， 摆放 2024个时，相等于在第 1个的基础上加 1012个 2，1011个 3， 摆放 2024个时，实线部分长为： 3 + 1012 × 2 + 1011 × 3 = 5060． 故答案为： 5060． 10．C 【分析】由角平分线性质推理得∠�1��1 = 1 2 �，∠�2��2 = � 22， ∠�3��3 = � 23，据此规律可解答． 【详解】解：∵ ∠��� = �，��1、 1OB分别是∠AOM和∠MOB的平分线， ∴ ∠�1�� = 1 2 ∠���, ∠�1�� = 1 2 ∠��� ∴ ∠�1��1 = 1 2 (∠��� + ∠���) = 1 2 ∠��� = 1 2� ∵ ��2、��2分别是∠�1��和∠���1的平分线， ∴ ∠�2�� = 1 2 ∠�1��, ∠�2�� = 1 2 ∠�1�� ∴ ∠�2��2 = 1 2 (∠�1��+ ∠�1��) = 1 2 ∠�1��1 = 1 2 × 1 2 ∠��� = 1 4 � = � 22 ∵ ��3、��3分别是∠�2��和∠���2的平分线， ∴ ∠�3�� = 1 2 ∠�2��, ∠�3�� = 1 2 ∠�2�� ∴ ∠�3��3 = 1 2 (∠�2��+ ∠�2��) = 1 2 ∠�2��2 = 1 2 × 1 2 ∠�1��1 = 1 2 × 1 2 × 1 2 ∠��� = 1 8 � = � 23 …，由此规律得 ∠����� = � 2� 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 11．A 【分析】由 2条直线相交时最多有 1个交点、3条直线相交时最多有 1+2=3个交点、4条直线 相交时最多有 1+2+3=6个交点，可得 5条直线相交时交点数为 1+2+3+4、6条直线相交时交点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 数为 1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为 1+2+3+4+5+6，可知 n条直线相交，交点最多有 21 11 2 3 1 ( 1) ( ) 2 2 n n n n n         ． 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有 1个交点； 3条直线相交时，最多有 1+2=3个交点； 4条直线相交时，最多有 1+2+3=6个交点； … ∴5条直线相交时，最多有 1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交时，最多有 1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交时，最多有 1+2+3+4+5+6=21个交点； n条直线相交，交点最多有 21 11 2 3 1 ( 1) ( ) 2 2 n n n n n         ． 故选 A． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交 点最多有 1+2+3+…+n-1个是解题的关键． 12． 1 2 /0.5 113 【分析】本题考查数字类规律探究、解一元一次方程，根据题意，观察出−1、1 2 、2三个数为 一个循环，进而分类讨论列方程求解即可．观察出数字变化规律是解答的关键． 【详解】解：由题意，�1 =− 1，�2 = 1 1+1 = 1 2 ，�3 = 1 1−12 = 2，�4 = 1 1−2 =− 1，……， 依次类推，发现−1、1 2 、2三个数为一个循环，又−1+ 1 2 + 2 = 3 2 ， ∴当� = 3�时，�1 + �2 +⋯+ �� = 3 2 � = 55，则� = 110 3 ，不是整数，故舍去； 当� = 3� + 1时，�1 + �2 +⋯+ �� = 3 2 � − 1 = 55，则� = 112 3 ，不是整数，舍去； 当� = 3� + 2时，�1 + �2 +⋯+ �� = 3 2 � − 1 + 1 2 = 55，则� = 37，是正整数，满足题意， ∴� = 3 × 37 + 2 = 113， 故答案为： 1 2 ，113． 13．91 【分析】根据题意分析可得出规律即是后一个图在前一个图的基础上添加这个图的序号的平方 即可得出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：第 1个图中有 1个正方形； 第 2个图中共有 2×2+1=5个正方形； 第 3个图中共有 3×3+5=14个正方形； 第 4个图形共有 4×4+14=30个正方形； 按照这种规律下去的第 5个图形共有 5×5+30=55个正方形． ∴第 6个图形共有 6×6+55=91个正方形． 故第 6个图形共有 91个正方形． 故答案为：91． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出 现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 14．（1） 1013 1 2  ；（2）2 − 1 2100 ；（3） 2016 1 4 ；（4）1 3 1 − 1 42016 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索； （1）设� = 1 + 3 + 32 + 33 +… + 3100①，将等式①的两边同时乘以 3再减去等式①求出 2�， 进而可得答案； （2）设� = 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 +⋯+ 1 2100 ①，将等式①的两边同时乘以1 2 再减去等式①求出− 1 2 �， 进而可得答案； （3）根据题意总结规律即可； （4）设� = �1 + �2 + �3 +… + �2016 = 1 4 + 1 42 + 1 43 + . . . + 1 42016 ①，将等式①的两边同时乘以 4 再减去等式①求出 3�，进而可得答案． 【详解】解：（1）设� = 1 + 3 + 32 + 33 +… + 3100①， 将等式①的两边同时乘以 3得：3� = 3 + 32 + 33 +… + 3100 + 3101②， 由②−①得 3� − � = 3101 − 1， 即： 101 2 3 100 3 11 3 3 3 3 2 S       ； （2）设� = 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 +⋯+ 1 2100 ①， 将等式①的两边同时乘以 1 2 得： 1 2 � = 1 2 + 1 22 + 1 23 +⋯+ 1 2100 + 1 2101 ②， 由②−①得：12 � − � =− 1 2 � = 1 2101 − 1， 即：� = 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 +⋯+ 1 2100 = 2 − 1 2100 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （3）由题意得：�1 = 1 4 ，�2 = 1 4 × 1 4 = 1 42 ，�3 = 1 4 × 1 4 × 1 4 = 1 43 ，…，�2016 = 1 4 × 1 4 × 1 4 × . . . × 1 4 = 1 42016 ， 故答案为： 2016 1 4 ； （4）设� = �1 + �2 + �3 +…+ �2016 = 1 4 + 1 42 + 1 43 + . . . + 1 42016 ①， 将等式①的两边同时乘以 4得：4� = 1 + 1 4 + 1 42 + . . . + 1 42015 ②， 由②−①得：4� − � = 1 − 142016， 即� = �1 + �2 + �3 +…+ �2016 = 1 3 1 − 1 42016 ．