专题04 等式与方程（考点清单,知识导图+2个考点清单+5种题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

专题04 等式与方程（考点清单，2个考点清单+5种题型解读） 【清单01】一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【清单02】等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 【考点题型一】等式与方程 【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1 -1】下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【变式1 -2】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【考点题型二】列方程 【例2】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】已知一个长方形的周长为30cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程（　　　） A．x﹣1=2（15﹣x） B．x﹣1=2（30﹣x） C． D． 【变式2 -2】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【考点题型三】方程的解 【例3】已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3 -1】下列方程中，解为的是（ ） A． B． C． D． 【变式3 -2】若是关于x的方程的解，则多项式的值是（    ） A．1010 B．1014 C．2020 D．2028 【变式3 -3】若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D．8 【变式3 -4】若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【变式3 -5】已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【变式3 -6】如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a＋c＝0，且c是关于x的方程（m－4）x＋16＝0的一个解，则m的值为（　　） A．－4 B．2 C．4 D．6 【变式3 -7】已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 【考点题型四】一元一次方程 【例4】如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式4 -1】如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是 ． 【变式4 -2】若是关于的一元一次方程，则的值是 . 【变式4 -3】若方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 【变式4 -4】已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【变式4 -5】按小题要求完成解答． (1)已知与的和仍是单项式，求的值． (2)先化简再求值：，其中a是绝对值为2的负数，b使得关于x的方程是一元一次方程． 【考点题型五】等式的性质 【例5】下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式5 -1】下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【变式5 -2】下列等式变形中，一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5 -3】有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【变式5 -4】下面的框图是解方程的流程： 在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有 ．（只填序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等式与方程（考点清单，2个考点清单+5种题型解读） 【清单01】一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【清单02】等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 【考点题型一】等式与方程 【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义， 含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②是不等式，⑤，不是等式，不是方程， 故方程有4个， 故选：B． 【变式1 -1】下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【变式1 -2】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【考点题型二】列方程 【例2】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案． 【详解】解：设物价是钱，则根据可得： 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 【变式2 -1】已知一个长方形的周长为30cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程（　　　） A．x﹣1=2（15﹣x） B．x﹣1=2（30﹣x） C． D． 【答案】A 【分析】先根据长方形的周长公式用x表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等即可列出方程． 【详解】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm， ∴长方形的宽为（15﹣x）cm， ∵这长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形， ∴x﹣1=2（15﹣x）． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，弄清题意、找准等量关系成为解答本题的关键． 【变式2 -2】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 【考点题型三】方程的解 【例3】已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 【变式3 -1】下列方程中，解为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 将分别代入各方程两边，若两边相等，则是该方程的解，否则，不是该方程的解． 【详解】解：A、把代入中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； B、把代入中，左边，右边，方程左右两边相等，则是方程的解，符合题意； C、把代入中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意； D、把代入中，左边，方程左右两边相等，则不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 【变式3 -2】若是关于x的方程的解，则多项式的值是（    ） A．1010 B．1014 C．2020 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查方程的解以及代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键．先求得，再整体代入要求的代数式即可完成． 【详解】解：由是关于的方程的解， 得： ∴ ∴ 故选C 【变式3 -3】若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．把代入方程，然后解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：． 故选：A． 【变式3 -4】若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3 -5】已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，将代入方程，得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【变式3 -6】如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a＋c＝0，且c是关于x的方程（m－4）x＋16＝0的一个解，则m的值为（　　） A．－4 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先根据数轴求出a和c的值，再把c的值代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵， ∴A表示的数是，即， ∵， ∴， 把代入方程得，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的方法． 【变式3 -7】已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】一元一次方程 【例4】如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 【变式4 -1】如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，“方程只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程”，熟悉概念即可解决问题． 【详解】解： 方程是关于的一元一次方程，的次数为， ， ． 故答案为：0． 【变式4 -2】若是关于的一元一次方程，则的值是 . 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由一元一次方程的定义得，即可求解；理解定义“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元一次方程．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 【变式4 -3】若方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据定义“一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”可得，，由此可解． 【详解】解：由题意知， ， 或， 又， ， ， 故答案为：0． 【变式4 -4】已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】4或或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值． 【详解】解：分两种情况： （1），， 当时，，此时； 当时，，此时； （2），， 解得，，； 当时，，即； 当时，由原方程，得，不符合题意． 【变式4 -5】按小题要求完成解答． (1)已知与的和仍是单项式，求的值． (2)先化简再求值：，其中a是绝对值为2的负数，b使得关于x的方程是一元一次方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据与的和仍是单项式，求出m，n的值即可求解； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据已知求出a，b的值，然后代入化简后的式子即可求解． 【详解】（1）解： ∵与的和仍是单项式， ∴，， ∴原式 （2）解：， ∵a是绝对值为2的负数， ∴， ∵b使得关于x的方程是一元一次方程 ∴且， ∴ ∴原式= 【点睛】本题主要考查了整式的化简和求值，和一元一次方程的定义，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【考点题型五】等式的性质 【例5】下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质判断即可．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A．如果，那么两边同时加得，故本选项不符合题意； B．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； C．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； D．如果，那么两边同时减得，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式5 -1】下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B． 【变式5 -2】下列等式变形中，一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键．性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故该选项是符合题意的； B、若，则或0，故该选项是不符合题意的； C、若，则，故该选项是不符合题意的； D、若，则，故该选项是不符合题意的； 故选：A 【变式5 -3】有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】B 【分析】此题考查了等式的性质，把6个小正方体分成3组，每组2个，再根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：把6个小正方体分成3组，每组2个，第一次，把其中两组分别放在天平的两端，若天平平衡，则质量略重的小正方体在未称的2个中，若天平不平衡，则质量略重的小正方体在较重的2个中；第二次，把含有质量略重的小正方体的2个分别放在天平的两端，天平不平衡，则较重的1个就是质量略重的小正方体．所以用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是2次． 故选：B 【变式5 -4】下面的框图是解方程的流程： 在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有 ．（只填序号） 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质． 【详解】解：等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式，两边依然相等； 若， 那么有， 或， 所以依据等式的性质2的步骤是①⑤． 故答案为：①⑤． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司13 学科网（北京）股份有限公司 $$